2019年高考數(shù)學 五年高考真題分類匯編 第十四章 坐標系與參數(shù)方程 理.doc
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2019年高考數(shù)學 五年高考真題分類匯編 第十四章 坐標系與參數(shù)方程 理 一、選擇題 1．（xx?安徽高考理）在極坐標系中，圓ρ＝2cos θ的垂直于極軸的兩條切線方程分別 為 ( ) A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2 C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D．θ＝0(ρ∈R) 和ρcos θ＝1 解析：選B 本題考查極坐標方程與直角坐標方程的互化、直線和圓的位置關系．檢查考生對公式的記憶情況．由ρ＝2cos θ，可得圓的直角坐標方程為(x－1)2＋y2＝1，所以垂直于x軸的兩條切線方程分別為x＝0和x＝2，即所求垂直于極軸的兩條切線方程分別為θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2，故選B. 2．（xx?北京高考理）在極坐標系中，圓ρ＝－2sinθ的圓心的極坐標是 ( ) A．(1，) B．(1，－) C．(1,0) D．(1，π) 解析：選B 因為該圓的直角坐標方程為x2＋y2＝－2y，即為x2＋(y＋1)2＝1，圓心的直角坐標方程為(0，－1)，化為極坐標可以為(1，－)，故選B. 3．（2011?安徽高考理）在極坐標系中，點(2，)到圓ρ＝2cosθ的圓心的距離為 ( ) A．2 B. C. D. 解析：選D 由可知，點(2，)的直角坐標為(1，)，圓ρ＝2cosθ的方程為x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，則圓心到點(1，)的距離為. 二.填空題 4．（xx?陜西高考文）圓錐曲線(t為參數(shù))的焦點坐標是________． 解析：本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，涉及拋物線的方程和幾何性質(zhì)．代入法消參，得到圓錐曲線的方程為y2＝4x，則焦點坐標為(1,0)． 答案：(1,0) 5．（xx?廣東高考文）已知曲線C的極坐標方程為ρ＝2cos θ.以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，則曲線C的參數(shù)方程為________． 解析：本題主要考查坐標系與參數(shù)方程知識，考查函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法，意在考查考生的運算求解能力．極坐標方程化為直角坐標方程為(x－1)2＋y2＝1，令即(θ為參數(shù))． 答案：(θ為參數(shù)) 6．（xx?重慶高考理）在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．若極坐標方程為ρcos θ＝4的直線與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點，則|AB|＝________. 解析：本題考查極坐標方程與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化，意在考查考生的轉(zhuǎn)化能力．ρcos θ＝4化為直角坐標方程為x＝4①， 化為普通方程為y2＝x3②， ①②聯(lián)立得A(4,8)，B(4，－8)，故|AB|＝16. 答案：16 7．（xx?北京高考理）在極坐標系中，點到直線ρsin θ＝2的距離等于________． 解析：本題考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，考查等價轉(zhuǎn)化思想以及考生的運算求解能力．由題意知，點的直角坐標是(，1)，直線ρsin θ＝2的直角坐標方程是y＝2，所以所求的點到直線的距離為1. 答案：1 8．（xx?陜西高考理）如圖，以過原點的直線的傾斜角θ為參數(shù)，則圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程為________． 解析：本題考查圓的普通方程與參數(shù)方程的互化，涉及圓的方程和性質(zhì)．由題意得圓的方程為2＋y2＝，圓心在x軸上，半徑為，則其圓的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，注意α為圓心角，θ為同弧所對的圓周角，則有α＝2θ，有即(θ為參數(shù))． 答案：(θ為參數(shù)) 9．（xx?江西高考理）設曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為________． 解析：本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標方程與直角坐標方程的互化，意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸能力．消去曲線C中的參數(shù)t得y＝x2，將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝x2中，得ρ2cos2θ＝ρsin θ，即ρcos2θ－sin θ＝0. 答案：ρcos2θ－sinθ＝0 10．（xx?廣東高考理）已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，C在點(1,1)處的切線為l，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則l的極坐標方程為________． 解析：本題考查極坐標方程，考查考生對將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標方程的能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化思想方法的理解、應用程度及運算求解能力．曲線C的普通方程為：x2＋y2＝ ( cos t)2＋( sin t)2＝(cos2t＋sin2t)＝2，由圓的知識可知，圓心(0,0)與切點(1,1)的連線垂直于切線l，從而l的斜率為－1，由點斜式可得直線l的方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)，可得l的極坐標方程為ρcos θ＋ρsin θ－2＝0. 答案：ρcos θ＋ρsin θ－2＝0或ρ(cos θ＋sin θ)＝2 11．（xx?