2019-2020年中考數(shù)學(xué) 第24講 圖形的相似復(fù)習(xí)教案2 （新版）北師大版.doc

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2019-2020年中考數(shù)學(xué) 第24講 圖形的相似復(fù)習(xí)教案2 （新版）北師大版 教學(xué)目標(biāo) 1. 了解比例的基本性質(zhì)，了解線段的比、成比例線段，平行線分線段長比例，通過實例了解黃金分割. 2.通過具體實例認(rèn)識圖形的相似，知道相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，面積的比等于對應(yīng)邊比的平方； 3.了解兩個三角形相似的概念，掌握兩個三角形相似的條件. 4.了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮??； 5.通過實例了解物體的相似，利用圖形的相似解決一些實際問題(如利用相似測量旗桿的高度). 教學(xué)重點與難點： 重點：相似三角形的性質(zhì)與判定定理的應(yīng)用． 難點：能利用相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理解決有關(guān)的問題． 教學(xué)準(zhǔn)備： 教師準(zhǔn)備：導(dǎo)學(xué)案、多媒體課件． 學(xué)生準(zhǔn)備：課前完成導(dǎo)學(xué)案上的“課前熱身及知識梳理”． 教學(xué)過程： 一、課前熱身，回顧知識 （學(xué)生在提前下發(fā)的導(dǎo)學(xué)案上完成課前熱身訓(xùn)練，以及相似三角形相關(guān)的知識點的回顧.） 1.若 ＝，則= . 2. 如圖，在△ABC中，EF∥BC，，S四邊形BCFE=8， 則S△ABC= . 3.如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，則的值為（　?。? A． B． C． D． 3題圖 4題圖 4．如圖，△ABC中，AE交BC于點D，∠C=∠E，AD ：DE=3 ：5，AE=8，BD=4，則DC的長等于（ ） A． B． C． D． 5.如圖，D是△ABC的邊AC上的一點，連接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，則線段CD的長是 ． 6．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90，AB=8，AD=3，BC=4，點P為AB邊上一動點，若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)是（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 5題圖 6題圖 7. 如圖，光源P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD,AB∥CD,AB=2 m,CD=6 m,點P到CD的距離是2.7 m,則AB與CD的距離為_____m. E D A C B 7題圖 8題圖 8. 如圖，∠DAB＝∠CAE，請?zhí)砑右粋€適當(dāng)?shù)臈l件：，使△ABC∽△ADE． 9．如圖，在△ABC中，兩條中線BE、CD相交于點O，則S△DOE ：S△COB=（　?。? A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2 9題圖 10 題圖 10. 如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，D在BC上，DE與AC相交于點F，AB=9，BD=3，則CF等于（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 11.如圖，已知圖中的每個小方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點．若△ABC與△A1B1C1是位似圖形，且頂點都在格點上，則位似中心的坐標(biāo)是 ． 11題圖 12題圖 12．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1．如果△BEC的面積為2，那么四邊形ABED的面積是 . 處理方式：一生用展臺展示自己的導(dǎo)學(xué)案，其余學(xué)生互查并糾正錯誤，教師用多媒體展示答案. 設(shè)計意圖：在學(xué)生展示及其相互糾錯的過程中，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)學(xué)習(xí)的知識點，把握復(fù)習(xí)重點，如有遺忘，借用課本或同學(xué)間交流進行補充.這樣做既可以節(jié)省課上時間，也能加深學(xué)生對知識網(wǎng)絡(luò)的理解． 二、揭示目標(biāo)，建構(gòu)網(wǎng)絡(luò) 同學(xué)們，剛才我們順利完成了課前熱身訓(xùn)練的反饋，大家表現(xiàn)的非常棒！在此基礎(chǔ)上，今天我們一起來重點復(fù)習(xí)第二十四講 圖形的相似． 下面我們先看一看中考要求：（多媒體展示） 1. 了解比例的基本性質(zhì)，了解線段的比、成比例線段，平行線分線段長比例，通過實例了解黃金分割. 2.通過具體實例認(rèn)識圖形的相似，知道相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，面積的比等于對應(yīng)邊比的平方； 3.了解兩個三角形相似的概念，掌握兩個三角形相似的條件. 4.了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮??； 5.通過實例了解物體的相似，利用圖形的相似解決一些實際問題(如利用相似測量旗桿的高度). 