2019年高中數(shù)學 3.1 第1課時歸納推理同步檢測 北師大版選修1-2.doc

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2019年高中數(shù)學 3.1 第1課時歸納推理同步檢測 北師大版選修1-2 一、選擇題 1．觀察下列數(shù)列的特點：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，則第100項是(　　) A．10 B．13 C．14 D．100 [答案]　C [解析]　∵＝91，∴從第92項到第105項都是14，故選C. 2．觀察下圖中圖形的規(guī)律，在其右下角的空格內適合的圖形為(　　) □ ● ▲ ▲ ■ ○ ● △ A.■ B．△ C．□ D．○ [答案]　A [解析]　圖形涉及三種符號□、○、△，其中符號○與△各有3個，且各自有二黑一白，所以□缺一個黑色符號，即應畫上■才合適． 3．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示： 按照上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖形需要火柴棒的根數(shù)為(　　) A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2 [答案]　C [解析]　歸納“金魚”圖形的構成規(guī)律知，后面“金魚”都比它前面的“金魚”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分，故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數(shù)構成一首項為8，公差是6的等差數(shù)列，通項公式為an＝6n＋2. 4．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，猜想an等于(　　) A. B． C. D． [答案]　B [解析]　由a1＝1，Sn＝n2an，得a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝，故應選B. 5．如圖所示的是一串黑白相間排列的珠子，若按這種規(guī)律排列下去，那么第36顆珠子的顏色是(　　) A．白色 B．黑色 C．白色的可能性大 D．黑色的可能性大 [答案]　A [解析]　由圖知，這串珠子的排列規(guī)律是：每5個一組(前3個是白色珠子，后2個是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝57＋1，即第36顆珠子正好是第8組中的第1顆珠子，其顏色與第一顆珠子的顏色相同，故它的顏色一定是白色． 6．四個小動物換座位，開始是鼠、猴、兔、貓分別坐在第1,2,3,4號座位上(如圖所示)，如果第1次前后排動物互換座位，第2次左右列動物互換座位，…，這樣交替進行下去，那么第2 013次互換座位后，小兔坐在第(　　)號座位上．(　　) 開始　　　 第1次　　　 第2次　　　 第3次 A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]　A [解析]　由題意得第4次互換座位后，四個小動物回到了原位，即每經過4次互換座位后，小動物回到原位，所以第2 013次互換座位后的結果與第1次互換座位后的結果相同，小兔坐在第1號座位上．故選A. 二、填空題 7．考查下列式子：1＝12；2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，得出的結論是________． [答案]　n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 [解析]　從數(shù)值特征看，等式左邊首數(shù)為n時，共有連續(xù)2n－1個數(shù)，右邊為(2n－1)2. 8．經計算發(fā)現(xiàn)下列正確不等式：＋<2，＋<2，＋<2，…，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，試寫出一個對正實數(shù)a，b成立的條件不等式：________. [答案]　當a＋b＝20時，有＋≤2(a>0，b>0) [解析]　各不等式右邊相同，左邊兩根號內的數(shù)之和等于20. 三、解答題 9．已知Sn＝＋＋＋…＋，寫出S1，S2，S3，S4的值，并由此歸納出Sn的表達式． [分析]　在Sn中分別令n＝1,2,3,4，可以求得S1，S2，S3，S4的值，再進行歸納推測． [解析]　S1＝＝； S2＝＋＝＋＝＝； S3＝＋＋＝＋＝＝； S4＝＋＋＋＝＋＝＝； 由此猜想：Sn＝(n∈N＋)． [點評]　本題利用歸納猜想的思想求得了Sn的表達式，有兩點應注意：①正確理解與把握數(shù)列求和中Sn的含義；②在對特殊值進行規(guī)律觀察時，有時需要將所得結果作變形處理，以顯示隱藏的規(guī)律性． 10．