湖北高考理）在直角坐標系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)，a＞b＞0)．在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，直線l與圓O的極坐標方程分別為ρsin＝m(m為非零常數(shù))與ρ＝b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點，且與圓 O相切，則橢圓C的離心率為________． 解析：本題主要考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，參數(shù)方程與普通方程的互化以及橢圓的相關知識．由題意知，橢圓C的普通方程為＋＝1，直線l的直角坐標方程為x＋y＝m，圓O的直角坐標方程為x2＋y2＝b2，設橢圓C的半焦距為c，則根據(jù)題意可知，|m|＝c，＝b，所以有c＝b，所以橢圓C的離心率e＝＝＝. 答案： 12．（xx?天津高考理） 已知圓的極坐標方程為ρ＝4cos θ， 圓心為C, 點P的極坐標為，則|CP|＝________. 解析：本題考查圓的極坐標方程與直角坐標方程的互化，意在考查考生的轉(zhuǎn)化能力．圓ρ＝4cos θ的直角坐標方程為x2＋y2＝4x，圓心C(2,0)．點P的直角坐標為(2,2)，所以|CP|＝2. 答案：2 13．（xx?廣東高考文）在平面直角坐標系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為(θ為參數(shù)，0≤θ≤)和(t為參數(shù))，則曲線C1與C2的交點坐標為________． 解析：因為0≤θ≤，所以曲線C1的普通方程為x2＋y2＝5(x≥0，y≥0)，把直線的參數(shù)方程代入，得到(1－t)2＋(－t)2＝5，且即t2－t－4＝0(t≤0)，所以t＝－，此時所以曲線C1與C2的交點坐標為(2,1)． 答案：(2,1) 14．（xx?湖南高考文）在極坐標系中，曲線C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a>0)的一個交點在極軸上，則a＝________. 解析：曲線C1的直角坐標方程為x＋y＝1，曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2＝a2，C1與x軸的交點坐標為(，0)，此點也在曲線C2上，代入解得a＝. 答案： 15．（xx?廣東高考理）在平面直角坐標系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為(t為參數(shù))和(θ為參數(shù))，則曲線C1與C2的交點坐標為________． 解析：由得y＝，又由 得x2＋y2＝2. 由得 即曲線C1與C2的交點坐標為(1,1)． 答案：(1,1) 16．（xx?江西高考理）曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為________． 解析：將x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入x2＋y2－2x＝0得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ. 答案：ρ＝2cos θ 17．（xx?陜西高考理）直線2ρcos θ＝1與圓ρ＝2cos θ相交的弦長為________． 解析：直線的方程為2x＝1，圓的方程為x2＋y2－2x＝0，圓心為(1,0)，半徑r＝1，圓心到直線的距離為d＝＝，設所求的弦長為l，則12＝()2＋()2，解得l＝. 答案： 18．（xx?湖北高考理） 在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知射線θ＝與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點，則線段AB的中點的直角坐標為________． 解析：記A(x1，y1)，B(x2，y2)，將θ＝，轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為y＝x(x≥0)，曲線為y＝(x－2)2，聯(lián)立上述兩個方程得x2－5x＋4＝0，所以x1＋x2＝5，故線段AB的中點坐標為(，)． 答案：(，) 19．（xx?安徽高考理）在極坐標系中，圓ρ＝4sin θ的圓心到直線θ＝(ρ∈R)的距離是________． 解析：將ρ＝4sin θ化成直角坐標方程為x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，圓心為(0,2)．將θ＝(ρ∈R)化成直角坐標方程為x－y＝0，由點到直線的距離公式可知圓心到直線的距離d＝＝. 答案： 20．（2011?江西高考理）若曲線的極坐標方程為ρ＝2sinθ＋4cosθ，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，則該曲線的直角坐標方程為____． 解析：由，ρ2＝x2＋y2，得，ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ?ρ2＝2y＋4x?x2＋y2－4x－2y＝0. 答案：x2＋y2－4x－2y＝0 21．（2011?湖南高考理）在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，曲線C2的方程為ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，則C1與C2的交點個數(shù)為______． 解析：曲線C1的普通方程是x2＋(y－1)2＝1，曲線C2的直角坐標方程是x－y＋1＝0，由于直線x－y＋1＝0經(jīng)過圓x2＋(y－1)2＝1的圓心，故兩曲線的交點個數(shù)是2. 答案：2 22．（2011?廣東高考理）已知兩曲線參數(shù)方程分別為(0≤θ≤π)和 (t∈R)，它們的交點坐標為______________． 解析：由(0≤θ≤π)得＋y2＝1(y≥0)， 由(t∈R)得x＝y(tǒng)2. 聯(lián)立方程可得則5y4＋16y2－16＝0， 解得y2＝或y2＝－4(舍去)，則x＝y(tǒng)2＝1， 又y≥0，所以其交點坐標為(1，)． 答案：(1，) 23．（2011?陜西高考）直角坐標系xOy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設點A，B分別在曲線C1：(θ為參數(shù))和曲線C2：ρ＝1上，則|AB|的最小值為________． 