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第10課時 函數(shù)與方程
1．函數(shù)f(x)＝x－的零點個數(shù)是( )
A．0 B．1
C．2 D．無數(shù)個
答案 C
解析 令f(x)＝0，解x－＝0，即x2－4＝0，且x≠0，則x＝2.
2．(2017鄭州質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝lnx－的零點的個數(shù)是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 y＝與y＝lnx的圖像有兩個交點．
3．函數(shù)f(x)＝1－xlog2x的零點所在的區(qū)間是( )
A．(，) B．(，1)
C．(1，2) D．(2，3)
答案 C
解析 因為y＝與y＝log2x的圖像只有一個交點，所以f(x)只有一個零點．又因為f(1)＝1，f(2)＝－1，所以函數(shù)f(x)＝1－xlog2x的零點所在的區(qū)間是(1，2)．故選C.
4．(2018湖南株洲質(zhì)檢一)設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，函數(shù)y＝x2－x－2的兩個零點是a2，a3，則a1a4＝( )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
答案 D
解析 因為函數(shù)y＝x2－x－2的兩個零點是a2，a3，所以a2a3＝－2，由等比數(shù)列性質(zhì)可知a1a4＝a2a3＝－2.故選D.
5．若函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個零點在區(qū)間(1，2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
答案 C
解析 由條件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得0
0，即lnx>－1，可解得x>，所以，當(dāng)0時，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，由此可知當(dāng)x＝時，g(x)min＝－.在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)和h(x)的簡圖如圖所示，據(jù)圖可得－0)的解的個數(shù)是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 (數(shù)形結(jié)合法)
∵a>0，∴a2＋1>1.
而y＝|x2－2x|的圖像如圖，
∴y＝|x2－2x|的圖像與y＝a2＋1的圖像總有兩個交點．
8．(2017東城區(qū)期末)已知x0是函數(shù)f(x)＝2x＋的一個零點．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，則( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
答案 B
解析 設(shè)g(x)＝，由于函數(shù)g(x)＝＝－在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)h(x)＝2x在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上只有唯一的零點x0，且在(1，x0)上f(x1)<0，在(x0，＋∞)上f(x2)>0，故選B.
9．設(shè)方程10x＝|lg(－x)|的兩個根分別為x1，x2，則( )
A．x1x2<0 B．x1x2＝1
C．x1x2>1 D．00 D．f(x0)的符號不確定
答案 A
解析 因為函數(shù)f(x)＝2x－logx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，a是函數(shù)f(x)＝2x－logx的零點，即f(a)＝0，所以當(dāng)00，∴01，故選A.
12．若函數(shù)y＝f(x)(x∈R)滿足f(x＋2)＝f(x)且x∈
[－1，1]時，f(x)＝1－x2，函數(shù)g(x)＝則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間[－5，5]內(nèi)的零點的個數(shù)為( )
A．7 B．8
C．9 D．10
答案 B
解析 當(dāng)x∈[－1，1]時，y＝f(x)的圖像是一段開口向下的拋物線，y＝f(x)的最大值為1.∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是以2為周期的周期函數(shù)．f(x)和g(x)在[－5，5]內(nèi)的圖像如圖所示，有8個交點，所以函數(shù)h(x)有8個零點．
13．函數(shù)y＝的圖像與函數(shù)y＝2sinπx(－2≤x≤4)的圖像所有交點的橫坐標(biāo)之和等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
答案 D
解析 如圖，兩個函數(shù)圖像都關(guān)于點(1，0)成中心對稱，兩個圖像在[－2，4]上共8個公共點，每兩個對應(yīng)交點橫坐標(biāo)之和為2，故所有交點的橫坐標(biāo)之和為8.
14．(2018滄州七校聯(lián)考)給定方程()x＋sinx－1＝0，有下列四個命題：
p1：該方程沒有小于0的實數(shù)解；
p2：該方程有有限個實數(shù)解；
p3：該方程在(－∞，0)內(nèi)有且只有一個實數(shù)解；
p4：若x0是該方程的實數(shù)解，則x0>－1.
其中的真命題是( )
A．p1，p3 B．p2，p3
C．p1，p4 D．p3，p4
答案 D
解析 由()x＋sinx－1＝0，得sinx＝1－()x，令f(x)＝sinx，g(x)＝1－()x，在同一坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)的圖像如圖，由圖像知：p1錯，p3，p4對，而由于g(x)＝1－()x遞增，小于1，且以直線y＝1為漸近線，f(x)＝sinx在－1到1之間振蕩，故在區(qū)間(0，＋∞)上，兩者的圖像有無窮多個交點，所以p2錯，故選D.
