2019-2020年高三第三次（12月）聯(lián)考數(shù)學(xué)理試題 含答案.doc

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2019-2020年高三第三次（12月）聯(lián)考數(shù)學(xué)理試題 含答案 六校分別為：廣州二中、中山紀(jì)中、東莞中學(xué)、珠海一中、深圳實(shí)驗(yàn)、惠州一中 本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘 考生注意事項(xiàng)： 1． 答題前，務(wù)必在試卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、座位號(hào)，并認(rèn)真核對(duì)答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號(hào)與本人姓名、座位號(hào)是否一致。務(wù)必在答題卡背面規(guī)定的地方填寫姓名和座位號(hào)后兩位。 2． 答第I卷時(shí)，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。 3． 答第Ⅱ卷時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫，要求字體工整、筆跡清晰。作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清楚。必須在題號(hào)所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上答題無(wú)效。 4． 考試結(jié)束，務(wù)必將試卷和答題卡一并上交。 參考公式：如果事件A與B相互獨(dú)立，那么P(AB)=P(A)P(B) 如果事件A與B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) I 卷 (選擇題) 一、 選擇題：(本大題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題目要求,把答案填涂在答卷相應(yīng)地方上) 1. 復(fù)數(shù)z滿足, 則等于( ) A．1 B. C. 2 D. 3 2．設(shè)，，，則（ ） A． B. C. D. 3．已知甲：, 乙：，則甲是乙的（ ） A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件 4. 函數(shù)的最小正周期為( ) A. B. C. D. 5. 等差數(shù)列中，，，則的值為( ) A．15 B．20 C．25 D．30 6．若是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是（ ） A．若，則 B．若，則 C．若，，則 D．若，，則 否 n=0, s=0 n<10000 x=rand(), y=rand() s=s+1 P=s / n 輸出P 結(jié)束 開始 是 是 否 n=n+1 7. 已知實(shí)數(shù)滿足 , 則的最大值是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 利用隨機(jī)模擬方法可估計(jì)某無(wú)理數(shù)m的值， 為此設(shè)計(jì)如右圖所示的程序框圖，其中rand() 表示產(chǎn)生區(qū)間(0,1)上的隨機(jī)數(shù), P為s與n之 比值，執(zhí)行此程序框圖，輸出結(jié)果P是m的 估計(jì)值，則m是 ( ) A. B. C. ln2 D. lg3 II卷 (非選擇題) 二、填空題：(本大題共6小題，每小題5分,共30分，把答案填在答卷相應(yīng)地方上） （一）必做題：第9~13題為必做題 9. 統(tǒng)計(jì)某校1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)期中考成績(jī)，得到 樣本頻率分布直方圖如右圖示，若不低于80分 即為優(yōu)秀。據(jù)此估計(jì)，從這1000名學(xué)生中隨機(jī) 選出1名學(xué)生，其數(shù)學(xué)期中考成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概 率是 . 10. 與橢圓有相同的焦點(diǎn)且離心率為2的 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是_______. 11. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn), 且A(1,1), C(2,3) ，， 則向量的坐標(biāo)是_____ . 12. 設(shè)P為曲線C：上的點(diǎn)，則曲線C在點(diǎn)P處的切線傾斜角取值范圍為_____. 13. 下圖所示一系列數(shù)表依次是三項(xiàng)式展開式系數(shù)按一定規(guī)律排列所得，可發(fā)現(xiàn)數(shù)表的第k行共有k個(gè)數(shù)。依此類推, 數(shù)表6的第3行第1個(gè)數(shù)為______，數(shù)表6的第5行第3個(gè)數(shù)為______. （二）選做題：第14、15題為選做題，考生任選做一題，全答的只計(jì)算前題的得分． 14、 已知直線L的參數(shù)方程為: （為參數(shù)）， 圓C的參數(shù)方程為: (為參數(shù)). 若直線L與圓C有公共點(diǎn)，則常數(shù)的取值范圍是____. 15． 