設(shè)計意圖：讓學(xué)生明確中考對本節(jié)知識點的要求，使學(xué)生在復(fù)習(xí)過程中把握復(fù)習(xí)的方向,明確復(fù)習(xí)的重點，掌握解題的方法與技巧． 結(jié)合課前熱身和中考要求，你能總結(jié)一下相似圖形的有關(guān)知識嗎？ 考點統(tǒng)計： （導(dǎo)學(xué)案提前下發(fā)，學(xué)生在導(dǎo)學(xué)案中填空．） 1.比例的性質(zhì)：①比例的基本性質(zhì) ；②比例的合比性質(zhì) ； ③比例的等比性質(zhì) ； 2.相似三角形的性質(zhì)： （1） 的兩個三角形叫相似三角形， 叫相似比． （2）相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對應(yīng)角 ，對應(yīng)邊 ； ②相似三角形的對應(yīng) 比，對應(yīng) 比，對應(yīng) 比， 比都等于相似比， 比等于相似比的平方． 3.相似三角形的判定方法： （1） 角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；（2）兩邊 ，且夾角 的兩個三角形相似；（3）三邊 的兩個三角形相似． 4.位似圖形 位似圖形是特殊的相似圖形，對應(yīng)點所在的直線都過 ，位似比等于相似比． 5.知識網(wǎng)絡(luò) 設(shè)計意圖：在導(dǎo)學(xué)案上以填空題的形式給學(xué)生梳理知識，再讓學(xué)生填空.檢查其對知識點掌握情況，避免遺漏；同時也便于學(xué)生把握知識點間的聯(lián)系，為學(xué)生歸納知識網(wǎng)絡(luò)奠定基礎(chǔ). 三、典例剖析，應(yīng)用升華 考點一 比例線段與比例的基本性質(zhì) 例1已知＝，則的值是(　　) A. B. C. D. 處理方式：先給學(xué)生10秒鐘時間理解本題的條件與要求，再分別口述解題過程，教師板書.在學(xué)生口述過程中，教師可進行有針對性的提問，讓學(xué)生明確解題的關(guān)鍵.學(xué)生完成后教師引導(dǎo)學(xué)生對本題進行總結(jié)． 【思路點撥】本題的關(guān)鍵是把要求值的代數(shù)式中的兩個或更多的字母統(tǒng)一成一個字母的表達(dá)式.具體做法有兩種：方法一，代換法.由 ＝可得b＝a，代入原式即可求解；方法二,設(shè)k法. 可設(shè)a＝13k，b＝5k(k≠0)，將a、b值代入原式即可求解. 【參考解答過程】方法一，代換法（略）. 方法二，設(shè)k法. 解：∵＝，∴可設(shè)a＝13k，b＝5k(k≠0)，∴＝＝＝.故選D. 【方法總結(jié)】此題考查了比例條件的應(yīng)用，可以看出設(shè)k法更加方便，如a:b:c=2:3:4， 可設(shè)a＝2k，b＝3 k，c＝4 k，這樣可使相關(guān)聯(lián)的條件分開單獨應(yīng)用. 變式練習(xí)：1.已知，( ) A. B. C. D. 2．已知＝＝，且a，b，c都是正數(shù)，則＝ 　. 考點二 相似三角形的判定和性質(zhì) 例2 如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90，E為AB的中點． (1)求證：AC2＝ABAD； (2)求證：CE∥AD； (3)若AD＝4，AB＝6，求的值． 處理方式：學(xué)生先理解本題的條件與要求，再說出解題思路，教師適時引導(dǎo)，教師可進行有針對性的提問，讓學(xué)生明確解題的關(guān)鍵．學(xué)生完成后教師引導(dǎo)學(xué)生對本題進行總結(jié)． 【思路點撥】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90，可證得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得AC2=AB?AD； （2）由E為AB的中點，根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得CE=AB=AE，繼而可證得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD； （3）易證得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得的值． 【參考解答過程】(1)證明：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC ＝∠CAB. 又∵∠ADC ＝∠ACB＝90，∴△ADC∽△ACB. ∴＝. ∴AC2＝ABAD. (2)證明：∵E為AB的中點， ∴CE＝AB＝AE，∠EAC ＝∠ECA. ∵AC平分∠DAB，∴∠DAC ＝∠EAC. ∴∠DAC ＝∠ECA.∴CE∥AD. (3)∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE， ∴＝. ∵CE＝AB，∴CE＝6＝3. 又∵AD＝4，由＝，得＝. ∴＝. 【方法總結(jié)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．在證明成比例線段或等積式（一般需要轉(zhuǎn)化成比例式）時，可以考慮證明兩個三角形相似.這樣可以避免走彎路，所以我們要注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．　 設(shè)計意圖：通過考點解析，讓學(xué)生體會如何運用相似三角形的性質(zhì)與判定定理相關(guān)知識進行解題，掌握解題的方法，同時也體會利用轉(zhuǎn)化思想，往往能使問題變得簡單化，解決過程清晰明了． 變式練習(xí)：3.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AC與BD交于點E，∠ADB=∠ACB． （1）求證： = ； （2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F(xiàn)是BC中點，求證：四邊形ABFD是菱形． 