2019-2020年高二數(shù)學下 12.5《雙曲線的標準方程》教案（1） 滬教版.doc

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2019-2020年高二數(shù)學下 12.5《雙曲線的標準方程》教案（1） 滬教版 　一、教學內(nèi)容分析 本小節(jié)的重點是雙曲線的定義和標準方程，通過對橢圓的定義的類比聯(lián)想，很容易想到研究到兩個定點的距離之差為定值的點的軌跡問題.要充分注意雙曲線定義中“”，“絕對值”的詞匯的定性描述，正確理解概念，注重思維的嚴密性.雙曲線定義的理解以及標準方程的形式，三個量的關系都可以與橢圓進行類比學習，從而理解兩種曲線的聯(lián)系與區(qū)別. 本小節(jié)的難點是雙曲線的標準方程的推導.雙曲線的標準方程的推導可以在橢圓的標準方程的推導經(jīng)驗中類比完成.突破難點的關鍵是初步研究雙曲線的對稱性，建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼担⒅胤匠袒嗊^程中的合理變形.對于“以方程的解為坐標的點都在雙曲線上”的證明，有條件的還是需要的，使方程的推導更完備. 二、教學目標設計 理解雙曲線的定義;能推導雙曲線的標準方程,掌握焦點在軸和軸上的雙曲線的標準方程，會求給定條件下的雙曲線的標準方程.通過對雙曲線的標準方程的推導，鞏固求動點的軌跡方程的一般方法.在與橢圓的類比學習中獲得雙曲線的知識，培養(yǎng)比較、分析、歸納、推理等能力. 三、教學重點及難點 雙曲線的定義和雙曲線的標準方程. 雙曲線的標準方程的推導. 問題引入 概念探究 四、教學流程設計 雙曲線的定義 與橢圓的類比 運用與深化(例題解析) 標準方程 課堂小結(jié)并布置作業(yè) 五、教學過程設計 一、復習回顧 思考并回答下列問題 1、橢圓的定義是什么？ 2、橢圓定義中有哪些注意點？ 3、橢圓的標準方程是怎樣的？ 二、講授新課 1、概念引入 問題引入：如果把橢圓定義中的和改成差: 或,即: ，其中動點的軌跡會發(fā)生什么變化呢？ ①若，則軌跡是線段的延長線；若，則軌跡是線段的延長線； ②若，則無軌跡； ③在條件下軌跡是存在的，我們把這時得到的軌跡叫做雙曲線. [說明]通過對橢圓定義的類比，啟發(fā)學生思考并發(fā)現(xiàn)與的大小關系與動點的軌跡的變化規(guī)律.此時可設計探究實驗：學生用筆、細繩等工具試驗畫出滿足條件的軌跡圖形（可以讓學生在上課前做一些實驗的設計準備），教師利用多媒體演示（并加以說明）.通過學生的動手操作，增加學生的感性認識，提高學生學習的參與度. 2、概念形成 n 雙曲線定義 定義：平面內(nèi)到兩定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點的軌跡叫雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩個焦點間的距離叫做焦距. n 雙曲線定義中的注意點 在概念的理解中要注意： （1）是平面內(nèi)到兩定點的距離之差的絕對值是一個非零正常數(shù)，且這個常數(shù)小于 . （2）當時，動點的軌跡是與對應的雙曲線的一支， 時為雙曲線的另一支. 3、雙曲線的標準方程的推導 可以仿照求橢圓的標準方程的做法，求雙曲線的標準方程． 如圖8-12建系，設，取過點的直線為軸，線段的中垂線為軸，建立直角坐標系，則，設是所求軌跡上的點. 依已知條件有，，，， 移項得：， 平方得： （*） 再平方得：， 即，令 則，即 反之：設是上的點，則， =，， ∴當時， ，，有； 當時，，，有 綜上：焦點在軸上雙曲線的標準方程是①，其中，焦點. [說明]對于標準方程的推導可以啟發(fā)學生仿照求橢圓的標準方程的做法來完成，在建立直角坐標系之前，可以讓學生初步推斷雙曲線所具有的對稱性，使建系更合理.對于證明“以方程的解為坐標的點都在雙曲線上”這一過程可以視學生的程度來定，這樣可使推導過程更完整，思維更嚴謹，這一過程需在教師的引導下師生共同完成. 同樣如果雙曲線的焦點在y軸上(圖8－13)，那么，此時的雙曲線的標準方程又是怎樣的呢？ 焦點是F1(0，－c)、F2(0，c)時，a、b的意義同上，那么只要將方程①的x、y互換，就可以得到焦點在軸上雙曲線的標準方程是，其中，焦點. [說明]雙曲線的標準方程是指雙曲線在標準狀態(tài)下的方程，這里的標準狀態(tài)有兩層含義：（1）雙曲線的兩個焦點均在坐標軸上，（2）這兩個焦點的中心必須與原點重合.從這一方面理解，雙曲線的標準方程就是在特殊的直角坐標系下的方程. 思考：將方程推導過程中的方程（*）做變形可得，即，且，那么其中又蘊涵著怎樣的幾何意義呢？ 思考其幾何意義可知，雙曲線上的點滿足到定點的距離與到定直線的距離之比是一個大于1的常數(shù)，這是雙曲線的一個幾何性質(zhì).