如圖所示，圓O的直徑AB＝12，C為圓周上一點(diǎn)， BC＝6，過C作圓O的切線，過A做直線的垂線， 垂足為D，AD交圓O于E, 則DE= . 三、解答題：（共6題，滿分80，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟，必須在答卷指定區(qū)域作答，否則不給分） 16.（本小題滿分12分） 在銳角中，，，分別為內(nèi)角，，所對(duì)的邊，且滿足． （Ⅰ）求角的大?。? （Ⅱ）若，且，，求的值． 17．（本小題滿分12分） 某廠批量試驗(yàn)生產(chǎn)一種零件，對(duì)其中每個(gè)零件有、兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)需要檢測(cè)，各項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)與否互不影響．若項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為，有且僅有一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為．按質(zhì)量檢驗(yàn)規(guī)定：兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的零件為合格品． （Ⅰ）求一個(gè)零件經(jīng)過檢測(cè)為合格品的概率； （Ⅱ）任意抽出個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，求其中至少個(gè)零件是合格品的概率； （Ⅲ）任意抽取該種零件3個(gè)，設(shè)表示其中合格品的個(gè)數(shù)，求與． 18．（本小題滿分14分） 某企業(yè)某年生產(chǎn)某種產(chǎn)品，通過合理定價(jià)及促銷活動(dòng)，確保產(chǎn)銷平衡（根據(jù)市場(chǎng)情況確定產(chǎn)量，使該年所生產(chǎn)產(chǎn)品剛好全部銷售完畢），年產(chǎn)量、年銷量均為萬(wàn)件。已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件產(chǎn)品需投入32萬(wàn)元的生產(chǎn)費(fèi)用, 另外該年生產(chǎn)設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用總共為4萬(wàn)元。每件產(chǎn)品定價(jià)為平均每件生產(chǎn)成本的150%進(jìn)行銷售，年銷量萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用萬(wàn)元之間滿足關(guān)系：(為常數(shù))，當(dāng)年促銷費(fèi)用萬(wàn)元時(shí)年銷量是萬(wàn)件。 （Ⅰ）將年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）表示為促銷費(fèi)（萬(wàn)元）的函數(shù)； （Ⅱ）該企業(yè)年促銷費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)年利潤(rùn)最大？相應(yīng)年產(chǎn)量及最大年利潤(rùn)為多少？ 注：生產(chǎn)成本=固定費(fèi)用生產(chǎn)費(fèi)用 （不包括促銷費(fèi)用） 利潤(rùn)=銷售收入生產(chǎn)成本促銷費(fèi) 19.（本小題滿分14分） 在四棱錐中，//，， ，平面，. （Ⅰ）設(shè)平面平面，求證：//； （Ⅱ）求證：平面； （Ⅲ）設(shè)點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且直線與平面所成角 的正弦值為，求的值． 20. (本小題滿分14分) 數(shù)列的前n項(xiàng)和為, 已知() 恒成立. (1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2) ，求的前n項(xiàng)和; (3) 求證：. 21. (本小題滿分14分) 已知函數(shù). (1) 當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間； (2) 求證：當(dāng)時(shí) 恒成立; (3) 若對(duì)任意的都成立(其中e是自然對(duì)數(shù)的底)， 求常數(shù)的最小值。 參考答案 1．B 2． B 3．A 4. D 5. C 6． C 7. B 8. C 9. 答0.2 10. 答: 11. 答(4,7) 12. 答 13. 答10， 30 14.答 15．答3 注：第13題第一空2分，第二空3分 第8題提示：框圖表示的隨機(jī)模擬方法是: 已知點(diǎn)(x,y)為區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)求其在曲線下方的概率P的估計(jì)值，由積分可得條件區(qū)域面積為ln2，故滿足條件的概率P為ln2. 第13題： 其系數(shù)為數(shù)表6第一斜列的數(shù)即各行第一個(gè)數(shù) 其系數(shù)為第二斜列的數(shù)（即第2行起各行第2個(gè)數(shù)） 其系數(shù)為第三斜列的數(shù)（即第3行起各行第3個(gè)數(shù)） 其系數(shù)為第四斜列的數(shù)。 法二：由楊輝三角可知數(shù)表n的第一斜列數(shù)為楊輝三角數(shù)， 第k行的數(shù)是由楊輝三角相應(yīng)各數(shù)乘以此行第一個(gè)數(shù)而得到的。 