2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第二講 橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程與性質(zhì)能力訓(xùn)練 理.doc

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第二講 橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程與性質(zhì) 一、選擇題 1．(2018廣西南寧模擬)雙曲線－＝1的漸近線方程為(　　) A．y＝x　 B．y＝x C．y＝x D．y＝x 解析：在雙曲線 －＝1中，a＝5，b＝2，而其漸近線方程為y＝x，∴其漸近線方程為y＝x，故選D. 答案：D 2．已知橢圓C的方程為＋＝1(m＞0)，如果直線y＝x與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)F，則m的值為(　　) A．2 B．2 C．8 D．2 解析：根據(jù)已知條件得c＝，則點(diǎn)在橢圓＋＝1(m＞0)上，∴＋＝1，可得m＝2. 答案：B 3．(2018張掖模擬)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線與圓x2＋(y－2)2＝1相切，則雙曲線的離心率為(　　) A.　　　B. C．2　　　D．3 解析：雙曲線－＝1的漸近線與圓x2＋(y－2)2＝1相切，則圓心(0,2)到直線bx－ay＝0的距離為1，所以＝1，即＝1，所以雙曲線的離心率e＝＝2，故選C. 答案：C 4．(2017高考全國(guó)卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　　) A.　　　B. C.　　　D. 解析：以線段A1A2為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)，半徑為a.由題意，圓心到直線bx－ay＋2ab＝0的距離為＝a，即a2＝3b2.又e2＝1－＝，所以e＝. 答案：A 5．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦距為4，漸近線方程為2xy＝0，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：易知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)在x軸上，所以由漸近線方程為2xy＝0，得＝2，因?yàn)殡p曲線的焦距為4，所以c＝2，結(jié)合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以雙曲線的方程為－＝1，故選A. 答案：A 6．(2018長(zhǎng)春模擬)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－y2＝1的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D. 解析：不妨設(shè)P在雙曲線的左支，如圖，延長(zhǎng)F1H交PF2于點(diǎn)M，由于PH既是∠F1PF2的平分線又垂直于F1M，故△PF1M為等腰三角形，|PF1|＝|PM|且H為F1M的中點(diǎn)，所以O(shè)H為△MF1F2的中位線，所以|OH|＝|MF2|＝(|PF2|－|PM|)＝(|PF2|－|PF1|)＝1.故選A. 答案：A 7．(2018高考全國(guó)卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為(　　) A. B．2 C. D．2 解析：由題意，得e＝＝，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因?yàn)閍＞0，b＞0，所以a＝b，漸近線方程為xy＝0，點(diǎn)(4,0)到漸近線的距離為＝2， 故選D. 答案：D 8．(2018石家莊一模)已知直線l：y＝2x＋3被橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)截得的弦長(zhǎng)為7，有下列直線：①y＝2x－3；②y＝2x＋1；③y＝－2x－3；④y＝－2x＋3.其中被橢圓C截得的弦長(zhǎng)一定為7的有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 解析：易知直線y＝2x－3與直線l關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線y＝－2x－3與直線l關(guān)于x軸對(duì)稱，直線y＝－2x＋3與直線l關(guān)于y軸對(duì)稱，故由橢圓的對(duì)稱性可知，有3條直線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)一定為7.選C. 答案：C 9．(2018洛陽(yáng)模擬)設(shè)雙曲線C：－＝1的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作雙曲線C的漸近線的垂線，垂足分別為M，N，若d是雙曲線上任意一點(diǎn)P到直線MN的距離，則的值為(　　) A. B. C. D．無(wú)法確定 解析：雙曲線C：－＝1中，a＝4，b＝3，c＝5，右焦點(diǎn)F(5,0)，漸近線方程為y＝x.不妨設(shè)M在直線 y＝x上，N在直線y＝－x上，則直線MF的斜率為－，其方程為y＝－(x－5)，設(shè)M(t，t)，代入直線MF的方程，得t＝－(t－5)，解得t＝，即M(，)．