2018-2019學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第2章 圓 2.5 直線與圓的位置關(guān)系 2.5.4 三角形的內(nèi)切圓練習(xí) （新版）湘教版.doc

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2.5.4　三角形的內(nèi)切圓 知|識(shí)|目|標(biāo) 1．經(jīng)過觀察、討論、猜想教材“議一議”與“動(dòng)腦筋”，理解三角形的內(nèi)切圓的概念及其作法． 2．結(jié)合方程思想，會(huì)求直角三角形內(nèi)切圓的半徑. 目標(biāo)一　掌握三角形的內(nèi)心的性質(zhì)與內(nèi)切圓的畫法 例1 教材補(bǔ)充例題某新建小區(qū)要在一塊等邊三角形的公共區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)圓形花壇． (1)若要使花壇面積最大，請(qǐng)你在這塊公共區(qū)域(如圖2－5－17)內(nèi)確定圓形花壇的圓心P； (2)若這個(gè)等邊三角形的邊長為18米，請(qǐng)計(jì)算出花壇的面積． 圖2－5－17 【歸納總結(jié)】對(duì)三角形的內(nèi)切圓的理解及內(nèi)切圓的作圖步驟： (1)任何一個(gè)三角形都只有唯一的內(nèi)切圓，而一個(gè)圓可以有無數(shù)個(gè)外切三角形． (2)三角形內(nèi)切圓的作圖步驟： ①分別作三角形任意兩個(gè)內(nèi)角的平分線，設(shè)兩條內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)I； ②過交點(diǎn)I作三角形任意一邊的垂線段； ③以交點(diǎn)I為圓心，以②中垂線段長為半徑作圓，則所作的圓為三角形的內(nèi)切圓． (3)三角形的內(nèi)切圓是三角形內(nèi)所作的最大的圓，也是三角形能夠覆蓋的最大的圓，在材料的使用率最大上直接得到體現(xiàn)． 目標(biāo)二　會(huì)進(jìn)行三角形內(nèi)切圓的有關(guān)計(jì)算 例2 教材例6針對(duì)訓(xùn)練如圖2－5－18，在△ABC中，內(nèi)切圓I和邊BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，F(xiàn)，E. 求證：(1)∠FDE＝90－∠A； (2)∠BIC＝90＋∠A. 圖2－5－18 【歸納總結(jié)】三角形內(nèi)切圓的有關(guān)計(jì)算： (1)三角形的內(nèi)切圓與三角形的三邊都相切，因此三邊所在直線均是內(nèi)切圓的切線，連接圓心與切點(diǎn)，即可構(gòu)造直角三角形； 圖2－5－19 (2)設(shè)三角形的內(nèi)心為I，則內(nèi)心I向三角形一邊張開的角的度數(shù)等于這邊的對(duì)角的一半加上90.即如圖2－5－19，∠I＝＋90. 例3 高頻考題如圖2－5－20，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，AB＝5.⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，與三邊分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G. (1)求證：內(nèi)切圓的半徑r＝1； (2)連接OA，求tan∠OAG的值． 圖2－5－20 【歸納總結(jié)】三角形內(nèi)切圓半徑的計(jì)算方法： (1)若三角形的三邊長分別為a，b，c，內(nèi)切圓的半徑為r內(nèi)，三角形的面積為S，則有： ①S＝(a＋b＋c)r內(nèi)； ②r內(nèi)＝. (2)直角三角形中，a，b為直角邊長，c為斜邊長，內(nèi)切圓半徑為r內(nèi)，則有r內(nèi)＝. 知識(shí)點(diǎn)　三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心 1．三角形的內(nèi)切圓是指與三角形各邊都相切的圓；三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形______________的交點(diǎn)，叫作三角形的內(nèi)心． 2．(1)“內(nèi)切”“外切”只不過是相對(duì)位置的內(nèi)與外，“內(nèi)”是相對(duì)三角形而言，“外”是相對(duì)圓而言． (2)正確區(qū)分三角形的外接圓與內(nèi)切圓、接與切、外心與內(nèi)心這三組概念： ①若三角形的三個(gè)頂點(diǎn)在圓上，則圓在三角形的外部，這個(gè)圓叫作三角形的外接圓． ②若三角形的三邊都和圓相切，則圓在三角形的內(nèi)部，這個(gè)圓叫作三角形的內(nèi)切圓． 三角形的頂點(diǎn)都在圓上叫作 “接”，三角形的邊都與圓相切叫作“切”． ③內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，而外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)． 3．