七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 培優(yōu)新幫手 專題28 縱觀全局試題 （新版）新人教版.doc

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28　縱觀全局——整體思想 閱讀與思考 解數(shù)學(xué)問題時(shí)，人們習(xí)慣了把它分成若干個(gè)較為簡(jiǎn)單的為，然后在分而治之，各個(gè)擊破。與分解、分部處理問題相反，整體思想是將問題看成一個(gè)完整的整體，從大處著眼，有整體入手，突出對(duì)問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，把一些看似彼此孤立、實(shí)質(zhì)上緊密聯(lián)系的量作為整體考慮，從整體上把握問題的內(nèi)容和解題方向的策略，往往能找到簡(jiǎn)捷的解題方法，解題中運(yùn)用整體思想解題的具體途徑主要有： 1. 整體觀察 2. 整體設(shè)元 3. 整體代入 4. 整體求和 5. 整體求積 注：既看局部，又看整體；既見“樹木”，又見“森林”，兩者互用，這是分析問題和解決問題的普遍而有效的方法． 例題與求解 【例1】某市抽樣調(diào)查了1000戶家庭的年收入，其中年收入最高的只有一戶，是38000元。由于將這個(gè)數(shù)據(jù)輸入錯(cuò)了，所以計(jì)算機(jī)顯示的這1000戶的平均年收入比實(shí)際平均年收入高出了342元，則輸入計(jì)算機(jī)的那個(gè)錯(cuò)誤數(shù)據(jù)是 ． （北京市競(jìng)賽題） 解題思路：有1000個(gè)未知量，而等式只有兩個(gè)，顯然不能分布求出每個(gè)未知量，不妨從整體消元． 注：有些問題要達(dá)到求解的目的，需要設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，但在解答的過程中，這些未知數(shù)只起到溝通已知與未知的輔助的作用，因此可“設(shè)而不求”，通過整體考慮，直接獲得問題的答案． 【例2】設(shè)是不全相等的任意數(shù)，若錯(cuò)誤！未找到引用源。，則（ ） （全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題） A.都不小于零 B.都不大于零 C.至少有一個(gè)小于零 D.至少有一個(gè)大于零 解題思路：由于的任意性，若孤立地考慮，則很難把握的正負(fù)性，應(yīng)該考慮整體求出的值． 【例3】如果a滿足等式錯(cuò)誤！未找到引用源。，試求錯(cuò)誤！未找到引用源。的值． (天津市競(jìng)賽題) 解題思路：不能直接求出的值，可尋求待求式子分子分母與條件等式的聯(lián)系，然后把條件等式整體代入求值． 注：整體思想在代數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值、解方程（組）、幾何證明等方面有廣泛的應(yīng)用，整體代入、疊加疊乘、整體運(yùn)算、整體設(shè)元、幾何補(bǔ)形等都是整體思想的體現(xiàn)． 【例4】已知錯(cuò)誤！未找到引用源。，代數(shù)式錯(cuò)誤！未找到引用源。，求當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，代數(shù)式錯(cuò)誤！未找到引用源。的值． （北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題） 解題思路：的值無法求出，將給定的值分別代入對(duì)應(yīng)的代數(shù)式，尋找已知式與待求式之間的聯(lián)系，整體代入求值． 【例5】已知實(shí)數(shù)滿足方程組． 求的值．錯(cuò)誤！未找到引用源。 （上海市競(jìng)賽題） 解題思路：將上述六個(gè)式子看成整體，通過⑥－⑤，④－③，②－①分別得到錯(cuò)誤！未找到引用源。． 【例6】如圖，將1,2,3,4,5,6,7,8,9,10這十個(gè)數(shù)分別填入圖中的十個(gè)圓圈內(nèi)，使得任意連續(xù)相鄰的五個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)的和均不大于某一個(gè)整數(shù)M，求M得最小值并完成你的填圖． （北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題）＼ 解題思路：解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出錯(cuò)誤！未找到引用源。，這是本題的突破口． 注：在解答有同一結(jié)構(gòu)的問題時(shí)，可將這一相同結(jié)構(gòu)看作一個(gè)整體，用一個(gè)字母代換，以此達(dá)到體現(xiàn)式子結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，化繁為簡(jiǎn)的目的． 能力訓(xùn)練 1．已知密碼：3ABCPQR=4PQRABC,其中每個(gè)字母都表示一個(gè)十進(jìn)制數(shù)字，將這個(gè)密碼翻譯成式子是 2．若a，b，c的值滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，則錯(cuò)誤！未找到引用源。 (“城市杯”競(jìng)賽試題) 3．角中有兩個(gè)銳角和一個(gè)鈍角，其數(shù)值已經(jīng)給出，在計(jì)算錯(cuò)誤！未找到引用源。的值時(shí)，全班得到23.5，24.5，25.5這樣三個(gè)不同結(jié)果，其中確有正確的答案，則正確的答案是 4．