2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第十六講 銳角三角函數(shù).doc
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2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第十六講 銳角三角函數(shù) 古希臘數(shù)學(xué)家和古代中國數(shù)學(xué)家為了測量的需要,他們發(fā)現(xiàn)并經(jīng)常利用下列幾何結(jié)論:在兩個大小不同的直角三角形中,只要有一個銳角相等,那么這兩個三角形的對應(yīng)邊的比值一定相等正是古人對天文觀察和測量的需要才引起人們對三角函數(shù)的研究,1748年經(jīng)過瑞士的著名數(shù)學(xué)家歐拉的應(yīng)用,才逐漸形成現(xiàn)在的sin、cos、tg、ctg的通用形式 三角函數(shù)揭示了直角三角形中邊與銳角之間的關(guān)系,是數(shù)形結(jié)合的橋梁之一,有以下豐富的性質(zhì): 1單調(diào)性; 2互余三角函數(shù)間的關(guān)系; 3同角三角函數(shù)間的關(guān)系 平方關(guān)系:sin2+cos2=1; 商數(shù)關(guān)系:tg=,ctg=; 倒數(shù)關(guān)系:tgctg=1 【例題求解】【例1】 已知在ABC中,A、B是銳角,且sinA,tanB=2,AB=29cm,則SABC = 思路點撥 過C作CDAB于D,這樣由三角函數(shù)定義得到線段的比,sinA=,tanB=,設(shè)CD=5m,AC13m,CD2n,BDn,解題的關(guān)鍵是求出m、n的值注:設(shè)ABC中,a、b、c為A、B、C的對邊,R為ABC外接圓的半徑,不難證明:與銳角三角函數(shù)相關(guān)的幾個重要結(jié)論: (1) SABC=; (2)【例2】 如圖,在ABC中ACB90,ABC15,BC=1,則AC=( ) A B C0.3 D 思路點撥 由15構(gòu)造特殊角,用特殊角的三角函數(shù)促使邊角轉(zhuǎn)化注:(1)求(已知)非特角三角函數(shù)值的關(guān)是構(gòu)造出含特殊角直角三角形 (2)求(已知)銳角角函數(shù)值常根據(jù)定轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)線段比,有時需通過等的比來轉(zhuǎn)換【例3】 如圖,已知ABC是等腰直角三角形,ACB90,過BC的中點D作DEAB于E,連結(jié)CE,求sinACE的值思路點撥 作垂線把ACE變成直角三角形的一個銳角,將問題轉(zhuǎn)化成求線段的比【例4】 如圖,在ABC中,AD是BC邊上的高,tanB=cosDAC, (1)求證:ACBD; (2)若sinC=,BC=12,求AD的長 思路點撥 (1)把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為線段的比,利用比例線段證明;(2) sinC=,引入?yún)?shù)可設(shè)AD=12,AC13【例5】 已知:在RtABC中,C=90,sinA、sinB是方程的兩個根 (1)求實數(shù)、應(yīng)滿足的條件; (2)若、滿足(1)的條件,方程的兩個根是否等于RtABC中兩銳角A、B的正弦? 思路點撥 由韋達定理、三角函數(shù)關(guān)系建立、等式,注意判別式、三角函數(shù)值的有界性,建立嚴密約束條件的不等式,才能準(zhǔn)確求出實數(shù)、應(yīng)滿足的條件學(xué)歷訓(xùn)練1已知為銳角,下列結(jié)論sin+cos=l;如果45,那么sincos;如果cos ,那么60; 正確的有 2如圖,在菱形ABCD中,AEBC于E,BC=1,cosB,則這個菱形的面積為 3如圖,C=90,DBC=30,ABBD,利用此圖可求得tan75= 4化簡 (1)= (2)sin2l+sin22+sin288+sin289= 5身高相等的三名同學(xué)甲、乙、丙參加風(fēng)箏比賽三人放出風(fēng)箏線長、線與地面夾角如下表(假設(shè)風(fēng)箏線是拉直的),則三人所放的風(fēng)箏中( ) A甲的最高 B丙的最高 C乙的最低 D丙的最低6已知 sincos=,且045則co-sin的值為( ) A B C D7如圖,在ABC中,C90,ABC30,D是AC的中點,則ctgDBC的值是( ) A B C D 8如圖,在等腰RtABC中C90,AC6,D是AC上一點,若tanDBA=,則AD的長為( ) A B2 C 1 D 9已知關(guān)于的方程的兩根恰是某直角三角形兩銳角的正弦,求m的值10如圖,D是ABC的邊AC上的一點,CD=2AD,AEBC于E,若BD8,sinCBD=,求AE的長 11若045,且sincon=,則sin= 12已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根,為銳角,那么的取值范圍是 13已知是ABC的三邊,a、b、c滿足等式,且有,則sinA+sinB+sinC的值為 14設(shè)為銳角,且滿足sin=3cos,則sincos等于( ) A B C D 15如圖,若兩條寬度為1的帶子相交成30的角,則重疊部分(圖中陰影部分)的面積是( )A2 B C1 D 16如圖,在ABC中,A30,tanB=,AC=,則AB的長是( ) A B C5 D17己在ABC中,a、b、c分別是A、B、C的對邊,且c=,若關(guān)于的方程有兩個相等的實根,又方程的兩實根的平方和為6,求ABC的面積18如圖,已知AB=CD=1,ABC90,CBD=30,求AC的長 19設(shè) a、b、c是直角三角形的三邊,c為斜邊,n為正整數(shù),試判斷與的關(guān)系,并證明你的結(jié)論20如圖,已知邊長為2的正三角形ABC沿直線滾動(1)當(dāng)ABC滾動一周到A lB1C1的位置,此時A點所運動的路程為 ,約為 (精確到0.1,=3.14) (2)設(shè)ABC滾動240,C點的位置為C,ABC滾動480時,A點的位置在A,請你利用三角函數(shù)中正切的兩角和公式tan(+)=(tan+tan)(1-tantan),求出CAC+CAA的度數(shù) 參考答案- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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