三角形的外接圓與內(nèi)切圓以及外心與內(nèi)心的性質(zhì)對(duì)比如下： 圖形 點(diǎn)O的 名稱 △ABC 的名稱 圓心O 的確定 “心”的 性質(zhì) △ABC 的外心 ⊙O的內(nèi)接三角形 三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn) 到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等 △ABC 的內(nèi)心 ⊙O的外切三角形 三角形三條角平分線的交點(diǎn) 到三角形三條邊的距離相等 如圖2－5－21，△ABC是一張周長為17 cm的三角形紙片，BC＝5 cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準(zhǔn)備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，小明認(rèn)為剪下的三角形的周長隨直線MN的變化而變化． 你認(rèn)為他的看法正確嗎？如果你有不同的意見，請(qǐng)說出你的理由． 圖2－5－21  教師詳解詳析 【目標(biāo)突破】 例1　[解析] 由題意可知三角形為正三角形，設(shè)計(jì)方案可根據(jù)內(nèi)切圓性質(zhì)及正三角形的性質(zhì)，在三角形內(nèi)作內(nèi)切圓使圓形花壇面積最大，然后由圓的性質(zhì)求出內(nèi)切圓的半徑，再求出其面積． 解：(1)要使花壇面積最大，需在△ABC內(nèi)作一個(gè)內(nèi)切圓，則此圓面積最大，圖①中的點(diǎn)P即為所求． (2)如圖②，過點(diǎn)P作PD⊥BC，垂足為D，連接PB.由題意，知在Rt△BPD中，BD＝9米，∠PBD＝30， ∴tan30＝，∴PD＝BDtan30＝9＝3 ，∴花壇的面積為π(3 )2＝27π(米2)． 例2　[解析] (1)欲證∠FDE＝90－∠A，觀察圖形，聯(lián)想切線的性質(zhì)、圓周角定理、四邊形的內(nèi)角和定理，需連接IE，IF，則∠AEI＝∠AFI＝90.因此，在四邊形AEIF中，有∠EIF＝180－∠A，所以∠FDE＝∠EIF＝(180－∠A)，問題得證； (2)在△IBC中，∠BIC＝180－(∠1＋∠2)．因?yàn)锽I，CI分別是∠ABC，∠ACB的平分線，所以∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB.再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論． 證明：(1)如圖，連接IE，IF. ∵AB，AC是⊙I的切線， ∴∠AEI＝∠AFI＝90. ∵∠A＋∠AEI＋∠EIF＋∠AFI＝360， ∴∠A＋∠EIF＝180， ∴∠EIF＝180－∠A. ∵∠FDE＝∠EIF， ∴∠FDE＝(180－∠A)， ∴∠FDE＝90－∠A. (2)∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB. ∵∠1＋∠2＋∠BIC＝180， ∴∠BIC＝180－(∠ABC＋∠ACB)． ∵∠ABC＋∠ACB＝180－∠A， ∴∠BIC＝180－(180－∠A)， 即∠BIC＝90＋∠A. 例3　[解析] (1)如圖，連接OE，OF，OG.由⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∠C＝90，得到四邊形CEOF是正方形，根據(jù)切線長定理列方程得到結(jié)果； (2)連接OA，在Rt△AOG中，由銳角三角函數(shù)得到結(jié)果． 解：(1)證明：如圖，連接OE，OF，OG. ∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∠C＝90， ∴易證四邊形CEOF是正方形， ∴CE＝CF＝r. 由切線長定理知AG＝AE＝3－r，BG＝BF＝4－r. ∵AG＋BG＝5， ∴(3－r)＋(4－r)＝5，解得r＝1. (2)連接OA.在Rt△AOG中，∵r＝1，AG＝3－r＝2，∴tan∠OAG＝＝. 備選目標(biāo)　三角形的內(nèi)心與各頂點(diǎn)的連線平分三角形內(nèi)角性質(zhì)的應(yīng)用 例　如圖所示，⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，∠C＝90，AB＝c，AC＝b，BC＝a.設(shè)⊙O的半徑為r.求證：r＝. [解析] 連接OA，OB，OC，則S△ABC＝S△OAC＋S△OBC＋S△OAB＝ACBC. 證明：連接OA，OB，OC，OD，OE，OF， 則OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB. ∵OD＝OE＝OF＝r， ∴S△OAC＝ACOD＝br. 同理S△OBC＝ar，S△OAB＝cr. ∴S△ABC＝S△OAC＋S△OBC＋S△OAB＝(a＋b＋c)r. 又∵S△ABC＝ACBC＝ab， ∴(a＋b＋c)r＝ab，∴r＝. [歸納總結(jié)] (1)內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，因此，①內(nèi)心與各頂點(diǎn)的連線一定平分該內(nèi)角；②內(nèi)心到各邊的距離相等，這個(gè)距離即是內(nèi)切圓的半徑． (2)若在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，內(nèi)切圓的半徑為r，由以上性質(zhì)可推出S△ABC＝(a＋b＋c)r； 直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝＝(a，b分別是直角三角形兩直角邊的長，c為斜邊長)． 【總結(jié)反思】 [小結(jié)] 知識(shí)點(diǎn)　1.三條角平分線 [反思] 小明的看法錯(cuò)誤，理由略．