特征值與特征向量的應(yīng)用PPT.ppt
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第一節(jié)特征值與特征向量,一特征值與特征向量的概念,二特征值和特征向量的求法,第一節(jié)特征值與特征向量,三特征值和特征向量的性質(zhì),一、特征值與特征向量的概念,定義,若,則稱為的特征值,,稱為的特征向量,(),注,并不一定唯一;,階方陣的特征值,就是使齊次線性方程組,特征向量,特征值問題只針對與方陣;,有非零解的值,即滿足,的都是方陣的特征值,定義,稱以為未知數(shù)的一元次方程,為的特征方程,定義,稱以為變量的一元次多項式,為的特征多項式,定理,設(shè)階方陣的特征值為,則,證明,當是的特征值時,的特征多項,式可分解為,令,得,即,證明,因為行列式,它的展開式中,主對角線上元素的乘積,是其中的一項,由行列式的定義,展開式中的其它項至,多含個主對角線上的元素,,含的項只能在主對角線上元素的乘積項中,故有,比較,有,因此,特征多項式中,定義,方陣的主對角線上的元素之和稱為方陣的跡.,記為,二、特征值和特征向量的性質(zhì),推論,階方陣可逆的個特征值全不為零.,若數(shù)為可逆陣的的特征值,,特別,單位陣的一個特征值為,三、應(yīng)用舉例,、若為可逆陣的特征值,則,的一個特征值為(),、證階方陣的滿足,則的特征值為,或,3、求下列方陣的特征值與特征向量,四、特征向量的性質(zhì),定理,互不相等的特征值所對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)。,定理,互不相等的特征值對應(yīng)的各自線性無關(guān)的特征,向量并在一塊,所得的向量組仍然線性無關(guān)。,一相似矩陣的定義、性質(zhì),二矩陣可相似對角化的條件,三應(yīng)用舉例,第二節(jié)矩陣相似對角化,一、定義,定義,設(shè)、都是階矩陣,若有可逆矩陣,,使得,則稱是的相似矩陣,或者說矩陣,與相似,可逆矩陣稱為把變成的相似變換矩陣,記作:,二、性質(zhì),(1)反身性:,(2)對稱性:,(3)傳遞性:,;,,則;,,則;,(4),則,(5),則,(6),且可逆,則,定理,若階矩陣與相似,則與有相同的特征多項式,從而與有相同的特征值,推論,若階矩陣與對角矩陣,相似,,若能尋得相似變換矩陣使,對階方陣,,稱之為把方陣對角化,三、相似對角化,定理的推論說明,如果階矩陣與對角矩陣相,似,,則的主對角線上的元素就是的全部特征值,設(shè)存在可逆,,使得,有,于是有,因為可逆,,故,關(guān)的特征向量。,反之,,即,設(shè),可逆,且,則,若有個線性無關(guān)的特征向量,所以,即與對角矩陣相似,定理,階矩陣能與對角矩陣相似,有階線性無關(guān)的特征向量,推論,如果階矩陣有個不同的特征值,則矩陣,可相似對角化,內(nèi)積的定義與性質(zhì),定義,設(shè)維實向量,稱實數(shù),為向量與的內(nèi)積,記作,注:內(nèi)積是向量的一種運算,用矩陣形式表示,有,施密特(Schmidt)正交化法,設(shè),是向量空間的一個基,要求向量空,間的一個標準正交基,就是要找到一組兩兩正交的單,位向量,,使,與,等價,,此問題稱為把,這組基標準正交化.,1)正交化,令,就得到的一個標準正交向量組.,的一組標準正交基.,如果,上述方法稱為施密特(Schmidt)正交化法.,2)標準化,令,是的一組基,則,就是,定理對稱矩陣的特征值為實數(shù).,說明:本節(jié)所提到的對稱矩陣,除非特別說明,均指實對稱矩陣,定理對稱矩陣的互異特征值對應(yīng)的特征向量正交.,定理若階對稱陣的任重特征值對應(yīng)的線性,無關(guān)的特征向量恰有個(不證),定理若為階對稱陣,則必有正交矩陣,使得,實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì),根據(jù)上述結(jié)論,利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣,其具體步驟為:,2.,1.,二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法,例設(shè)矩陣,求一個正交矩陣P,使得,為對角陣。,例設(shè)三階對稱矩陣A的特征值為1,2,3;矩陣A的屬于特征值1,2的特征向量分別為,(1)A的屬于特征值3的特征向量。(2)求矩陣A。,- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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