2011質點運動微分方程.ppt
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第三篇動力學,引言,回顧,靜力學研究物體在力系作用下的平衡規(guī)律及力系的簡化;,運動學從幾何觀點研究物體的運動,而不涉及物體所受的力;,動力學研究物體的機械運動與作用力之間的關系。,動力學就是從因果關系上論述物體的機械運動。是理論力學中最具普遍意義的部分,靜力學、運動學則是動力學的特殊情況。,低速、宏觀物體的機械運動的普遍規(guī)律。,動力學的研究對象:,動力學的理論基礎:,牛頓定律的適用范圍(1)不適于微觀物體;(2)物體的運動速度不能太大。,牛頓的運動三定律,簡稱牛頓定律或動力學基本定律,動力學分為質點動力學和質點系動力學:質點:具有一定質量而幾何形狀和大小可以忽略不計的物體。質點系:由幾個或無限個相互有聯系的質點所組成的系統。質點系可分為不變質點系(如單個剛體)和可變質點系(如剛體系統)本課程重點放在質點系動力學。,牛頓,牛頓在光學上的主要貢獻是發(fā)現了太陽光是由7種不同顏色的光合成的,他提出了光的微粒說。牛頓在數學上的主要貢獻是與萊布尼茲各自獨立地發(fā)明了微積分,給出了二項式定理。牛頓在力學上最重要的貢獻,也是牛頓對整個自然科學的最重要貢獻是他的巨著自然哲學的數學原理。這本書出版于1687年,書中提出了萬有引力理論并且系統總結了前人對動力學的研究成果,后人將這本書所總結的經典力學系統稱為牛頓力學。,解決動力學兩類基本問題的途徑:,直接應用牛頓定律建立質點的運動微分方程;綜合應用動力學普遍定理;應用達朗伯定理。,動力學的主要任務(解決的基本問題):,第一類:已知物體的運動規(guī)律,求作用在此物體上的力;,第二類:已知作用在物體上的力求此物體產生什么樣的運動。,第十章質點動力學的基本方程,10-1動力學的基本定律,10-2質點的運動微分方程,10-3質點動力學的兩類基本問題,第一定律(慣性定律),10-1動力學的基本定律,不受力作用的質點,將保持靜止或作勻速直線運動。,本定律揭示了一切物體均有保持靜止或作勻速直線運動的性質,即慣性。,說明:,勻速直線運動稱為慣性運動。,明確了力是改變(而不是維持?。┪矬w運動的原因。,第二定律(力與加速度之間的關系的定律),質點的質量與加速度的乘積,等于作用于質點的力的大小,加速度的方向與力的方向相同。,即,此式建立了質點的加速度、質量與作用力之間的定量關系。,質量是質點慣性的度量。,說明:,在地球表面,物體受重力作用,有,P=mg,式中,g重力加速度,一般取g=9.80m/s2。,第三定律(作用與反作用定律),兩個物體間的作用力與反作用力總是大小相等,方向相反,沿著同一直線,且同時分別作用在這兩個物體上。,動力學基本定律說明:,(1)牛頓三定律適用的坐標系稱為慣性坐標系。,工程問題中,取固于地面或相對于地面作勻速直線運動的坐標系為慣性坐標系,,(2)以牛頓三定律為基礎的力學稱為古典力學。,10-2質點的運動微分方程,根據牛頓第二定律,若質點M的質量為m,受n個力F1,F2,.,Fn作用,,則有,或,而,則,矢量形式的質點運動微分方程。,1.質點運動微分方程在直角坐標軸上的投影,直角坐標形式的質點運動微分方程,2.質點運動微分方程在自然軸上的投影,(),(),在質點M的運動軌跡上建立自然軸系Mbn,,根據點的運動學知,質點的加速度在運動軌跡的密切面內,即,所以作用在該質點上力系的合力也應該在此密切面內,,則,自然軸系的質點運動微分方程,10-3質點動力學的兩類基本問題,第一類基本問題:已知質點的運動,求此質點所受的力。,如果知道質點的運動規(guī)律,通過導數運算,求出該質點的速度和加速度,代入質點的運動微分方程,得一代數方程組,即可求解。,第二類基本問題:已知作用在質點上的力,求解此質點的運動。,求解質點動力學的第二類基本問題,如求質點的速度、運動方程等,歸結為解微分方程或求積分問題,還需確定相應的積分常數。因此,需按作用力的函數規(guī)律進行積分,并根據具體問題的運動條件確定積分常數。在實際問題中,只有在一些比較特殊的情況下,能解出微分方程,獲得解析解;更多情況下,往往只能通過逐步逼近或數值計算的方法,獲得近似解或數值解。,注意:微分方程等號左邊總設為正,等號右邊是力在坐標軸上的投影,應注意投影的正負號。,1、求質點的加速度,y,x,解:,例題1質點M的質量為m,運動方程是x=bcost,y=dsint,其中b,d,為常量。求作用在此質點上的力。,2、求質點所受的力,由,得,M,討論:,力的方向永遠指向橢圓中心,為有心力;,力的大小與此質點至橢圓中心的距離成正比。,易知:,求質點的軌跡方程:,從運動方程中消去t,得,質點所受的力可表示為,例2在均勻的靜止液體中,質量為m的物體M從液面處無初速下沉。設液體阻力FR=,其中為阻尼系數。試分析該物體的運動規(guī)律及其特征。,解:為建立質點M的運動微分方程,將參考坐標系的原點固結在該點的起始位置上,x軸鉛直向下。該質點的受力圖如圖,則質點M的位移、速度、加速度均設為沿x軸的正方向。則運動微分方程為,FR,8.3質點動力學的兩類基本問題,FR,令,這就是該物體下沉的運動規(guī)律。,運動的起始條件為:t=0時,v0=0,x0=0,8.3質點動力學的兩類基本問題,該物體下沉速度將趨近一極限值,這個速度稱之為物體在液體中自由下沉的極限速度,討論:由此可以看出在阻尼系數基本相同的情況下(即物體的大小、形狀基本相同時),物體的質量越大,它趨近于極限速度所需的時間越長。工程中的選礦、選種工作,就是應用了這個道理。,8.3質點動力學的兩類基本問題,例題3已知桁車吊的重物重為G,以勻速度v0前進,繩長為l。求突然剎車時,繩子所受的最大拉力。,解:研究重物,,桁車突然剎車后,重物做圓弧擺動。,當其擺至角處,受力如圖。,由自然軸系的質點運動微分方程,有,(a),(b),可知,拉力T與重物的速度v、擺角有關,,對(a)式進行分離變量并積分:,l,(c),將(c)式代入(b)式,得,當=0時,,本例的實際指導意義:,桁車行進的速度不宜過快;,繩子不宜太短;,實際數據例如:,則可求得,式中G前的系數即動荷系數。,已求得:突然剎車時,繩子所受的最大拉力為,由此可知:,- 配套講稿:
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