三、解答題：（共6題，滿分80，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟） 16．解：（Ⅰ）由正弦定理得 ………… 1分 因?yàn)椋? 所以， ………… 2分 因?yàn)闉殇J角，所以. ……………3分 又為銳角， 則. ……… 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，．因?yàn)椋? 根據(jù)余弦定理，得 ， ……………6分 整理，得． 由已知 ，則． 又，可得 ，． ……… 8分 于是， ……… 10分 所以． ……… 12分 17．解：（Ⅰ）設(shè)、兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為、． …………1分 由題意得：， ……………3分 解得：． ……………4分 ∴　一個(gè)零件經(jīng)過檢測(cè)為合格品的概率． ……………5分 （Ⅱ）任意抽出5個(gè)零件進(jìn)行檢查，其中至少3個(gè)零件是合格品的概率為： ． ……………8分 （Ⅲ）依題意知　， ……………10分 ， ……………11分 ． ……………12分 (注：全題沒有文字表述的扣2分) 18．解：（Ⅰ）依題意：，將，代入得， 所以年銷售量 () ……………………2分 依題意，產(chǎn)銷平衡即年產(chǎn)量等于年銷量萬(wàn)件，所以當(dāng)年生產(chǎn)（萬(wàn)件）時(shí)， 年生產(chǎn)成本， ……………4分 平均每件產(chǎn)品生產(chǎn)成本= ……………5分 年銷售收入=， ……………6分 年利潤(rùn)y=年銷售收入—年生產(chǎn)成本—促銷費(fèi)， 所以 …………8分 （Ⅱ）因?yàn)? …………9分 …………11分 . …………12分 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，， …………………13分 所以當(dāng)促銷費(fèi)投入7萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)年利潤(rùn)最大， 此時(shí)年產(chǎn)量x=5.5萬(wàn)件，年利潤(rùn)最大值為83萬(wàn)元 …………………14分 19．（Ⅰ）證明： 因?yàn)?/，平面，平面， 所以//平面. ………………………………………2分 因?yàn)槠矫?，平面平面? 所以//. ………………………………………4分 （Ⅱ）證明：因?yàn)槠矫?，，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)， 所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，. …………6分 所以 ，，， 所以， . 所以 ，. ……………8分 因?yàn)?，平面，平面， 所以 平面. …………………………………9分 （Ⅲ）解：設(shè)（其中），，直線與平面所成角為. 所以. 所以. 即 . ……………11分 由（Ⅱ）知平面的一個(gè)法向量為. 因?yàn)?， ……………12分 得 . 解得 .所以. …………14分 法2： (II) 依題意：∽, 所以，又因?yàn)椋? 所以，所以 …..6分 又因?yàn)槠矫?，? 所以 …..8分 因?yàn)?，平面，平面， 所以 平面. ………9分 （Ⅲ）解：設(shè)（其中），，直線與平面所成角為. 記交于，連結(jié).過作平行于，交于. 連結(jié)、. 由（2）知，平面，平面， 即為與平面所成角. ①. ……11分 設(shè)（），則. 在中，，，. 易證∽，，即， ， ②. 在中，，，， . 在中，，，. 根據(jù)余弦定理有：， ……………13分 即， 解得 ③. 將②，③代入①，解得. ……………14分 20. 解：由得 n=1時(shí)， …….1分 時(shí), …….2分 …….3分 是以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列 …….4分 …….5分 (2) ， ….6分 …….7分 ， 其中 …….8分 的前n項(xiàng)和= …….10分 （3）由（1）知 ……12分 …..14分 21. 解：（1） 時(shí)，的定義域?yàn)? …..1分 令 , 其定義域?yàn)? (3) 時(shí)， (*) ….. 8分 由（2）及，可得 ()恒成立 時(shí)都有不等式(*)恒成立. ……9分 下證對(duì)任意常數(shù)不等式(*)不恒成立： 所以對(duì)任意常數(shù)總存在使得時(shí),為減函數(shù)， 當(dāng)，有(僅當(dāng)x=0取等號(hào)) 從而時(shí)(僅當(dāng)x=0取等號(hào)), 所以為減函數(shù)…..12分 時(shí), 所以時(shí)不符合題意. ……13分 綜上述 , 使不等式(*)恒成立的的最小值為 ……14分 注：(2)結(jié)論只能說(shuō)明是函數(shù)的上界而非上確界，所以（3）的后部分是必須的。 又如：設(shè)f(x)=，顯然有f(x)>0恒成立, 這只能說(shuō)明0為f(x)的下界而非下確界，所以不能由此得出滿足f(x)恒成立的的最大值為0 實(shí)際上f(x)的最小值為2為f(x)的下確界,所以f(x)>恒成立時(shí)的最大值為2. （2）、（3）法二： 先證， 證明如下： (此步4分) 再由羅比塔法則可求出下面極限： （此步4分） (下面3分) 所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減且上確界是，其圖象是連續(xù)的 所以時(shí) ；函數(shù)在(0,1]上的值域?yàn)? 由法一得恒成立 ，的最小值為.