同濟大學微積分課件.ppt

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預備知識,1.集合的概念,在數(shù)學中，把具有某種特定性質(zhì)的事物組成的總體稱,,否則，記為,,一、集合,如果元素在集合中，記為,為一個集合.集合中的事物稱為該集合的元素.,只有有限個元素的集合稱為有限集，否則稱為無限集.,常用數(shù)集:,自然數(shù)集:,整數(shù)集:,有理數(shù)集:,復數(shù)集:,,,,2.集合的運算,集合的交:,集合的并:,集合的差:,,,,設是兩個集合，由此定義如下幾個集合：,集合的運算滿足如下運算率：,交換率:,結合率:,分配率:,,3.區(qū)間和鄰域,開區(qū)間:,閉區(qū)間:,,,,設是實數(shù)，且,,,,,,,,,,,,,半開半閉區(qū)間:,,,,,,,,,,,,,,,,無窮區(qū)間:,注意：無窮端不能寫成閉的記號,,,,,,,,,,,,,設是實數(shù)，且則定義點的鄰域為集合：,鄰域：,,,,,,,,,,,如果把鄰域的中心去掉，所得到的集合稱為點的空,心鄰域：,,,,,,,,,,,1.映射的概念,,,二、映射,,設是兩個非空集合，如果存在一個法則使得,而元素稱為的象，記作，即,,對中的每個元素按此法則在中有唯一的元素,與之對應，那么稱為從到的映射，記作,,,,,,,,,,,,,,,,,,例設,則是到的映射.,例設,則是到的映射.,2.幾類重要映射,一一對應：既單又滿的映射稱為一一對應.,例在前面的兩例中，例2是一一對應，而例1則不是.,,,,設是到的映射.,滿射：若即使得,單射：若則必有,3.逆映射與復合映射,則：,,,,逆映射：設是到的一一映射，則對中任一元素,例設,可以確定中的唯一元素滿足稱此對應,關系為映射的逆映射，記為,,復合映射：設有映射其中,稱此映射為由構成的復合映射，記為,,,,,,,,,,由此可以確定一個從到的映射,,,,例：設,則復合映射為,1.概念,,,三、一元函數(shù),,從數(shù)集到實數(shù)集的任一映射稱為定義在上的,稱為的圖象.而數(shù)集則稱為函數(shù),一元函數(shù)，通常記為而中的集合,的定義域.,注：在以后的討論中，更多的是函數(shù)的定義域以默認的,例則定義域為,,,,例則定義域為,方式給出，即定義域為使表達式有效的一切實數(shù).,以下例中函數(shù)的定義域均為實數(shù)集。,,,,例3符號函數(shù),,,,例取整函數(shù),2.函數(shù)的幾種特性,,,,,有界,,,,,無界,,有界性設函數(shù)的定義域為數(shù)集,如果都有就稱,在上有界,否則稱為無界函數(shù).,,,,,,,,例在上是有界函數(shù)，,在上無界.,域內(nèi)是無界函數(shù).,例試說明函數(shù)在的任何空心鄰,解設，取，,其中,則,所以無界.,,,,,單調(diào)性設函數(shù)的定義域為區(qū)間,如果對任意的當時，總有,則稱函數(shù)為區(qū)間上的單調(diào)增加函數(shù)；,如果時，總有,則稱函數(shù)為區(qū)間上的單調(diào)減少函數(shù).,圖形特征：,,單調(diào)增加函數(shù)圖形,單調(diào)減少函數(shù)圖形,,,,奇偶性設函數(shù)的定義域為關于原點對稱，,如果對任意的都有,就稱為偶函數(shù)；,如果對任意的都有,就稱為奇函數(shù).,圖形特征：,,偶函數(shù),奇函數(shù),,,,,使得對任意的當總有,通常我們說的周期指的是最小正周期.,周期函數(shù)設函數(shù)的定義域為如果存在數(shù),就稱為周期函數(shù)，稱為的周期.,例如，的最小正周期是,,,,,,,,,例：狄利克雷函數(shù),則任何非零有理數(shù)都是其周期，但沒有最小正周期.,,,,3.反函數(shù)和復合函數(shù),,反函數(shù)設函數(shù)是一一對應，則其逆映,注：習慣上用表示為自變量，所以函數(shù)的,射為的反函數(shù).,的反函數(shù)仍表示為,,,,注：函數(shù)與它的反函數(shù)的圖形,關于對稱.,,,,,,,復合函數(shù)復合函數(shù)本質(zhì)上是復合映射在函數(shù)上的推廣.,,當復合映射定義中的幾個集合均為數(shù)集時，即得到復合,函數(shù)的定義.,4.基本初等函數(shù),,⑴冪函數(shù)（是常數(shù)）,,,,,,,,⑵指數(shù)函數(shù),,,,⑶對數(shù)函數(shù),,,,⑷三角函數(shù),①正弦函數(shù),,,,,,,,,②余弦函數(shù),,,,,③正切函數(shù),,,,,,,④余切函數(shù),,,,,,,,③正割函數(shù),④余割函數(shù),,⑸反三角函數(shù),①反正弦函數(shù),②反余弦函數(shù),,③反正切函數(shù),③反余切函數(shù),,5.初等函數(shù),由常數(shù)函數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次的四則運算和,有限次的復合運算所得到的函數(shù)稱為初等函數(shù).,,6.雙曲函數(shù),最后再簡單介紹在工程技術中經(jīng)常用到的一類函數(shù),⑴雙曲正弦函數(shù),⑵雙曲余弦函數(shù),——雙曲函數(shù).,,