如果，那么= （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題） 5．已知都是正數(shù)，設(shè)，，那么與的大小關(guān)系是 ． （北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題） 6．若方程組有解，則 （湖北省武漢市選拔賽試題） 7．若正數(shù)滿足不等式，則的大小關(guān)系是（ ） A． B． C． D． 8．若，則的值是（ ） A． B． C． D． 9．在一家三口人中，每?jī)蓚€(gè)人的平均年齡加上余下一人的年齡分別得到47,61,60，那么這三人中最大年齡與最小年齡的差是（ ） A． B． C． D． 10．設(shè)，滿足等式，則 中至少有一個(gè)值（ ） A． B． C． D． （全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題） 11． 12．有一個(gè)四位數(shù)，把它從中間分成兩半，得到前、后兩個(gè)兩位數(shù)，將前面的兩位數(shù)的末尾添一個(gè)零，然后加上前后兩個(gè)兩位數(shù)的乘積，恰好等于原來的四位數(shù)，又知道原數(shù)的個(gè)位數(shù)字為5，試求這個(gè)四位數(shù)． （江蘇省競(jìng)賽試題） 13．代數(shù)式中，可以分別取+1或-1． （1）證明代數(shù)式的值都是偶數(shù)． （2）求這個(gè)代數(shù)式所能取到的最大值． （“華羅庚金杯”競(jìng)賽試題） 14．如圖，在六邊形的頂點(diǎn)處分別標(biāo)上數(shù)1，2，3，4，5，6，能否使任意三個(gè)相鄰頂點(diǎn)處的三數(shù)之和（1）大于9？（2）大于10？ 若能，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出來；若不能，請(qǐng)說明理由． （江蘇省競(jìng)賽試題） 28 縱觀全局 ——整體思想 例1 380 000提示：設(shè)a1，a2，a3，…，a999，al 000分別為所統(tǒng)計(jì)的1 000戶居民的年收入，又設(shè)他們的平均值是A，誤輸入計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)為a，由題意得 例2 D提示：x＋y＋z＝ [(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]． 例3 原式＝ 例4將x＝2，y＝ －4代入ax3＋by＋5 ＝1 997中，得 8a－2b＋5＝1 997．故4a－b＝996． 當(dāng)x＝－4，y＝－時(shí)，3ax－24by3＋4 986＝3a(－4)－24b(－)3＋4 986 ＝－12a＋3b＋4 986＝－3(4a－b)＋4 986＝－3996＋4 986＝1 998． 例5 ②－①得b－a ＝20;④－③得d－c＝80；⑥－⑤得f－e＝320． 故，f－e＋d－c＋b－a＝320＋80＋20＝420． 例6 設(shè)滿足已知條件填好的數(shù)依次為a1，a2，…，a10，則 a1＋a2＋a3＋a4＋a5≤M， a2＋a3＋a4＋a5＋a6≤M， … a10 ＋a1 ＋a2 ＋a3 ＋a4≤M． 所以5（a1＋a2＋…＋a10）≤10M， 即≤10M，解得M≥27．5． 而M為整數(shù)，故M的最小值為28．將1，2，…，10分成如下的兩組10，7，6，3，2，9，8，5，4，1．依次填入圖中， 【能力訓(xùn)練】 1．3571 428＝4428 571 2．－10提示：由題意有， 即．則9a＋2b＋7c＝2(3a－2b＋c)＋3 (a＋2b－3c)＝24＋3（－6）＝－10． 3．23.5 4． 18 x4＋7x3＋8x2－13x＋15＝x2(x2＋2x)＋5x(x2＋2x)－2(x2＋2x)－9x＋15＝ 3x2＋15x－6－9x＋15＝ 3(x2＋2x)＋9＝33＋9＝18． 5．＞ 提示：設(shè)x＝a1＋a2＋…＋a1990，y＝a2＋a3＋…＋a1 990，求M－N． 6．－1提示：將3個(gè)方程組相加得(a＋b＋1)(x2＋x＋l)＝0， 而x2 ＋x＋1＝＞0，故a＋b＋1＝0． 7．B 8．B 9．A 10．A 11．(1)原式＝＝＝ (由a＋b＋c＝0，得b＋c＝－a，a＋c＝－b，a＋b＝－c)＝－1＋(－1)＋(－1)＋3＝0 (2)由得，即．同理，． 三式相加得2()＝48，故＝24．則＝． 12．設(shè)前、后兩個(gè)二位數(shù)分別為m，n，則根據(jù)題意有：10m＋mn＝100m＋n， m＝，由m＞0，n＞0，得n－90＞0，又n是兩位數(shù)，且個(gè)位數(shù)字為5，因此n＝95，從而知m＝19，故所求四位數(shù)為1 995． 13．(1)略． (2)在rvz，－r wy，－suz，swx，tuy，－tvx這六項(xiàng)相乘 得，－＝－1，所以這六項(xiàng)中，至少有一項(xiàng)是－1，這樣六項(xiàng)之和之多是5－1＝4．在u，x，y為－1，其他字母為1時(shí)，原式的最大值為4． 14．（1）能．（2）不能． 提示：設(shè)所填的6個(gè)數(shù)順序?yàn)閍，b，c，d，e，f，它們?nèi)我庀噜徣龜?shù)和大于10，即a＋b＋c≥11，b＋c＋d≥11，c＋d＋e≥11，d＋e＋f≥11，e＋f＋a≥11，f＋a＋b≥11，則3（a＋b＋c＋d＋e＋f）≥66，故a＋b＋c＋d＋e＋f≥．而1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，所以不能使每三個(gè)相鄰的數(shù)之和都大于10．