非正弦周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式ppt課件

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第七章 非正弦周期電流電路的分析,隨著科技的發(fā)展，非正弦周期函數(shù)的電流和電壓愈加普遍。本章介紹應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)和疊加定理分析非正弦周期電流電路的方法，討論非正弦周期電流、電壓有效值和平均功率的計(jì)算，簡要介紹非正弦周期信號(hào)頻譜的概念;,本章內(nèi)容：,1,對于周期性的激勵(lì)與響應(yīng)，可以利用傅里葉級(jí)數(shù)分解為一系列不同頻率的簡諧分量,再根據(jù)疊加定理。所以線性電路對非正弦周期性激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，等于組成激勵(lì)信號(hào)的各簡諧分量分別作用于電路時(shí)所產(chǎn)生的響應(yīng)的疊加。而響應(yīng)的每一簡諧分量可用正弦穩(wěn)態(tài)分析的相量法求得。,2,1. 非正弦周期電流的產(chǎn)生,,引起的電流或電壓便是非正弦周期電流， 解決方法是？,1 ） 當(dāng)電路中有多個(gè)不同頻率的電源同時(shí)作用,基本要求：初步了解非正弦信號(hào)產(chǎn)生的原因。,根據(jù)疊加定理，分別計(jì)算不同頻率的響應(yīng)，然后將瞬時(shí)值結(jié)果疊加。,3,1. 非正弦周期電流的產(chǎn)生,,2 ） 非正弦周期電壓源或電流源（例如方波、鋸齒波）,引起的響應(yīng)也是非正弦周期量，如何求響應(yīng)？,基本要求：初步了解非正弦信號(hào)產(chǎn)生的原因。,4,3 ） 有非線性元件引起的非正弦周期電流或電壓。,,對非正弦周期電流電路的分析方法：諧波分析法,這些非正弦周期函數(shù)首先分解為不同頻率的傅里葉級(jí)數(shù)，然后求解不同頻率的正弦激勵(lì)的響應(yīng)，最后將瞬時(shí)值結(jié)果疊加 。,響應(yīng)也是非正弦周期量，如何求響應(yīng)？,1. 非正弦周期電流的產(chǎn)生,基本要求：初步了解非正弦信號(hào)產(chǎn)生的原因。,5,7?1 非正弦周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式,周期函數(shù),f ( t ) = f ( t + kT ) ( k = 1, 2, 3, … ),若滿足狄里赫利條件,則f(t)可展開為傅里葉級(jí)數(shù)：,(2)函數(shù)f ( t ) 在任一周期內(nèi)只有有限個(gè)極大值和極小值； (3)函數(shù)f ( t ) 在任一周期內(nèi)只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)；,(1)函數(shù)f ( t ) 在任一周期內(nèi)絕對可積，即對于任意時(shí)刻t0，積分,存在；,1．傅里葉級(jí)數(shù),6,,,,,,,,,是角頻率, T是 f ( t )的周期。,其中：,(7-1),積分區(qū)間也可以?。?T/2,T/2）和（-p,p）,7,將式（7－1）中頻率w相同的項(xiàng)合并成一項(xiàng)，則可變形為： 在電路分析中，傅里葉級(jí)數(shù)的另一種形式；,應(yīng)用相量運(yùn)算可得：,(7-1),(7-2),8,根據(jù)周期函數(shù)的某些對稱性，可以簡化傅里葉系數(shù)的求解，分別討論三種情況：,（1）f(t)函數(shù)為奇函數(shù)，f(t)=-f(-t),9,（2）f(t)函數(shù)為偶函數(shù)，f(t)=f(-t),10,（3）f(t)函數(shù)為奇諧波函數(shù)：f(t)=－f(t+T/2)； 即：相隔半個(gè)周期的函數(shù)值大小相等，符號(hào)相反；也稱為半波對稱（鏡對稱）函數(shù)；,k為奇數(shù),k為偶數(shù),k為奇數(shù),k為奇數(shù),k為偶數(shù),k為奇數(shù),11,,2．諧波分析: 將周期函數(shù)分解為恒定、基波和各次諧波的方法；,豎線為幅值譜線（振幅頻譜）長度表示Akm的量值；相鄰兩譜線的間隔等于基波ω。 同樣相位頻譜,表示各次諧波的初相 隨角頻率kω變動(dòng)的情形。,7?1 非正弦周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式,12,,,求周期性方波的傅里葉展開式。,,所給波形在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式：,,例7－1,解：,13,因?yàn)閍k=0，所以：,,14,,,說明: 式中引入新的正整數(shù) n 以區(qū)別原來的正整數(shù) k 。,周期性方波的波形分解,振幅頻譜和相位頻譜,15,本節(jié)小結(jié)： 1、頻譜圖直觀而清晰地表示出一個(gè)信號(hào)包含有哪些諧波分量，以及各諧波分量所占的比重和其間的相角關(guān)系，便于分析周期信號(hào)通過電路后它的各諧波分量的幅值和初相發(fā)生的變化。