考點三：位似圖形的定義與性質(zhì) 例3 已知：△ABC在坐標(biāo)平面內(nèi)，三個頂點的坐標(biāo)分別為A(0,3)，B(3,4)，C(2,2)．(正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長是1個單位長度) (1)畫出△ABC向下平移4個單位得到的△A1B1C1，并直接寫出C1點的坐標(biāo)； (2)以點B為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△A2BC2，使△A2BC2與△ABC位似，且位似比為2∶1，并直接寫出C2點的坐標(biāo)及△A2BC2的面積． 處理方式：學(xué)生先讀題理解題意，并根據(jù)本題的條件與要求畫出平移后的圖形及其位似圖形，然后根據(jù)圖形口述解題過程.教師適時引導(dǎo)，教師可進行有針對性的提問，讓學(xué)生明確解題的關(guān)鍵．學(xué)生完成后教師引導(dǎo)學(xué)生對本題進行總結(jié)． 【思路點撥】（1）利用平移的性質(zhì)得出平移后圖象進而得出答案.(2)利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置即可，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出△A2BC2的面積. 【參考解答過程】解：(1)如圖，△A1B1C1即為所求，C1(2，－2)； (2)如圖，△A2BC2即為所求，C2(1,0)，△A2BC2的面積等于10. 【方法總結(jié)】此題考查了位似變換的性質(zhì)與平移的性質(zhì).熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵.此題難度不大，我們要注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 變式練習(xí)：4.如圖，線段AB兩個端點的坐標(biāo)分別為A（6，6），B（8，2），以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，則端點C的坐標(biāo)為（　　） A．（3，3） B．（4，3） C．（3，1） D．（4，1） 4題圖 5題圖 5.如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點O為位似中心，相似比為1：，點A的坐標(biāo)為（0，1），則點E的坐標(biāo)是 . 考點四：相似三角形的實際應(yīng)用 例4 某一天，小明和小亮來到一河邊，想用遮陽帽和皮尺測量這條河的大致寬度，兩人在確保無安全隱患的情況下，現(xiàn)在河岸邊選擇了一點B(點B與河對岸岸邊上的一棵樹的底部點D所確定的直線垂直于河岸)． ①小明在B點面向樹的方向站好，調(diào)整帽檐，使視線通過帽檐正好落在樹的底部點D處，如圖所示，這時小亮測的小明眼睛距地面的距離AB＝1.7米；②小明站在原地轉(zhuǎn)動180后蹲下，并保持原來的觀察姿態(tài)(除身體重心下移外，其他姿態(tài)均不變)，這時視線通過帽檐落在了DB延長線上的點E處，此時小亮測得BE＝9.6米，小明的眼睛距地面的距離CB＝1.2米． 根據(jù)以上測量過程及測量數(shù)據(jù)，請你求出河寬BD是多少米？ 【思路點撥】根據(jù)題意可知∠BAD＝∠BCE，又∠ABD＝∠CBE＝90，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可判定△BAD∽△BCE，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可. 【參考解答過程】解：由題意得，∠BAD＝∠BCE，∵∠ABD＝∠CBE＝90，∴△BAD∽△BCE，∴＝，即＝，解得BD＝13.6米．答：河寬BD是13.6米. 【方法總結(jié)】讀懂題目信息得到相等的角（∠BAD＝∠BCE），并根據(jù)三角形相似的判定方法判定出相似三角形是解決問題的關(guān)鍵，也是本題的難點. 變式練習(xí)：6.我們知道當(dāng)人的視線與物體表面互相垂直時的視覺效果最佳．如圖是小明站在距離墻壁1.60米處觀察裝飾畫時的示意圖，此時小明的眼睛與裝飾畫底部A處于同一水平線上，視線恰好落在裝飾畫中心位置E處，且與AD垂直．已知裝飾畫的高度AD為0.66米． 求：(1)裝飾畫與墻壁的夾角∠CAD的度數(shù)(精確到1)； (2)裝飾畫頂部到墻壁的距離DC(精確到0.01米)． 考點五 相似三角形綜合問題 例5 課本中有一道作業(yè)題： 有一塊三角形余料ABC，它的邊BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長是多少毫米？ 小穎解得此題的答案為48 mm，小穎善于反思，她又提出了如下的問題． (1)如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖①，此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少毫米？請你計算． (2)如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖②，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達(dá)到這個最大值時矩形零件的兩條邊長． 處理方式：學(xué)生先理解本題的條件與要求，再說出解題思路，教師適時引導(dǎo)，教師可進行有針對性的提問，讓學(xué)生明確解題的關(guān)鍵．學(xué)生完成后教師引導(dǎo)學(xué)生對本題進行總結(jié)． 