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2019-2020年高中數(shù)學 課時作業(yè)8 數(shù)列的性質(zhì)和遞推公式 新人教版必修5
1．數(shù)列1,3,6,10,15，…的遞推公式是( )
A．a(chǎn)n＋1＝an＋n，n∈N*
B．a(chǎn)n＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．a(chǎn)n＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2
D．a(chǎn)n＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2
答案 B
解析 逐項驗證可知B選項合適．
2．已知數(shù)列{an}滿足a1>0，且an＋1＝an，則數(shù)列{an}是( )
A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列
C．常數(shù)列 D．擺動數(shù)列
答案 B
解析 由a1>0，且an＋1＝an，
則an>0，又＝<1，∴an＋1
an＋1
D．a(chǎn)n與an＋1的大小關(guān)系和n有關(guān)
答案 B
解析 ∵an＝＝＝1＋，
∴an－an＋1＝－＝.
當c－1>0時，an>an＋1；當c－1<0時，an0，所以不對，對于非零實數(shù)a應討論a>0和a<0兩種情況．
∵an－an－1＝－a()n(n≥2)，
∴當a>0時，an－an－1<0.
∴an0，
∴an>an－1.∴{an}是遞增數(shù)列．
14．已知數(shù)列{an}：，－，，－， …
(1)寫出數(shù)列的通項公式；
(2)計算a10，a15，a2n＋1；
(3)證明：數(shù)列{|an|} 是遞增數(shù)列．
解析 (1)原數(shù)列變形為：，－，，－，…，分別考查數(shù)列的分子，分母與項數(shù)n的關(guān)系以及符號相間出現(xiàn)，第一項為正，所以數(shù)列的通項公式為an＝(－1)n＋1.
(2)當n＝10，則a10＝－＝－；
當n＝15時，則a15＝；將an中n換成2n＋1時，得a2n＋1＝.
(3)令bn＝|an|(n∈N*)，
則bn＝|(－1)n＋1|＝.
∵bn＋1－bn＝－＝>0.
∴bn＋1>bn.即對一切正整數(shù)n，恒有|an＋1|>|an|成立．因此數(shù)列{|an|}為遞增數(shù)列．
講評 本題求解時，若與函數(shù)的定義，函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)聯(lián)系容易理解，an＝f(n)即為函數(shù)的解析式；a10＝f(10)，即是函數(shù)在n＝10的函數(shù)值；a2n＋1＝f(2n＋1)即為函數(shù)代換，將函數(shù)中的變量n換成了2n＋1；當|an＋1|>|an|時，則數(shù)列在n∈N*時為遞增數(shù)列，這與函數(shù)單調(diào)遞增定義一樣，即對一切正整數(shù)n當n＋1>n，都有|an＋1|>|an|，說明數(shù)列中每一項大于前一項，即為遞增數(shù)列．
15．數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1＋2anan＋1－an＝0.
(1)寫出數(shù)列{an}的前5項；
(2)由(1)寫出數(shù)列{an}的一個通項公式；
(3)實數(shù)是否為這個數(shù)列中的項？若是，應為第幾項？
解析 (1)∵a1＝1，an＋1＋2anan＋1－an＝0，
∴a2＋2a1a2－a1＝0，解得a2＝.
同理，可以解得a3＝，a4＝，a5＝.
∴數(shù)列的前5項為1，，，，.
(2)由以上可得an＝.
(3)令＝，得n＝50.即是這個數(shù)列的第50項．
?重點班選作題
16．已知an＝，則這個數(shù)列的前30項中最大項和最小項分別是( )
A．a(chǎn)1，a30 B．a(chǎn)1，a9
C．a(chǎn)10，a9 D．a(chǎn)10，a30
答案 C
17．根據(jù)下列5個圖形及相應的個數(shù)的變化規(guī)律，試猜測第n個圖中有多少個點．
解析 圖(1)只有1個點，無分支；圖(2)除中間1個點外，有兩個分支，每個分支有1個點；圖(3)除中間1個點外，有三個分支，每個分支有2個點；圖(4)除中間1個點外，有四個分支，每個分支有3個點；…；猜測第n個圖中除中間一個點外，有n個分支，每個分支有(n－1)個點，故第n個圖中個數(shù)為1＋n(n－1)＝n2－n＋1.
設{an}是首項為1的正項數(shù)列且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N*)，求an.
解析 方法一 (累乘法)由(n＋1)a－na＋an＋1an＝0，得(an＋1＋an)(nan＋1－nan＋an＋1)＝0.
由于an＋1＋an>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0.
∴＝.
∴an＝a1…
＝1…＝.
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