這對于研究如何正確地傳送信號(hào)有重要的意義。 2、奇，偶函數(shù)的對稱性可能因原點(diǎn)的移動(dòng)而遭破壞，奇諧波函數(shù)的對稱性不受原點(diǎn)移動(dòng)的影響。 3、適當(dāng)選擇時(shí)間起點(diǎn)，可使有些函數(shù)具有一種以上的對稱性。 4、對波形的對稱性的判斷可直觀地判斷哪些諧波存在，哪些諧波不存在。減少付立葉級(jí)數(shù)展開的工作量。,,16,1．函數(shù) f ( t ) 在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式，直接代入上式。,例7-2： 計(jì)算方波的有效值,解：,有效值：周期量的有效值等于其瞬時(shí)值的方均根值,基本要求：理解非正弦周期量的有效值和平均功率的定義。,17,2．正弦級(jí)數(shù)形式求有效值,,,,,,有效值：,7.2．非正弦周期量的有效值 平均功率,,18,,,,,基波、二次諧波…的有效值,有效值等于恒定分量、基波分量與各諧波分量有效值的平方和的平方根。,有效值：,2．正弦級(jí)數(shù)形式求有效值,7.2．非正弦周期量的有效值 平均功率,19,已知周期電流 ，求其有效值。,解：,例7－3：,■平均值,平均值：電工技術(shù)中經(jīng)常遇到上下半周期對稱的波，如正、余弦波，奇諧波等，在橫軸上下的面積相等，其平均值為零，在電工實(shí)踐中，還用到均絕值的概念，其數(shù)學(xué)式為：,取絕對值是將負(fù)值部分反號(hào)，即“全波整流”，就是“全波整流”后的平均值。,20,例7-4:求正弦電壓的平均值，并有效值與平均值之比;,有效值為:,或 VaU=0.9U,有效值與平均值之比:,解：已知：u(t)=Umsinωt,平均值為:,21,設(shè)一端口網(wǎng)絡(luò)的端口電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向，則其輸入的瞬時(shí)功率為 p=u i,平均功率就是瞬時(shí)功率在一周期內(nèi)的平均值，即,3.非正弦周期電流電路的平均功率,,7.2．非正弦周期量的有效值 平均功率,22,,,結(jié)論： 非正弦周期電流電路的平均功率等于恒定分量、基波分量和各次諧波分量產(chǎn)生的平均功率之和。同時(shí)說明：不同頻率的電壓和電流不產(chǎn)生平均功率。,Uk 、I k為第 k 次諧波的有效值， 為第 k 次諧波電壓與電流間的相位差；,23,線性電路在非正弦周期激勵(lì)時(shí)的穩(wěn)態(tài)分析步驟：,1) 把給定的非正弦周期性激勵(lì)分解為恒定分量和各諧波分量。,2) 分別計(jì)算電路由上述恒定分量和各諧波分量單獨(dú)作用下的響應(yīng)。求恒定分量響應(yīng)要用計(jì)算直流電路的方法；求各次諧波分量的響應(yīng)，則要應(yīng)用計(jì)算正弦電流電路的方法（相量法）。,,其中，電感、電容對k次諧波的電抗分別為,XL1為基波感抗,XC1為基波容抗,3) 根據(jù)疊加定理，把恒定分量和各諧波分量的響應(yīng)相量轉(zhuǎn)化為瞬時(shí)表達(dá)式后進(jìn)行疊加。,,基本要求：熟練掌握用疊加定理分析非正弦周期電流電路的方法。,7.3非正弦周期電流電路的穩(wěn)態(tài)分析,24,圖示電路中 . (1)求電流源的端電壓u及其有效值；(2) 求電流源發(fā)出的平均功率。,,直流分量作用，電路模型如圖,,,,,交流分量作用相量模型如圖(c)所示。節(jié)點(diǎn)法求電流源端電壓相量,電流源的端電壓及其有效值分別為,電流源發(fā)出的平均功率,例7－5：,圖b,圖a,圖c,解：,U0=10+22=14v,,=,+,25,已知ω = 314 rad/s, R1 = R2 = 10 ?, L1 = 0.106 H，L2=0.0133H，C1=95.6μF，C2=159?F ，,，求i1(t)及i2(t)。,例7?6：,,解： 1 .直流分量電壓,,26,已知ω = 314 rad/s, R1 = R2 = 10 ?, L1 = 0.106 H，L2=0.0133H，C1=95.6μF，C2=159?F ，,，求i1(t)及i2(t)。,例7?6：,,解：,,2.基波分量電壓單獨(dú)作用時(shí)，L1與C1并聯(lián)的等效導(dǎo)納為：,并聯(lián)諧振,基波分量電壓作用的時(shí)域解為,27,3.三次諧波分量作用時(shí)，L1與C1并聯(lián)的等效阻抗為,而電感L2在三次諧波頻率下的阻抗為： j 3?L2 = j12.5 ?，所以對三次諧波而言，L1與C1并聯(lián)后再與L2串聯(lián)，發(fā)生串聯(lián)諧振：,三次諧波分量電壓作用的時(shí)域解為：,28,將各個(gè)分量單獨(dú)作用時(shí)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)疊加起來，即為電路的穩(wěn)態(tài)解：,29,作業(yè),7－3；7－4 7－5；7－7 7－11； 7－14； 7－16； 7－18；,30,