【思路點撥】（1）證明△APN∽△ABC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，證明結(jié)論． （2）設(shè)PN＝x mm，由(1)可知△APN∽△ABC，所以＝，即＝，解得PQ＝80－x，然后將PN、PQ代入矩形面積S＝PNPQ即可求解． 【參考解答過程】解：(1)設(shè)矩形的邊長PN＝2y mm，則PQ＝y(tǒng) mm，由條件可得△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得y＝，∴PN＝2＝(mm). 答：這個矩形零件的兩條邊長分別為 mm， mm. (2)設(shè)PN＝x mm，由條件可得△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得PQ＝80－x.∴S＝PNPQ＝x(80－x)＝－x2＋80x＝－(x－60)2＋2 400，∴S的最大值為2 400 mm2，此時PN＝60 mm，PQ＝80－60＝40(mm). 【方法總結(jié)】解決有關(guān)三角形的內(nèi)接正方形(或矩形)的計算問題，一般運用相似三角形“對應(yīng)高之比等于相似比”這一性質(zhì)來解答． 變式練習(xí)：7.(xx安順)如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于點F，交BC于點G，過點C的直線與ED的延長線交于點P，PC＝PG. (1)求證：PC是⊙O的切線； (2)當(dāng)點C在劣弧AD上運動時，其他條件不變，若BG2＝BFBO.求證：點G是BC的中點； (3)在滿足(2)的條件下，AB＝10，ED＝4，求BG的長． 四、總結(jié)收獲，反思提升 今天我們復(fù)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)知識？ 我最大的收獲是…… 我表現(xiàn)不足的地方是…… 我想進一步研究的問題是…… 設(shè)計意圖：反思是重要的學(xué)習(xí)方式，能夠幫助學(xué)生從整體上理順知識間的聯(lián)系，提升解決問題的策略，豐富學(xué)生的經(jīng)驗. 五、達(dá)標(biāo)檢測，反饋提高 1．若 ＝，則= ． 2．△ABC與△A′B′C′是位似圖形，且△ABC與△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面積是3，則△A′B′C′的面積是（　?。? A．3 B．6 C．9 D．12 3．如圖，在?ABCD中，點E是邊AD的中點，EC交對角線BD于點F，則EF：FC等于（　　） 　 A．3：2 B. 3：1 C. 1：1 D．1：2 4.如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是BC上的一點，直線DF與AB的延長線相交于點E，BP∥DF，且與AD相交于點P，請從圖中找出一組相似的三角形： ． 3題圖 4題圖 5.如圖，A，B兩地被池塘隔開，小明通過下列方法測出了A、B間的距離：先在AB外選一點C，然后測出AC，BC的中點M，N，并測量出MN的長為12m，由此他就知道了A、B間的距離．有關(guān)他這次探究活動的描述錯誤的是（　 ） A. AB=24m B. MN∥AB C. △CMN∽△CAB D. CM：MA=1：2 5題圖 6題圖 6．如圖，某水平地面上建筑物的高度為AB，在點D和點F處分別豎立高是2米的標(biāo)桿CD和EF，兩標(biāo)桿相隔52米，并且建筑物AB、標(biāo)桿CD和EF在同一豎直平面內(nèi)，從標(biāo)桿CD后退2米到點G處，在G處測得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端C在同一條直線上；從標(biāo)桿FE后退4米到點H處，在H處測得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端E在同一條直線上，則建筑物的高是 米. 7．如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點△ABC（頂點是網(wǎng)格線的交點）． （1）將△ABC向上平移3個單位得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1； （2）請畫一個格點△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不為1． 選做題： 8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，點E在AD邊上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F. （1）求證：△ABE∽△DEF； （2）求EF的長． 處理方式：學(xué)生做完后，教師出示答案，指導(dǎo)學(xué)生校對，并統(tǒng)計學(xué)生答題情況．學(xué)生根據(jù)答案進行糾錯． 【方法總結(jié)】判定兩個三角形相似的常規(guī)思路：①先找兩對對應(yīng)角相等；②若只能找到一對對應(yīng)角相等，則判斷相等的角的兩夾邊是否對應(yīng)成比例；③若找不到角相等，就判斷三邊是否對應(yīng)成比例，否則可考慮相似三角形的“傳遞性”． 設(shè)計意圖：落實基礎(chǔ)，結(jié)合激勵性評價，檢測學(xué)生本節(jié)課學(xué)習(xí)的達(dá)成度，為后續(xù)的復(fù)習(xí)提升做準(zhǔn)備. 六、布置作業(yè)，拓展提高 必做題：復(fù)習(xí)指導(dǎo)叢書 第149頁 第16題． 選做題：復(fù)習(xí)指導(dǎo)叢書 第141頁 第14題． 設(shè)計意圖：分層布置作業(yè)，讓能力不同的每個學(xué)生都能各有所得，全面提高． 板書設(shè)計: 第二十四講 圖形的相似 例1： 例2： 例3： 例4： 例5： 多媒體展示區(qū) 學(xué)生板演區(qū)