由對(duì)稱性可得N(，－)，所以直線MN的方程為x＝.設(shè)P(m，n)，則d＝|m－|，－＝1，即n2＝(m2－16)，則|PF|＝＝|5m－16|.故＝＝，故選B. 答案：B 10．(2018高考全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)(－2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：由題意知直線MN的方程為y＝(x＋2)， 聯(lián)立直線與拋物線的方程，得 解得或 不妨設(shè)M為(1,2)，N為(4,4)． 又∵拋物線焦點(diǎn)為F(1,0)，∴＝(0,2)，＝(3,4)， ∴＝03＋24＝8. 故選D. 答案：D 11．(2018廣西五校聯(lián)考)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x軸的直線與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，若1＞0，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是(　　) A．(，＋1) B．(1，＋1) C．(1，) D．(，＋∞) 解析：設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)， 依題意可得－＝1，得到y(tǒng)＝， 不妨設(shè)M，N， 則11＝＝4c2－＞0， 得到4a2c2－(c2－a2)2＞0， 即a4＋c4－6a2c2＜0， 故e4－6e2＋1＜0， 解得3－2＜e2＜3＋2， 又e＞1，所以1＜e2＜3＋2， 解得1＜e＜1＋ 答案：B 12．(2018南昌模擬)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若x1＋x2＋4＝|AB|，則∠AFB的最大值為(　　) A. B. C. D. 解析：由拋物線的定義可得|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，又x1＋x2＋4＝|AB|， 得|AF|＋|BF|＝|AB|， 所以|AB|＝(|AF|＋|BF|)． 所以cos∠AFB＝ ＝ ＝ ＝－≥2－＝－，而0＜∠AFB＜π， 所以∠AFB的最大值為. 答案：D 二、填空題 13．(2018成都模擬)已知雙曲線－＝1(a＞0)和拋物線y2＝8x有相同的焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_(kāi)_______． 解析：易知拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為(2,0)，所以雙曲線－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則a2＋2＝22，即a＝，所以雙曲線的離心率e＝＝＝. 答案： 14．(2018武漢調(diào)研)雙曲線Γ：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距為10，焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，則Γ的實(shí)軸長(zhǎng)等于________． 解析：雙曲線的焦點(diǎn)(0,5)到漸近線y＝x，即ax－by＝0的距離為＝＝b＝3，所以a＝4,2a＝8. 答案：8 15．(2018唐山模擬)過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＝2|BF|＝6，則p＝________. 解析：設(shè)AB的方程為x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＞x2，將直線AB的方程代入拋物線方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2,4x1x2＝p2.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過(guò)A作AC⊥l，垂足為C，過(guò)B作BD⊥l，垂足為D，因?yàn)閨AF|＝2|BF|＝6，根據(jù)拋物線的定義知，|AF|＝|AC|＝x1＋＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4. 答案：4 16．(2017高考全國(guó)卷Ⅰ改編)設(shè)A，B是橢圓C：＋＝1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120，則m的取值范圍是________． 解析：當(dāng)0＜m＜3時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上， 要使C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120， 則≥tan 60＝，即≥ ， 解得0＜m≤1. 當(dāng)m＞3時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上， 要使C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120， 則≥tan 60＝，即≥，解得m≥9. 故m的取值范圍為(0,1]∪[9，＋∞)． 答案：(0,1]∪[9，＋∞) 三、解答題 17．