2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 考點(diǎn)測試68 坐標(biāo)系與參數(shù)方程(理)(含解析).docx
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考點(diǎn)測試68 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 高考概覽 考綱研讀 1.了解坐標(biāo)系的作用,了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況 2.了解極坐標(biāo)的基本概念,會在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置,能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化 3.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形表示的極坐標(biāo)方程 4.了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的意義 5.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程 一、基礎(chǔ)小題 1.參數(shù)方程為(0≤t≤5)的曲線為( ) A.線段 B.雙曲線的一支 C.圓弧 D.射線 答案 A 解析 化為普通方程為x=3(y+1)+2,即x-3y-5=0,由于x=3t2+2∈[2,77],故曲線為線段.故選A. 2.直線(t為參數(shù))的傾斜角為( ) A.30 B.60 C.90 D.135 答案 D 解析 將直線參數(shù)方程化為普通方程為x+y-1=0,其斜率k=-1,故傾斜角為135.故選D. 3.在極坐標(biāo)系中,過點(diǎn)作圓ρ=4sinθ的切線,則切線的極坐標(biāo)方程是( ) A.ρsinθ=2 B.ρcosθ=2 C.ρsin=2 D.ρcos=2 答案 B 解析 ρ=4sinθ的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4,而點(diǎn)化為直角坐標(biāo)是(2,2),過(2,2)作圓的切線,其方程為x=2,即ρcosθ=2.故選B. 4.在極坐標(biāo)系中,過圓ρ=6cosθ的圓心,且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程為________. 答案 ρcosθ=3 解析 把ρ=6cosθ兩邊同乘ρ,得ρ2=6ρcosθ,所以圓的普通方程為x2+y2-6x=0,即(x-3)2+y2=9,圓心為(3,0),故所求直線的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=3. 5.在極坐標(biāo)系中,直線ρsin=2被圓ρ=4所截得的弦長為________. 答案 4 解析 分別將直線與圓的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0,x2+y2=16,則圓心O到直線x+y-2=0的距離d==2,半弦長為=2,所以弦長為4. 6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ(cosθ+sinθ)=-2,曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),則C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為________. 答案 (2,-4) 解析 曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x+y=-2,曲線C2的普通方程為y2=8x,由得所以C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,-4). 二、高考小題 7.(2018北京高考)在極坐標(biāo)系中,直線ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)與圓ρ=2cosθ相切,則a=________. 答案 1+ 解析 由可將直線ρcosθ+ρsinθ=a化為x+y-a=0,將ρ=2cosθ,即ρ2=2ρcosθ化為x2+y2=2x,整理成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=1.又∵直線與圓相切,∴圓心(1,0)到直線x+y-a=0的距離d==1,解得a=1,∵a>0,∴a=1+. 8.(2018天津高考)已知圓x2+y2-2x=0的圓心為C,直線(t為參數(shù))與該圓相交于A,B兩點(diǎn),則△ABC的面積為________. 答案 解析 由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=1,直線的直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0,則圓心到直線的距離d==,由弦長公式可得|AB|=2=,則S△ABC==. 9.(2017北京高考)在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在圓ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0),則|AP|的最小值為________. 答案 1 解析 由ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得 x2+y2-2x-4y+4=0,即(x-1)2+(y-2)2=1, 圓心坐標(biāo)為C(1,2),半徑長為1. ∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0),∴點(diǎn)P在圓C外. 又∵點(diǎn)A在圓C上,∴|AP|min=|PC|-1=2-1=1. 10.(2017天津高考)在極坐標(biāo)系中,直線4ρcos+1=0與圓ρ=2sinθ的公共點(diǎn)的個數(shù)為________. 答案 2 解析 由4ρcos+1=0得2ρcosθ+2ρsinθ+1=0,故直線的直角坐標(biāo)方程為2x+2y+1=0. 由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ, 故圓的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2y, 即x2+(y-1)2=1.圓心為(0,1),半徑為1. ∵圓心到直線2x+2y+1=0的距離 d==<1, ∴直線與圓相交,有兩個公共點(diǎn). 三、模擬小題 11.(2018北京通州月考)下面直線中,平行于極軸且與圓ρ=2cosθ相切的是( ) A.ρcosθ=1 B.ρsinθ=1 C.ρcosθ=2 D.ρsinθ=2 答案 B 解析 由ρ=2cosθ得ρ2=2ρcosθ,即x2+y2=2x,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=1,所以圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑為1.與x軸平行且與圓相切的直線方程為y=1或y=-1,則極坐標(biāo)方程為ρsinθ=1或ρsinθ=-1,所以選B. 12.(2018合肥調(diào)研)已知圓C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),當(dāng)圓心C到直線kx+y+4=0的距離最大時,k的值為( ) A. B. C.- D.