2019-2020年高中數(shù)學(xué) 初高中銜接教材 第三講 一元二次方程.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 初高中銜接教材 第三講 一元二次方程現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用,而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系,在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著許多應(yīng)用本節(jié)將對一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行闡述一、一元二次方程的根的判斷式一元二次方程,用配方法將其變形為:(1) 當(dāng)時,右端是正數(shù)因此,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根:(2) 當(dāng)時,右端是零因此,方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根:(3) 當(dāng)時,右端是負(fù)數(shù)因此,方程沒有實(shí)數(shù)根由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況因此,把叫做一元二次方程的根的判別式,表示為:【例1】不解方程,判斷下列方程的實(shí)數(shù)根的個數(shù):(1) (2) (3) 解:(1) , 原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根(2) 原方程可化為: , 原方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根(3) 原方程可化為: , 原方程沒有實(shí)數(shù)根說明:在求判斷式時,務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式練:說出下列各方程的根的情況(1) (2) (3)【例2】已知關(guān)于的一元二次方程,根據(jù)下列條件,分別求出的范圍:(1) 方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;(2) 方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根(3)方程有實(shí)數(shù)根;(4) 方程無實(shí)數(shù)根解:(1) ;(2) ;(3) ;(4) 二、一元二次方程的根解法進(jìn)一步地,在一元二次方程有實(shí)數(shù)根的前提下,該實(shí)數(shù)根具體是多?這就涉及到一元二次方程的根的求法解法一(因式分解法)若可分解為,那么由可得從而得到或【典例】解一元二次方程解:原方程可化為 故練:解一元二次方程(1) (2) (3)解法二(配方法)一元二次方程,用配方法將其變形為:兩邊開方即可得到方程的根【典例】解一元二次方程解:原方程可化為 即 故 從而 即練:解一元二次方程(1) (2) (3)解法三(公式法)對于一元二次方程,(1) 當(dāng)時,右端是正數(shù)因此,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根:(2) 當(dāng)時,右端是零因此,方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根:【典例】解一元二次方程解:由所以原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根所以即練:解一元二次方程(1) (2) (3)三、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的兩個根為:所以:,定理:如果一元二次方程的兩個根為,那么:說明:一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn),所以通常把此定理稱為”韋達(dá)定理”上述定理成立的前提是【例3】若是方程的兩個根,試求下列各式的值:(1) ;(2) ;(3) ;(4) 分析:本題若直接用求根公式求出方程的兩根,再代入求值,將會出現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算這里,可以利用韋達(dá)定理來解答解:由題意,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得:(1) (2) (3) (4) 說明:利用根與系數(shù)的關(guān)系求值,要熟練掌握以下等式變形:,等等韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想練:若是方程的兩個根,試求下列各式的值(1) (2) (3) ;(3) ; (4) ;(5) 練 習(xí)A 組1一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍是()ABCD2若是方程的兩個根,則的值為()ABCD3已知菱形ABCD的邊長為5,兩條對角線交于O點(diǎn),且OA、OB的長分別是關(guān)于的方程的根,則等于()ABCD4若是一元二次方程的根,則判別式和完全平方式的關(guān)系是()ABCD大小關(guān)系不能確定5若實(shí)數(shù),且滿足,則代數(shù)式的值為()ABCD6如果方程的兩根相等,則之間的關(guān)系是 _ 7已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰是方程的兩個根,則這個直角三角形的斜邊長是 _ 8若方程的兩根之差為1,則的值是 _ 9設(shè)是方程的兩實(shí)根,是關(guān)于的方程的兩實(shí)根,則= _ ,= _ 10已知實(shí)數(shù)滿足,則= _ ,= _ ,= _ 11對于二次三項(xiàng)式,小明得出如下結(jié)論:無論取什么實(shí)數(shù),其值都不可能等于10您是否同意他的看法?請您說明理由12若,關(guān)于的方程有兩個相等的的正實(shí)數(shù)根,求的值13已知關(guān)于的一元二次方程(1) 求證:不論為任何實(shí)數(shù),方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;(2) 若方程的兩根為,且滿足,求的值14已知關(guān)于的方程的兩根是一個矩形兩邊的長(1) 取何值時,方程存在兩個正實(shí)數(shù)根?(2) 當(dāng)矩形的對角線長是時,求的值B 組1已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根(1) 求的取值范圍;(2) 是否存在實(shí)數(shù),使方程的兩實(shí)根互為相反數(shù)?如果存在,求出的值;如果不存在,請您說明理由2已知關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)根的平方和等于11求證:關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根3若是關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)根,且都大于1(1) 求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2) 若,求的值第三講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系習(xí)題答案A組1 B2 A3A4A5A67 38 9或91011正確1241314B組1(2) 不存在2(1)當(dāng)時,方程為,有實(shí)根;(2) 當(dāng)時,也有實(shí)根3(1) ;(2)- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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