(2018遼寧五校聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為B，若△BF1F2的周長(zhǎng)為6，且點(diǎn)F1到直線BF2的距離為b. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)A1，A2是橢圓C長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，P是橢圓C上不同于A1，A2的任意一點(diǎn)，直線A1P交直線x＝m于點(diǎn)M，若以MP為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A2，求實(shí)數(shù)m的值． 解析：(1)由題意得F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，B(0，b)， 則2a＋2c＝6，① 直線BF2的方程為bx＋cy－bc＝0， 所以＝b，即2c＝a，② 又a2＝b2＋c2，③ 所以由①②③可得a＝2，b＝， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)不妨設(shè)A1(－2,0)，A2(2,0)，P(x0，y0)， 則直線A1P的方程為y＝(x＋2)， 所以M(m，(m＋2))， 又點(diǎn)P在橢圓C上，所以y＝3(1－)， 若以MP為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A2，則A2M⊥A2P，＝0， 所以(m－2，(m＋2))(x0－2，y0)＝(m－2)(x0－2)＋(m＋2)＝(m－2)(x0－2)＋(m＋2)＝(x0－2)(m－)＝0. 又點(diǎn)P不同于點(diǎn)A1，A2，所以x0≠2， 所以m＝14. 18．(2018福州模擬)拋物線C：y＝2x2－4x＋a與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，其中與y軸的交點(diǎn)為P. (1)若點(diǎn)Q(x，y)(1＜x＜4)在C上，求直線PQ斜率的取值范圍； (2)證明：經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓E過(guò)定點(diǎn)． 解析：(1)由題意得P(0，a)(a≠0)，Q(x,2x2－4x＋a)(1＜x＜4)， 故kPQ＝＝2x－4， 因?yàn)?＜x＜4，所以－2＜kPQ＜4， 所以直線PQ的斜率的取值范圍為(－2,4)． (2)證明：法一：P(0，a)(a≠0)． 令2x2－4x＋a＝0，則Δ＝16－8a＞0，a＜2，且a≠0， 解得x＝1， 故拋物線C與x軸交于A(1－，0)，B(1＋，0)兩點(diǎn)． 故可設(shè)圓E的圓心為M(1，t)， 由|MP|2＝|MA|2，得12＋(t－a)2＝()2＋t2，解得t＝＋， 則圓E的半徑r＝|MP|＝. 所以圓E的方程為(x－1)2＋(y－－)2＝1＋(－)2， 所以圓E的一般方程為x2＋y2－2x－(a＋)y＋＝0， 即x2＋y2－2x－y＋a(－y)＝0. 由得或 故圓E過(guò)定點(diǎn)(0，)，(2，)． 法二：P(0，a)(a≠0)，設(shè)拋物線C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(x1,0)，B(x2,0)，圓E的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Fy＋G＝0，則 因?yàn)閤1，x2是方程2x2－4x＋a＝0，即x2－2x＋＝0的兩根， 所以x－2x1＋＝0，x－2x2＋＝0， 所以D＝－2，G＝， 所以F＝＝－(a＋)， 所以圓E的一般方程為x2＋y2－2x－(a＋)y＋＝0， 即x2＋y2－2x－y＋a(－y)＝0. 由得或 故圓E過(guò)定點(diǎn)(0，)，(2，)． 19．(2018廣州模擬)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的上焦點(diǎn)為F1，橢圓C的離心率為，且過(guò)點(diǎn)(1，)． (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)過(guò)橢圓C的上頂點(diǎn)A的直線l與橢圓C交于點(diǎn)B(B不在y軸上)，垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)H，若＝0，且|MO|＝|MA|，求直線l的方程． 解析：(1)因?yàn)闄E圓C的離心率為，所以＝，即a＝2c. 又a2＝b2＋c2，所以b2＝3c2，即b2＝a2，所以橢圓C的方程為＋＝1. 把點(diǎn)(1，)代入橢圓C的方程中，解得a2＝4. 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)由(1)知，A(0,2)，設(shè)直線l的斜率為k(k≠0)，則直線l的方程為y＝kx＋2， 由得(3k2＋4)x2＋12kx＝0. 設(shè)B(xB，yB)，得xB＝， 所以yB＝， 所以B(，)． 設(shè)M(xM，yM)，因?yàn)閨MO|＝|MA|，所以點(diǎn)M在線段OA的垂直平分線上， 所以yM＝1，因?yàn)閥M＝kxM＋2，所以xM＝－，即M(－，1)． 設(shè)H(xH,0)，又直線HM垂直于直線l，所以kMH＝－，即＝－. 所以xH＝k－，即H(k－，0)． 又F1(0,1)，所以＝(，)，＝(k－，－1)． 因?yàn)椋?，所以(k－)－＝0， 解得k＝. 所以直線l的方程為y＝x＋2.