- 答案 D 解析 ⊙C的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+(y-1)2=1,∴圓心C(-1,1),又直線kx+y+4=0過定點(diǎn)A(0,-4),故當(dāng)CA與直線kx+y+4=0垂直時,圓心C到直線的距離最大,∵kCA=-5,∴-k=,∴k=-.選D. 一、高考大題 1.(2018全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcosθ-3=0. (1)求C2的直角坐標(biāo)方程; (2)若C1與C2有且僅有三個公共點(diǎn),求C1的方程. 解 (1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,得C2的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓. 由題設(shè)知,C1是過點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線,曲線C1的方程為y=記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個公共點(diǎn)等價于l1與C2只有一個公共點(diǎn)且l2與C2有兩個公共點(diǎn),或l2與C2只有一個公共點(diǎn)且l1與C2有兩個公共點(diǎn). 當(dāng)l1與C2只有一個公共點(diǎn)時,A到l1所在直線的距離為2,所以=2,故k=-或k=0. 經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k=0時,l1與C2沒有公共點(diǎn);當(dāng)k=-時,l1與C2只有一個公共點(diǎn),l2與C2有兩個公共點(diǎn). 當(dāng)l2與C2只有一個公共點(diǎn)時,A到l2所在直線的距離為2,所以=2,故k=0或k=. 經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k=0時,l1與C2沒有公共點(diǎn);當(dāng)k=時,l2與C2沒有公共點(diǎn). 綜上,所求C1的方程為y=-|x|+2. 2.(2018全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)求C和l的直角坐標(biāo)方程; (2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求l的斜率. 解 (1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為+=1. 當(dāng)cosα≠0時,l的直角坐標(biāo)方程為y=tanαx+2-tanα,當(dāng)cosα=0時,l的直角坐標(biāo)方程為x=1. (2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程,整理得關(guān)于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0.① 因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi),所以①有兩個解,設(shè)為t1,t2,則t1+t2=0. 又由①得t1+t2=-,故2cosα+sinα=0,于是直線l的斜率k=tanα=-2. 3.(2018全國卷Ⅲ)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),過點(diǎn)(0,-)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A,B兩點(diǎn). (1)求α的取值范圍; (2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程. 解 (1)⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1. 當(dāng)α=時,l與⊙O交于兩點(diǎn). 當(dāng)α≠時,記tanα=k,則l的方程為y=kx-.l與⊙O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)<1,解得k<-1或k>1, 即α∈,或α∈,.綜上,α的取值范圍是,. (2)l的參數(shù)方程為t為參數(shù),<α<. 設(shè)A,B,P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA,tB,tP,則tP=,且tA,tB滿足t2-2tsinα+1=0. 于是tA+tB=2sinα,tP=sinα. 又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足 所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是 α為參數(shù),<α<. 4.(2017全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)若a=-1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo); (2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為,求a. 解 (1)曲線C的普通方程為+y2=1. 當(dāng)a=-1時,直線l的普通方程為x+4y-3=0. 由 解得或 從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),-,. (2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0,故C上的點(diǎn)(3cosθ,sinθ)到l的距離為d=. 當(dāng)a≥-4時,d的最大值為. 由題設(shè)得=,所以a=8; 當(dāng)a<-4時,d的最大值為. 由題設(shè)得=, 所以a=-16. 綜上,a=8或a=-16. 5.(2017全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=4. (1)M為曲線C1上的動點(diǎn),點(diǎn)P在線段OM上,且滿足|OM||OP|=16,求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為,點(diǎn)B在曲線C2上,求△OAB面積的最大值. 解 (1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ,θ)(ρ>0),M的極坐標(biāo)為(ρ1,θ)(ρ1>0). 由題設(shè)知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=. 由|OM||OP|=16得C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ(ρ>0). 因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(ρB,α)(ρB>0). 由題設(shè)知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB的面積 S=|OA|ρBsin∠AOB=4cosα =2≤2+. 當(dāng)α=-時,S取得最大值2+. 所以△OAB面積的最大值為2+. 二、模擬大題 6.(2018河南名校聯(lián)盟聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-1)2=1.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(cosθ+sinθ)=5. (1)求圓C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程; (2)在圓上找一點(diǎn)A,使它到直線l的距離最小,并求點(diǎn)A的極坐標(biāo). 