反之，如果一個點滿足，且，即點P到定點的距離與到定直線的距離之比是一個大于1的常數(shù)，則點P的軌跡是雙曲線嗎？這個問題留給課后思考. [說明] 思考這個問題的目的是擴展學生的認知空間，與圓錐曲線的第二定義聯(lián)系起來，使知識體系更系統(tǒng)化一些.這一問題是作為課后思考題讓學生完成. 4、例題解析 例1 課本P55例1. [說明] 本題主要是讓學生正確理解雙曲線的定義，熟悉雙曲線的標準方程，標準方程中三個量的意義與方程的關系. 例2(補充)：求滿足下列條件的雙曲線的標準方程. （1） 焦距為26，動點到兩焦點的距離之差為24； （2）已知雙曲線過定點，且，求雙曲線的標準方程. （3） 已知雙曲線的焦點在軸上，中心在原點，且點，在此雙曲線上，求雙曲線的標準方程. [說明] 本題主要幫助學生掌握根據(jù)給定條件確定雙曲線的標準方程的方法，注意方程的形式與焦點位置的關系.使學生學會用方程的思想來確定雙曲線的標準方程. 例3：課本P56例2. [說明] 本題主要讓學生應用雙曲線定義解決有關實際應用問題，注意根據(jù)題設條件僅能得到雙曲線的一支.利用兩個不同的觀察站測得同一爆炸點的時間差，可以確定爆炸點所在的雙曲線的方程，但不能確定爆炸點的準確位置，如果再增加一個觀察點C，利用B、C（或A、C）兩處測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個曲線的方程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點的準確位置了. 例4：課本P56例3. [說明]本題主要讓學生學習利用雙曲線的標準方程解決一些相關的簡單幾何問題.初步認識雙曲線的標準方程的應用. 三、課堂小結(jié) 1.雙曲線的定義是平面內(nèi)到兩定點的距離之差的絕對值是一個非零正常數(shù)，且這個常數(shù)小于.注意雙曲線定義中“”，“絕對值”的詞匯的定性描述. 2.雙曲線的標準方程的特點是平方差，一般根據(jù)項的正負來判斷焦點所在的位置，即項的系數(shù)是正的，那么焦點在軸上；項的系數(shù)是正的，那么焦點在軸上. 3、比較與區(qū)分雙曲線與橢圓的定義和標準方程的異同. 四、鞏固練習 1．課本P57練習12.5 2．（補充）填空：已知方程表示雙曲線，則的取值范圍是 ；若表示焦點在軸上的雙曲線，則的取值范圍是 . 3．已知圓和圓，動圓同時與圓及圓相外切，求動圓圓心的軌跡方程. 五、課后作業(yè) 1．練習冊P29習題12.5 A組1、2、3 2、練習冊P29習題12.5 A組4，B組1、2 六、教學設計說明 1、用類比聯(lián)想的方法從橢圓的定義中提出新的問題，到兩個定點的距離之差為正常數(shù)的點的軌跡是什么？再通過探究解答問題，并提出雙曲線的定義，這樣可以使學生正確理解雙曲線的概念，并能在學習中主動加強知識間的聯(lián)系.特別注意雙曲線定義中“”，“絕對值”的詞匯的定性描述，當沒有絕對值時，通常表示為雙曲線的一支.在問題的探究過程中，可以設計學生的動手實驗，增加學生的感性認識，培養(yǎng)學習的興趣和主動參與的精神. 2、由于前一節(jié)學生接觸了橢圓的標準方程的推導，對建、設、列、化、證等步驟有所熟悉，則雙曲線的標準方程的推導過程可以在教師的引導下由學生嘗試完成.特別是證明“以方程的解為坐標的點都在雙曲線上”的過程可以由師生共同完成，以培養(yǎng)思維、論證的嚴密性. 3、本解課可以安排兩節(jié)課時，第一節(jié)主要是理解雙曲線的定義和正確推導雙曲線的標準方程.可以完成例1、例3，課后作業(yè)完成1.第二節(jié)課主要是學習根據(jù)已知條件確定雙曲線的標準方程，以及利用雙曲線的方程解決簡單幾何問題.完成例2、例4和鞏固練習.課后作業(yè)完成2. 4、運用對比教學的方法，使學生區(qū)分橢圓與雙曲線的概念、標準方程、圖形、三個量的異同.教師在課堂小結(jié)中可以設計一個表格，讓學生填寫內(nèi)容.見下表： 名 稱 橢 圓 雙 曲 線 圖 象 定 義 平面內(nèi)到兩定點的距離的和為常數(shù)2（2）的動點的軌跡叫橢圓.即 當2﹥2時，軌跡是橢圓， 當2=2時，軌跡是一條線段 當2﹤2時，軌跡不存在 平面內(nèi)到兩定點的距離的差的絕對值為常數(shù)2（）的動點的軌跡叫雙曲線.即 當2﹤2時，軌跡是雙曲線 當2=2時，軌跡是兩條射線 當2﹥2時，軌跡不存在 標準方 程 焦點在軸上時： 焦點在軸上時： 注：是根據(jù)分母的大小來判斷焦點在哪一坐標軸上 焦點在軸上時： 焦點在軸上時： 注：是根據(jù)項的正負來判斷焦點所 在的位置 常數(shù)的關 系 （符合勾股定理的結(jié)構(gòu)） ， 最大，可以 （符合勾股定理的結(jié)構(gòu)） 最大，可以