某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)： ①sin213＋cos217－sin13cos17； ②sin215＋cos215－sin15cos15； ③sin218＋cos212－sin18cos12； ④sin2(－18)＋cos248－sin(－18)cos48； ⑤sin2(－25)＋cos255－sin(－25)cos55. (1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結論． [答案]　(1)　(2)sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α)＝　證明略 [解析]　解法一： (1)選擇(2)式，計算如下： sin215＋cos215－sin15cos15＝1－sin30 ＝1－＝. (2)三角恒等式為 sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α) ＝sin2α＋(cos30cosα＋sin30sinα)2－sinα(cos30cosα＋sin30sinα) ＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝. 解法二： (1)同解法一． (2)三角恒等式為 sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α) ＝＋－sinα(cos30cosα＋sin30sinα) ＝－cos2α＋＋(cos60cos2α＋sin60sin2α)－sinαcosα－sin2α ＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α) ＝1－cos2α－＋cos2α＝. 一、選擇題 11．我們把1,4,9,16,25，…這些數(shù)稱作正方形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的點可以排成一個正方形(如下圖)， 則第n個正方形數(shù)是(　　) A．n(n－1) B．n(n＋1) C．n2 D．(n＋1)2 [答案]　C [解析]　第n個正方形數(shù)的數(shù)目點可排成每邊都有n個點的正方形，故為n2. 13．平面內的小圓形按照下圖中的規(guī)律排列，每個圖中的圓的個數(shù)構成一個數(shù)列{an}，則下列結論正確的是(　　) ①a5＝15； ②數(shù)列{an}是一個等差數(shù)列； ③數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列； ④數(shù)列{an}的遞推關系是an＝an－1＋n(n∈N*)． A．①②④ B．①③④ C．①② D．①④ [答案]　D [解析]　由于a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4.因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正確．同時④正確，而{an}顯然不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，故②③錯誤，故選D. 12．如圖是元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉閃爍所成的三個圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個呈現(xiàn)出來的圖形是(　　) [答案]　A [解析]　由前三個圖形呈現(xiàn)出來的規(guī)律可知，下一個圖形可視作上一圖形順時針旋轉144得到的，故由第三個圖形順時針旋轉144得到的圖形應為A. 二、填空題 14．觀察下列不等式 1＋<， 1＋＋<， 1＋＋＋<， …… 照此規(guī)律，第五個不等式為________． [答案]　1＋＋＋＋＋< [解析]　本題考查了歸納的思想方法． 觀察可知1＋＋＋…＋<， 所以第五個不等式為： 1＋＋＋＋＋<. 在用歸納法歸納一般性結論的時候，要養(yǎng)成檢驗意識． 15．如圖是由一些小正方體摞成的．第(1)堆有1個，第(2)堆有4個，第(3)堆有10個…，則第n堆有________個小正方體． [答案]　n(n＋1)(n＋2) [解析]　第一堆有1個；第二堆有1＋(1＋2)＝4個；第三堆有1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＝10個；……；第n堆有1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋……＋(1＋2＋…＋n)＝n(n＋1)(n＋2)個． 三、解答題 16．由下列各式： 1>， 1＋＋>1， 1＋＋＋＋＋＋>， 1＋＋＋＋…＋>2， 請你歸納出一般結論． [解析]　將題中所給四個式子變形>， 1＋＋>， 1＋＋＋＋＋＋>， 1＋＋＋＋…＋>， 歸納概括，猜測得1＋＋＋…＋>. 17．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝－且Sn＋＋2＝an(n≥2，n∈N＋)，計算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達式． [解析]　當n≥2時，an＝Sn－Sn－1， ∴Sn＋＋2＝Sn－Sn－1. ∴＋Sn－1＋2＝0. 當n＝1時，S1＝a1＝－； 當n＝2時，＝－2－S1＝－， ∴S2＝－； 當n＝3時，＝－2－S2＝－， ∴S3＝－； 當n＝4時，＝－2－S3＝－， ∴S4＝－.猜想：Sn＝－(n∈N＋)．