（渝皖瓊）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.3 球的表面積和體積課件 北師大版必修2.ppt

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7.3球的表面積和體積,第一章7簡(jiǎn)單幾何體的面積和體積,,學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解球的表面積與體積公式，并能應(yīng)用它們求球的表面積及體積.2.會(huì)求解組合體的體積與表面積.,,,問題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測(cè),,題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),,知識(shí)點(diǎn)一球的截面,思考什么叫作球的大圓與小圓？答案平面過球心與球面形成的截線是大圓.平面不過球心與球面形成的截線是小圓.,梳理用一個(gè)平面α去截半徑為R的球O的球面得到的是，有以下性質(zhì)：(1)若平面α過球心O，則截線是以為圓心的球的大圓.(2)若平面α不過球心O，如圖，設(shè)OO′⊥α，垂足為O′，記OO′＝d，對(duì)于平面α與球面的任意一個(gè)公共點(diǎn)P，都滿足OO′⊥O′P，則有O′P＝，即此時(shí)截線是以為圓心，以r＝為半徑的球的小圓.,O,圓,O′,,知識(shí)點(diǎn)二球的切線,(1)定義：與球只有公共點(diǎn)的直線叫作球的切線.如圖，l為球O的切線，M為切點(diǎn).(2)性質(zhì)：①球的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；②過球外一點(diǎn)的所有切線的長(zhǎng)度都.,相等,唯一,,知識(shí)點(diǎn)三球的表面積與體積公式,πR3,4πR2,[思考辨析判斷正誤]1.球的表面積等于它的大圓面積的2倍.()2.兩個(gè)球的半徑之比為1∶2，則其體積之比為1∶4.()3.球心與其截面圓的圓心的連線垂直于截面.(),,,√,,題型探究,例1已知球的表面積為64π，求它的體積.,,類型一球的表面積與體積,解答,解設(shè)球的半徑為R，則4πR2＝64π，解得R＝4，,反思與感悟(1)要求球的體積或表面積，必須知道半徑R或者通過條件能求出半徑R，然后代入體積或表面積公式求解.(2)半徑和球心是球的最關(guān)鍵要素，把握住了這兩點(diǎn)，計(jì)算球的表面積或體積的相關(guān)題目也就易如反掌了.,跟蹤訓(xùn)練1(1)已知球的體積為π，則其表面積為______.,解析,答案,100π,解得R＝5，所以球的表面積S＝4πR2＝4π52＝100π.,,類型二球的截面,例2在半徑為R的球面上有A，B，C三點(diǎn)，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積.,解答,解依題意知，△ABC是正三角形，所以球的表面積S＝4πR2＝16π.,反思與感悟(1)有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的問題.(2)解題時(shí)要注意借助球半徑R，截面圓半徑r，球心到截面的距離d構(gòu)成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.,跟蹤訓(xùn)練2如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為,解析,√,答案,解析利用球的截面性質(zhì)結(jié)合直角三角形求解.如圖，作出球的一個(gè)截面，則MC＝8－6＝2(cm)，設(shè)球的半徑為Rcm，則R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，,解析長(zhǎng)方體外接球直徑長(zhǎng)等于長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)，所以球的表面積S＝4πR2＝14π.,,類型三與球有關(guān)的組合體,命題角度1球的內(nèi)接或外切柱體問題例3(1)一個(gè)長(zhǎng)方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1,2,3，則此球的表面積為_____.,14π,解析,答案,解析由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長(zhǎng)是相等的，故可得球的直徑為2，故半徑為1，,(2)將棱長(zhǎng)為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則該球的體積為____.,解析,答案,反思與感悟(1)正方體的內(nèi)切球球與正方體的六個(gè)面都相切，稱球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，若正方體的棱長(zhǎng)為a，此時(shí)球的半徑為r1＝.(2)長(zhǎng)方體的外接球長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，稱球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是球的直徑，若長(zhǎng)方體過同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)為a，b，c，則過球心作長(zhǎng)方體的對(duì)角面有球的半徑為r2＝.,√,答案,解析,解如圖所示，將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體.設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a.又∵球的直徑是正方體的體對(duì)角線，設(shè)球的半徑是R，,命題角度2球的內(nèi)接錐體問題例4若棱長(zhǎng)為a的正四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球面上，求球的表面積.,解答,解把正四面體放在正方體中，,跟蹤訓(xùn)練4球的一個(gè)內(nèi)接圓錐滿足：球心到該圓錐底面的距離是球半徑的一半，則該圓錐的體積和此球體積的比值為________.,解析,答案,解析設(shè)球的半徑為R，①當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球心兩側(cè)時(shí)，過球心及內(nèi)接圓錐的軸作軸截面如圖，,達(dá)標(biāo)檢測(cè),解析設(shè)圓柱的高為h，得h＝4R.,1.把3個(gè)半徑為R的鐵球熔成一個(gè)底面半徑為R的圓柱，則圓柱的高為A.RB.2RC.3RD.4R,√,1,2,3,4,5,答案,解析,答案,解析,解析如圖，設(shè)截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點(diǎn)，,1,2,3,4,5,√,2,3,3.若與球外切的圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為A.4π(r＋R)2B.4πr2R2C.4πRrD.π(R＋r)2,4,5,1,答案,√,解析,2,3,4,5,1,解析方法一如圖，設(shè)球的半徑為r1，則在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得,2,3,4,5,1,方法二如圖，設(shè)球心為O，球的半徑為r1，連接OA，OB，則在Rt△AOB中，OF是斜邊AB上的高.由相似三角形的性質(zhì)得OF2＝BFAF＝Rr，故球的表面積為S球＝4πRr.,4.兩個(gè)球的表面積之差為48π，它們的大圓周長(zhǎng)之和為12π，則這兩個(gè)球的半徑之差為A.1B.2C.3D.4,解析設(shè)兩球半徑分別為R1，R2，且R1>R2，所以R1－R2＝2.,解析,2,3,4,5,1,答案,√,表面積為S1＝4πR2，半徑增加為2R后，表面積為S2＝4π(2R)2＝16πR2.即體積變?yōu)樵瓉淼?倍，表面積變?yōu)樵瓉淼?倍.,5.若球的半徑由R增加為2R，則這個(gè)球的體積變?yōu)樵瓉淼腳__倍，表面積變?yōu)樵瓉淼腳__倍.,2,3,4,5,1,4,答案,8,解析,1.利用球的半徑、球心到截面圓的距離、截面圓的半徑可構(gòu)成直角三角形，進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.2.解決球與其他幾何體的切接問題時(shí)，通常先作截面，將球與幾何體的各量體現(xiàn)在平面圖形中，再進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.,規(guī)律與方法,