解析：消掉參數(shù)θ，得到C1的普通方程(x－3)2＋(y－4)2＝1，表示以(3,4)為圓心，以1為半徑的圓；C2的直角坐標方程為x2＋y2＝1表示的是單位圓，|AB|的最小值為－1－1＝3. 答案： 3 三.解答題 24．（xx?江蘇高考）在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．試求直線l和曲線C的普通方程，并求出它們的公共點的坐標． 解：因為直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直線l的普通方程為2x－y－2＝0. 同理得到曲線C的普通方程為y2＝2x. 聯(lián)立方程組解得公共點的坐標為(2,2)，. 25．（xx?新課標Ⅱ全國高考文）已知動點P，Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對應參數(shù)分別為t＝α與t＝2α(0<α<2π)，M為PQ的中點． (1)求M的軌跡的參數(shù)方程； (2)將M到坐標原點的距離d表示為α的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標原點． 解：本題主要考查參數(shù)方程及參數(shù)的意義、兩點間的距離公式及三角等變換，意在考查考生綜合運用知識和運算求解的能力． (1)依題意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． 故M的軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，0<α<2π)． (2)M點到坐標原點的距離d＝＝(0<α<2π)． 當α＝π時，d＝0，故M的軌跡過坐標原點． 26．（xx?新課標Ⅰ全國高考文）已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝2sin θ. (1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程； (2)求C1與C2交點的極坐標(ρ≥0,0≤θ<2π)． 解：本題主要考查參數(shù)方程、極坐標方程和普通方程的互化． (1)將消去參數(shù)t，化為普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25， 即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0. 將代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C1的極坐標方程為 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2的普通方程為x2＋y2－2y＝0. 由解得或 所以C1與C2交點的極坐標分別為，. 27．（xx?遼寧高考文） 在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C1，直線C2的極坐標方程分別為ρ＝4sin θ，ρcos＝2. (1)求C1與C2交點的極坐標； (2)設P為C1的圓心，Q為C1與C2交點連線的中點．已知直線PQ的參數(shù)方程為(t∈R為參數(shù))．求a，b的值． 解：本題主要考查直角坐標方程、極坐標方程和參數(shù)方程知識，意在綜合考查極坐標方程和直角坐標方程的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化． (1)圓C1的直角坐標方程為x2＋(y－2)2＝4， 直線C2的直角坐標方程為x＋y－4＝0. 解得 所以C1與C2交點的極坐標為，. 注：極坐標系下點的表示不唯一． (2)由(1)可得，P點與Q點的直角坐標分別為(0,2)，(1,3)． 故直線PQ的直角坐標方程為x－y＋2＝0. 由參數(shù)方程可得y＝x－＋1， 所以解得a＝－1，b＝2. 28．（xx?福建高考理）在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知點A的極坐標為，直線l的極坐標方程為ρcos＝a，且點A在直線l上． ①求a的值及直線l的直角坐標方程； ②圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，試判斷直線l與圓C的位置關系． 解：①由點A在直線ρcos＝a上， 可得a＝. 所以直線l的方程可化為ρcos θ＋ρsin θ＝2， 從而直線l的直角坐標方程為x＋y－2＝0. ②由已知得圓C的直角坐標方程為(x－1)2＋y2＝1， 所以圓C的圓心為(1,0)，半徑r＝1， 因為圓心C到直線l的距離d＝＝<1， 所以直線l與圓C相交． 29．（xx?遼寧高考理）在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．圓C1，直線C2的極坐標方程分別為ρ＝4sin θ，ρcos＝2. (1)求C1與C2交點的極坐標； (2)設P為C1的圓心，Q為C1與C2交點連線的中點．已知直線PQ的參數(shù)方程為(t∈R為參數(shù))，求a，b的值． 解：本題考查了極坐標方程與直角坐標方程的互化及普通方程與參數(shù)方程的互化，試題側(cè)重對基本知識和基本能力的考查，難度不大． (1)圓C1的直角坐標方程為x2＋(y－2)2＝4， 直線C2的直角坐標方程為x＋y－4＝0. 解得 所以C1與C2交點的極坐標為，. 注：極坐標系下點的表示不唯一． (2)由(1)可得，P點與Q點的直角坐標分別為(0,2)，(1,3)． 故直線PQ的直角坐標方程為x－y＋2＝0， 由參數(shù)方程可得y＝x－＋1. 所以解得a＝－1，b＝2. 30．（xx?新課標Ⅰ全國高考理） 已知曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝2sin θ . (1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程； (2)求C1與C2交點的極坐標(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解：本題主要考查圓的參數(shù)方程、極坐標方程和標準方程以及圓與圓的位置關系，意在考查考生通過消參把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，利用公式轉(zhuǎn)化為極坐標方程的能力． (1)將消去參數(shù)t，化為普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0. 