解 (1)x2+(y-1)2=1即x2+y2-2y=0. 因?yàn)棣?=x2+y2,ρsinθ=y(tǒng), 所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2=2ρsinθ,即ρ=2sinθ. ρ(cosθ+sinθ)=5即ρcosθ+ρsinθ=5, 因?yàn)棣裞osθ=x,ρsinθ=y(tǒng), 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為y=-x+5. (2)曲線C:x2+(y-1)2=1是以C(0,1)為圓心,1為半徑的圓. 設(shè)圓上點(diǎn)A(x0,y0)到直線l:y=-x+5的距離最短,所以圓C在點(diǎn)A處的切線與直線l:y=-x+5平行. 即直線CA與l的斜率的乘積等于-1,即(-)=-1.① 因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上,所以x+(y0-1)2=1,② 聯(lián)立①②可解得x0=-,y0=或x0=,y0=. 所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為-,或,. 又由于圓上點(diǎn)A到直線l:y=-x+5的距離最小, 所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為,, 點(diǎn)A的極徑為=,極角θ滿足tanθ=且θ為第一象限角,則可取θ=. 所以點(diǎn)A的極坐標(biāo)為,. 7.(2019福建福州四校模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),直線C2的方程為y=x.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程; (2)若直線C2與曲線C1交于A,B兩點(diǎn),求+. 解 (1)由曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),得曲線C1的普通方程為(x-2)2+(y-2)2=1, 則C1的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+7=0, 由于直線C2過原點(diǎn),且傾斜角為,故其極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R). (2)由得ρ2-(2+2)ρ+7=0,設(shè)A,B對應(yīng)的極徑分別為ρ1,ρ2,則ρ1+ρ2=2+2,ρ1ρ2=7, ∴+===. 8.(2018河南鄭州二模)在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,點(diǎn)A的極坐標(biāo)為,,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-=a,且l過點(diǎn)A,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)). (1)求曲線C1上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值; (2)過點(diǎn)B(-1,1)與直線l平行的直線l1與曲線C1交于M,N兩點(diǎn),求|BM||BN|的值. 解 (1)由直線l過點(diǎn)A可得cos-=a, 故a=, ∴易得直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0. 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得曲線C1上的點(diǎn)(2cosθ,sinθ)到直線l的距離d==,其中sinφ=,cosφ=, ∴dmax==. (2)由(1)知直線l的傾斜角為, ∴直線l1的參數(shù)方程為y=(t為參數(shù)). 又易知曲線C1的普通方程為+=1, 把直線l1的參數(shù)方程代入曲線C1的普通方程可得t2+7t-5=0, 設(shè)M,N兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為t1,t2, ∴t1t2=-,依據(jù)參數(shù)t的幾何意義可知|BM||BN|=|t1t2|=. 9.(2018山西太原二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1過點(diǎn)P(a,1),其參數(shù)方程為(t為參數(shù),a∈R),以O(shè)為極點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ+4cosθ-ρ=0. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程; (2)已知曲線C1和曲線C2交于A,B兩點(diǎn),且|PA|=2|PB|,求實(shí)數(shù)a的值. 解 (1)C1的參數(shù)方程為消參得普通方程為x-y-a+1=0,C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ+4cosθ-ρ=0,兩邊同乘ρ得ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0,得y2=4x. 所以曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y2=4x. (2)曲線C1的參數(shù)方程可轉(zhuǎn)化為(t為參數(shù),a∈R),代入曲線C2:y2=4x,得t2-t+1-4a=0,由Δ=(-)2-4(1-4a)>0,得a>0, 設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2, 由|PA|=2|PB|得|t1|=2|t2|,即t1=2t2或t1=-2t2, 當(dāng)t1=2t2時,解得a=; 當(dāng)t1=-2t2時,解得a=, 綜上,a=或. 10.(2018河北衡水中學(xué)模擬)在極坐標(biāo)系中,曲線C1的極坐標(biāo)方程是ρ=,在以極點(diǎn)為原點(diǎn)O,極軸為x軸正半軸(兩坐標(biāo)系取相同的單位長度)的直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). (1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程與曲線C2的普通方程; (2)將曲線C2經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C3,若M,N分別是曲線C1和曲線C3上的動點(diǎn),求|MN|的最小值. 解 (1)∵C1的極坐標(biāo)方程是ρ=, ∴4ρcosθ+3ρsinθ=24, ∴4x+3y-24=0, 故C1的直角坐標(biāo)方程為4x+3y-24=0. ∵曲線C2的參數(shù)方程為∴x2+y2=1, 故C2的普通方程為x2+y2=1. (2)將曲線C2經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C3,則曲線C3的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).設(shè)N(2cosα,2sinα),則點(diǎn)N到曲線C1的距離 d= = =其中φ滿足tanφ=. 當(dāng)sin(α+φ)=1時,d有最小值, 所以|MN|的最小值為.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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