八年級數(shù)學(xué)下冊 第十八章 平行四邊形 18.2 特殊的平行四邊形 18.2.1 矩形 第2課時 矩形的判定教案 新人教版.doc

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第2課時　矩形的判定 1．掌握矩形的判定方法；(重點(diǎn)) 2．能夠運(yùn)用矩形的性質(zhì)和判定解決實(shí)際問題．(難點(diǎn)) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境導(dǎo)入 我們已經(jīng)知道，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．這是矩形的定義，我們可以依此判定一個四邊形是矩形．除此之外，我們能否找到其他的判定矩形的方法呢？ 矩形是一個中心對稱圖形，也是一個軸對稱圖形，具有如下的性質(zhì)： 1．兩條對角線相等且互相平分； 2．四個內(nèi)角都是直角． 這些性質(zhì)，對我們尋找判定矩形的方法有什么啟示？ 二、合作探究 探究點(diǎn)一：有一個角是直角的平行四邊形是矩形 如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，AE是△BAC的外角平分線，DE∥AB交AE于點(diǎn)E.求證：四邊形ADCE是矩形． 解析：首先利用外角性質(zhì)得出∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，進(jìn)而得到AE∥BC，即可得出四邊形AEDB是平行四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)得出四邊形ADCE是平行四邊形，再根據(jù)AD是高即可得出四邊形ADCE是矩形． 證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE是△BAC的外角平分線，∴∠FAE＝∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，∴AE∥BC.又∵DE∥AB，∴四邊形AEDB是平行四邊形，∴AE平行且等于BD.又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴AE平行且等于DC，故四邊形ADCE是平行四邊形．又∵∠ADC＝90，∴平行四邊形ADCE是矩形． 方法總結(jié)：平行四邊形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定常綜合運(yùn)用，解題時利用平行四邊形的判定得出四邊形是平行四邊形再證明其中一角為直角即可． 探究點(diǎn)二：對角線相等的平行四邊形是矩形 如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，延長OA到N，ON＝OB，再延長OC至M，使CM＝AN.求證：四邊形NDMB為矩形． 解析：首先由平行四邊形ABCD可得OA＝OC，OB＝OD.若ON＝OB，那么ON＝OD.而CM＝AN，即ON＝OM.由此可證得四邊形NDMB的對角線相等且互相平分，即可得證． 證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AO＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON＝OM＝OD＝OB，∴MN＝BD，∴四邊形NDMB為矩形． 方法總結(jié)：證明一個四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個四邊形的對角線有關(guān)，通常證這個四邊形的對角線相等． 探究點(diǎn)三：有三個角是直角的四邊形是矩形 如圖，?ABCD各內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H.求證：四邊形EFGH是矩形． 解析：利用“有三個內(nèi)角是直角的四邊形是矩形”證明四邊形EFGH是矩形． 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180.∵AH，BH分別平分∠DAB與∠ABC，∴∠HAB＝∠DAB，∠HBA＝∠ABC，∴∠HAB＋∠HBA＝(∠DAB＋∠ABC)＝180＝90，∴∠H＝90.同理∠HEF＝∠F＝90，∴四邊形EFGH是矩形． 方法總結(jié)：題設(shè)中隱含多個直角或垂直時，常采用“三個角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形． 探究點(diǎn)四：矩形的性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用 【類型一】 矩形的性質(zhì)和判定的運(yùn)用 如圖，O是矩形ABCD的對角線的交點(diǎn)，E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD上的點(diǎn)，且AE＝BF＝CG＝DH. (1)求證：四邊形EFGH是矩形； (2)若E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面積． 解析：(1)證明四邊形EFGH對角線相等且互相平分；(2)根據(jù)題設(shè)求出矩形的邊長CD和BC，然后根據(jù)矩形面積公式求得． (1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，∴四邊形EFGH是矩形； (2)解：∵G是OC的中點(diǎn)，∴GO＝GC.∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90.又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD＝OD.∵F是BO中點(diǎn)，OF＝2cm，∴BO＝4cm.∵四邊形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝＝4cm，∴S矩形ABCD＝44＝16(cm2)． 方法總結(jié)：若題設(shè)條件與這個四邊形的對角線有關(guān)，要證明一個四邊形是矩形，通常證這個四邊形的對角線相等且互相平分． 【類型二】 矩形的性質(zhì)和判定與動點(diǎn)問題 如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90，AD＝24cm，BC＝26cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿著CB方向向點(diǎn)B以3cm/s的速度運(yùn)動．點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動． (1)經(jīng)過多長時間，四邊形PQCD是平行四邊形？ (2)經(jīng)過多長時間，四邊形PQBA是矩形？ 解析：(1)設(shè)經(jīng)過ts時，四邊形PQCD是平行四邊形，根據(jù)DP＝CQ，代入后求出即可；(2)設(shè)經(jīng)過t′s時，四邊形PQBA是矩形，根據(jù)AP＝BQ，代入后求出即可． 解：(1)設(shè)經(jīng)過ts，四邊形PQCD為平行四邊形，即PD＝CQ，所以24－t＝3t，解得t＝6； (2)設(shè)經(jīng)過t′s，四邊形PQBA為矩形，即AP＝ BQ，所以t′＝26－3t′，解得t′＝. 方法總結(jié)：①證明一個四邊形是平行四邊形，若題設(shè)條件與這個四邊形的邊有關(guān)，通常證這個四邊形的一組對邊平行且相等；②題設(shè)中出現(xiàn)一個直角時，常采用“有一角是直角的平行四邊形是矩形”來判定矩形． 三、板書設(shè)計(jì) 1．矩形的判定 有一角是直角的平行四邊形是矩形； 對角線相等的平行四邊形是矩形； 有三個角是直角的四邊形是矩形． 2．矩形的性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用 在本節(jié)課的教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生掌握矩形判定的幾種方法，更要注重學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中是否真正掌握了探究問題的基本思路和方法．教師在例題練習(xí)的教學(xué)中，若能適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生多做一些變式練習(xí)，類比、遷移地思考、做題，就能進(jìn)一步拓展學(xué)生的思維，提高課堂教學(xué)的效率．