將代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0， 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的極坐標方程為 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2的普通方程為x2＋y2－2y＝0. 由解得或 所以C1與C2交點的極坐標分別為，. 31．（xx?新課標Ⅱ全國高考理） 已知動點P，Q在曲線C：(t為參數(shù))上，對應參數(shù)分別為t＝α與t＝2α為(0＜α＜2π)，M為PQ的中點． (1)求M的軌跡的參數(shù)方程； (2)將M到坐標原點的距離d表示為α的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標原點． 解：本題主要考查參數(shù)方程的相關知識，運用中點坐標公式、同角三角函數(shù)的基本關系等是求解本題的關鍵． (1)依題意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α), 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M的軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，0＜α＜2π)． (2)M點到坐標原點的距離 d＝＝(0＜α＜2π)． 當α＝π時，d＝0，故M的軌跡過坐標原點． 32．（xx?遼寧高考文） 在直角坐標系xOy中，圓C1：x2＋y2＝4，圓C2：(x－2)2＋y2＝4. (1)在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別寫出圓C1，C2的極坐標方程，并求出圓C1，C2的交點坐標(用極坐標表示)； (2)求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程． 解：(1)圓C1的極坐標方程為ρ＝2， 圓C2的極坐標方程ρ＝4cos θ. 解得ρ＝2，θ＝， 故圓C1與圓C2交點的坐標為(2，)，(2，－)． 注：極坐標系下點的表示不唯一． (2)法一：由得圓C1與C2交點的直角坐標分別為(1，)，(1，－)． 故圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為－≤t≤. (或參數(shù)方程寫成－≤y≤) 法二：將x＝1代入得ρcos θ＝1，從而 ρ＝. 于是圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為－≤θ≤. 33．（xx?新課標高考文） 已知曲線C1的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程是ρ＝2.正方形ABCD的頂點都在C2上，且A，B，C，D依逆時針次序排列，點A的極坐標為(2，)． (1)求點A，B，C，D的直角坐標； (2)設P為C1上任意一點，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范圍． 解：(1)由已知可得 A(2cos ，2sin )，B(2cos(＋)，2sin(＋))， C(2cos(＋π)，2sin(＋π))，D(2cos(＋)， 2sin(＋))， 即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)． (2)設P(2cos φ，3sin φ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，則 S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. 因為0≤sin2φ≤1，所以S的取值范圍是[32,52]． 34．（xx?遼寧高考理）在直角坐標系xOy中，圓C1：x2＋y2＝4， 圓C2：(x－2)2＋y2＝4. (1)在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別寫出圓C1，C2的極坐標方程，并求出圓C1，C2的交點坐標(用極坐標表示)； (2)求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程． 解：(1)圓C1的極坐標方程為ρ＝2， 圓C2的極坐標方程ρ＝4cos θ. 解得ρ＝2，θ＝， 故圓C1與圓C2交點的坐標為(2，)，(2，－)． 注：極坐標系下點的表示不唯一． (2)法一：由得圓C1與C2交點的直角坐標分別為(1，)，(1，－)． 故圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為－≤t≤. (或參數(shù)方程寫成－≤y≤)． 法二：將x＝1代入得ρcos θ＝1， 從而ρ＝ . 于是圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為 －≤θ≤. 35．（xx?江蘇高考）在極坐標系中，已知圓C經(jīng)過點P(，)，圓心為直線ρsin(θ－)＝－與極軸的交點，求圓C的極坐標方程． 解：在ρsin(θ－)＝－中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圓C的圓心坐標為(1,0)． 因為圓C經(jīng)過點P(，)， 所以圓C的半徑PC＝ ＝1，于是圓C過極點，所以圓C的極坐標方程為ρ＝2cos θ. 36．（xx?福建高考理）在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l上兩點M，N的極坐標分別為(2,0)，(，)，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (1)設P為線段MN的中點，求直線OP的平面直角坐標方程； (2)判斷直線l與圓C的位置關系． 解：(1)由題意知，M，N的平面直角坐標分別為(2,0)，(0，)， 又P為線段MN的中點，從而點P的平面直角坐標為(1，)， 故直線OP的平面直角坐標方程為y＝x. (2)因為直線l上兩點M，N的平面直角坐標分別為(2,0)，(0，)， 所以直線l的平面直角坐標方程為x＋3y－2＝0. 又圓C的圓心坐標為(2，－)，半徑r＝2， 圓心到直線l的距離d＝＝
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- 2019年高考數(shù)學 五年高考真題分類匯編 第十四章 坐標系與參數(shù)方程 2019 年高 數(shù)學 考真題 分類 匯編 第十四 坐標系 參數(shù) 方程
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