15．若函數(shù)f(x)＝有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案 (0，1]
解析 當(dāng)x>0時，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因為函數(shù)f(x)有兩個不同的零點，則當(dāng)x≤0時，函數(shù)f(x)＝2x－a有一個零點．令f(x)＝0，得a＝2x.因為0<2x≤20＝1，所以00，
∴f(x)在區(qū)間[－1，1]上有零點．
又f′(x)＝4＋2x－2x2＝－2(x－)2，
當(dāng)－1≤x≤1時，0≤f′(x)≤，
∴f(x)在[－1，1]上是單調(diào)遞增函數(shù)．
∴f(x)在[－1，1]上有且只有一個零點．
18．已知函數(shù)f(x)＝4x＋m2x＋1僅有一個零點，求m的取值范圍，并求出零點．
答案 m＝－2，零點是x＝0
解析 方法一：令2x＝t，則t>0，則g(t)＝t2＋mt＋1＝0僅有一正根或兩個相等的正根，
而g(0)＝1>0，故
∴m＝－2.
方法二：令2x＝t，則t>0.
原函數(shù)的零點，即方程t2＋mt＋1＝0的根．
∴t2＋1＝－mt.∴－m＝＝t＋(t>0)．
有一個零點，即方程只有一根．
∵t＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)t＝即t＝1時取等號)，
又y＝t＋在(0，1)上遞減，在(1，＋∞)上遞增．
∴－m＝2即m＝－2時，只有一根．
注：方法一側(cè)重二次函數(shù)，方法二側(cè)重于分離參數(shù)．
1．(2018鄭州質(zhì)檢)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f(x)＝x－[x](x∈R)，g(x)＝log4(x－1)，則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的零點個數(shù)是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖像如圖所示，發(fā)現(xiàn)有兩個不同的交點，故選B.
2．函數(shù)f(x)＝xcos2x在區(qū)間[0，2π]上的零點的個數(shù)為( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 D
解析 借助余弦函數(shù)的圖像求解．f(x)＝xcos2x＝0?x＝0或cos2x＝0，又cos2x＝0在[0，2π]上有，，，，共4個根，故原函數(shù)有5個零點．
3．方程2－x＋x2＝3的實數(shù)解的個數(shù)為( )
A．2 B．3
C．1 D．4
答案 A
解析 構(gòu)造函數(shù)y＝2－x與y＝3－x2，在同一坐標(biāo)系中作出它們的圖像，可知有兩個交點，故方程2－x＋x2＝3的實數(shù)解的個數(shù)為2.故選A.
4．函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點個數(shù)是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析 由已知得f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(－1)＝e－1－3<0，f(1)＝e＋3>0，因此f(x)的零點個數(shù)是1，故選B.
5．設(shè)函數(shù)f(x)＝x－lnx，則函數(shù)y＝f(x)( )
A．在區(qū)間(，1)，(1，e)內(nèi)均有零點
B．在區(qū)間(，1)，(1，e)內(nèi)均無零點
C．在區(qū)間(，1)內(nèi)有零點，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點
D．在區(qū)間(，1)內(nèi)無零點，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點
答案 D
解析 方法一：令f(x)＝0得x＝lnx.作出函數(shù)y＝x和y＝lnx的圖像，如圖，顯然y＝f(x)在(，1)內(nèi)無零點，在(1，e)內(nèi)有零點，故選D.
方法二：當(dāng)x∈(，e)時，函數(shù)圖像是連續(xù)的，且f′(x)＝－＝<0，所以函數(shù)f(x)在(，e)上單調(diào)遞減．又f()＝＋1>0，f(1)＝>0，f(e)＝e－1<0，所以函數(shù)有唯一的零點在區(qū)間(1，e)內(nèi)．故選D.
6．(2014北京)已知函數(shù)f(x)＝－log2x.在下列區(qū)間中，包含f(x)零點的區(qū)間是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，4) D．(4，＋∞)
答案 C
解析 因為f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間為(2，4)，故選C.
7．函數(shù)f(x)＝的零點個數(shù)為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 D
解析 依題意，在考慮x>0時可以畫出y＝lnx與y＝x2－2x的圖像，可知兩個函數(shù)的圖像有兩個交點，當(dāng)x≤0時，函數(shù)f(x)＝2x＋1與x軸只有一個交點，所以函數(shù)f(x)有3個零點．故選D.
8．如果函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)有一個零點是2，那么函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點是________．
答案 0，－
解析 由已知條件2a＋b＝0，即b＝－2a.
g(x)＝－2ax2－ax＝－2ax(x＋)，
則g(x)的零點是x＝0，x＝－.
9．(2018東營模擬)已知[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0是函數(shù)f(x)＝lnx－的零點，則[x0]等于________．
答案 2
10．(2016山東)已知函數(shù)f(x)＝其中m>0.若存在實數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)＝b有三個不同的根，則m的取值范圍是________．
答案 (3，＋∞)
解析 f(x)＝當(dāng)x>m時，f(x)＝x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，其頂點為(m，4m－m2)；當(dāng)x≤m時，函數(shù)f(x)的圖像與直線x＝m的交點為Q(m，m)．①當(dāng)即03時，函數(shù)f(x)的圖像如圖2所示，則存在實數(shù)b滿足4m－m2
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第2章
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