2019-2020年高中數(shù)學 5.1初識無限同步精練 北師大版選修3-1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 5.1初識無限同步精練 北師大版選修3-1 1．建立“無窮集合論”的數(shù)學家是(　　) A．費馬 B．歐拉 C．高斯 D．康托 2．1615年，為了研究旋轉(zhuǎn)體的體積，________引入了無窮大和無窮小的概念．(　　) A．開普勒 B．萊布尼茨 C．牛頓 D．費馬 3．下列說法正確的是(　　) A．全體有理數(shù)比全體自然數(shù)多 B．有理數(shù)集與自然數(shù)集之間存在一一對應關(guān)系 C．有理數(shù)集與自然數(shù)集的基數(shù)不同 D．有理數(shù)集與自然數(shù)集是相等的集合 4．將正整數(shù)集Z＋中去掉一個元素“1”后剩余的元素組成的集合記為A，則下列敘述正確的是(　　) A．Z＋比A多一個元素 B．Z＋＝A C．Z＋與A的元素個數(shù)一樣多 D．Z＋的基數(shù)大于A的基數(shù) 5．下列敘述正確的是(　　) A．所有可數(shù)集的基數(shù)都相同 B．所有的無限集都是對等的 C．所有的無限集都可以與正整數(shù)集之間建立一一對應關(guān)系 D．如果存在一個對應法則，使得A中的任一個元素a，按照對應法則，必有B中唯一的元素b與之對應，則稱建立了A與B之間的一個一一對應 6．在證明全體有理數(shù)是可數(shù)的時，我們把有理數(shù)排列成一個數(shù)陣，從中間的0開始數(shù)起，畫一個________形的螺旋線，按照這一路線，每個有理數(shù)都會被數(shù)到，它將對應一個唯一的正整數(shù)，這樣我們就證明了全體有理數(shù)是可數(shù)的． 7．1886年，法國數(shù)學家________說了一句很有名的話：“上帝創(chuàng)造了正整數(shù)，其他一切都是人類的創(chuàng)造．” 8．證明：集合(0,5)與(0,12)之間可以建立一一對應關(guān)系． 9．設全體正奇數(shù)為集合A，全體正偶數(shù)為集合B，證明：A與B對等． 10．證明：正奇數(shù)集A與正整數(shù)集Z＋有相同的基數(shù)． 11．設A＝，R＝(－∞，＋∞)，建立一個A與R之間一一對應關(guān)系． 12．設A為可數(shù)集，B為有限集或可數(shù)集，且A∩B＝，證明：A∪B為可數(shù)集． 13．上網(wǎng)搜集關(guān)于康托的生平材料，并整理出來．  參考答案 1．答案：D 2．答案：A 3．答案：B　解析：因為自然數(shù)集和有理數(shù)集都是可數(shù)集，所以它們之間存在一一對應關(guān)系． 4．答案：C　解析：Z＋與A之間存在一一對應關(guān)系，故Z＋與A的元素個數(shù)一樣多． 5．答案：A　解析：因為所有的可數(shù)集都可與正整數(shù)集之間建立一一對應關(guān)系，所以它們的基數(shù)都相同． 6．答案：矩 7．答案：克羅內(nèi)克 8．證明：從集合(0,5)中任取一個元素x，按照對應法則f：x→y＝，在集合(0,12)中存在唯一元素y與x對應．反之，在(0,12)中任取一個元素y，按照對應法則f：x→y＝, 在集合(0,5)中存在唯一的元素x與y對應．從而建立了集合(0,5)與(0,12)之間的一一對應關(guān)系． 9．證明：對于A中的任一個元素x，按照對應法則f：y＝x＋1，則在B中存在唯一的一個元素y＝x＋1與之對應；反之，對于集合B中的任一元素y，按照對應法則f：y＝x＋1，在集合A中存在唯一的一個元素x與之對應．故A與B之間存在一一對應關(guān)系，所以集合A與B對等． 10．證明：對于集合Z＋中的任一個元素x，按照對應法則f：y＝2x－1，在集合A中存在唯一元素y與之對應．反之，對于集合A中的任一元素y，按照對應法則f：y＝2x－1，在Z＋中存在唯一的元素x與之對應．這樣A與Z＋建立了一一對應關(guān)系，所以A與Z＋有相同的基數(shù)． 11．解：在A中，任取一個元素x，按照對應法則f：y＝tanx，在R中存在唯一的元素y與之對應；反之，對于R中的任一元素y，按照對應法則f：y＝tanx，在A中存在唯一的元素x與之對應．這樣就建立了集合A與R之間的一一對應關(guān)系． 12．證明：由于可數(shù)集總可排成無窮序列，不妨設A＝{a1，a2，…，an}，B＝{b1，b2，…，bn}(當B有限時)或B＝{b1，b2，…，bn，…}(當B可數(shù)時)．由于當B有限時(B排到前，A排在后)，A∪B＝{b1，b2，…，bn，a1，a2，…，an}； 又當B可數(shù)時(交錯排列)，A∪B＝{a1，b1，a2，b2，…，an，bn，…}． 可見A∪B總可以排成無窮序列，與正整數(shù)集一一對應，從而是可數(shù)集． 13．答：參考材料如下： 康托(Cantor，Georg Ferdinand Philip,1845—1918)，德國數(shù)學家，集合論的創(chuàng)始者.1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日卒于哈雷.1862年入瑞士蘇黎世大學，翌年轉(zhuǎn)入柏林大學，主修數(shù)學，師從E.E.庫默爾、K.魏爾斯特拉斯和L.克羅內(nèi)克.1867年獲博士學位，曾任哈雷大學教授．大學期間康托主修數(shù)論，受魏爾斯特拉斯的影響，對嚴格的數(shù)學分析理論感興趣．他在1872年以本序列(即柯西序列)定義無理數(shù)的實數(shù)理論，并初步提出以高階導出集的性質(zhì)作為對無窮集合的分類準則.1873年他用一一對應關(guān)系作為對無窮集合分類的準則．他巧妙地將一條直線上的點與一個平面甚至幾維空間的點一一對應起來．在研究無窮數(shù)與超限數(shù)理論時，他還引進勢、基數(shù)、序數(shù)等概念并定義了基數(shù)之間的運算及序的運算法則，對有限數(shù)集理論作出了重要貢獻． 19世紀70年代許多數(shù)學家只承認有窮事物的發(fā)展過程是無窮盡的，無窮只是潛在的，是就發(fā)展說的．他們不承認已經(jīng)完成的、客觀存在著的無窮整體，例如集合論里的各種超窮集合．康托集合論肯定了作為完成整體的實無窮，從而遭到了一些數(shù)學家和哲學家，特別是克羅內(nèi)克的批評與攻擊．另一方面，康托創(chuàng)建集合論的工作開始時就得到戴德金、魏爾斯特拉斯和D.希爾伯特的鼓勵和贊揚.20世紀以后集合論不斷發(fā)展，已成為數(shù)學的基礎理論．