2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第1課時(shí) 坐標(biāo)系練習(xí) 理.doc

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第1課時(shí) 坐標(biāo)系 1．在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，曲線C變?yōu)榍€x′2＋y′2＝1，則曲線C的方程為(　　) A．25x2＋9y2＝1　　　 B．9x2＋25y2＝1 C．25x＋9y＝1 D.＋＝1 答案　A 2．化極坐標(biāo)方程ρ2cosθ－ρ＝0為直角坐標(biāo)方程為(　　) A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1 C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1 答案　C 3．在極坐標(biāo)系中，極坐標(biāo)為(2，)的點(diǎn)到極點(diǎn)和極軸的距離分別為(　　) A．1，1 B．1，2 C．2，1 D．2，2 答案　C 解析　點(diǎn)(ρ，θ)到極點(diǎn)和極軸的距離分別為ρ，ρ|sinθ|，所以點(diǎn)(2，)到極點(diǎn)和極軸的距離分別為2，2sin＝1. 4．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)(2，－)到圓ρ＝－2cosθ的圓心的距離為(　　) A．2 B. C. D. 答案　D 解析　在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(2，－)的直角坐標(biāo)為(1，－)，圓ρ＝－2cosθ的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝－2x，即(x＋1)2＋y2＝1，圓心為(－1，0)，所以所求距離為＝.故選D. 5．(2017皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)在極坐標(biāo)系中，直線ρ(cosθ－sinθ)＝2與圓ρ＝4sinθ的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為(　　) A．(2，) B．(2，) C．(4，) D．(4，) 答案　A 解析　ρ(cosθ－sinθ)＝2可化為直角坐標(biāo)方程x－y＝2，即y＝x－2. ρ＝4sinθ可化為x2＋y2＝4y，把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，得4x2－8x＋12＝0，即x2－2x＋3＝0，所以x＝，y＝1. 所以直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(，1)，化為極坐標(biāo)為(2，)，故選A. 6．在極坐標(biāo)系中，與圓ρ＝4sinθ相切的一條直線的方程是(　　) A．ρsinθ＝2 B．ρcosθ＝2 C．ρcosθ＝4 D．ρcosθ＝－4 答案　B 解析　方法一：圓的極坐標(biāo)方程ρ＝4sinθ即ρ2＝4ρsinθ，所以直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4y＝0. 選項(xiàng)A，直線ρsinθ＝2的直角坐標(biāo)方程為y＝2，代入圓的方程，得x2＝4，∴x＝2，不符合題意；選項(xiàng)B，直線ρcosθ＝2的直角坐標(biāo)方程為x＝2，代入圓的方程，得(y－2)2＝0，∴y＝2，符合題意．同理，以后選項(xiàng)都不符合題意． 方法二：如圖，⊙C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ， CO⊥Ox，OA為直徑，|OA|＝4，直線l和圓相切， l交極軸于點(diǎn)B(2，0)，點(diǎn)P(ρ，θ)為l上任意一點(diǎn)， 則有cosθ＝＝，得ρcosθ＝2. 7．在極坐標(biāo)系中，曲線ρ2－6ρcosθ－2ρsinθ＋6＝0與極軸交于A，B兩點(diǎn)，則A，B兩點(diǎn)間的距離等于(　　) A. B．2 C．2 D．4 答案　B 解析　化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程得x2＋y2－6x－2y＋6＝0，易知此曲線是圓心為(3，1)，半徑為2的圓，如圖所示．可計(jì)算|AB|＝2. 8．在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝2cosθ的圓心的極坐標(biāo)是________，它與方程θ＝(ρ>0)所表示的圖形的交點(diǎn)的極坐標(biāo)是________． 答案　(1，0)，(，) 解析　ρ＝2cosθ表示以點(diǎn)(1，0)為圓心，1為半徑的圓，故圓心的極坐標(biāo)為(1，0)． 當(dāng)θ＝時(shí)，ρ＝，故交點(diǎn)的極坐標(biāo)為(，)． 9．(2018廣州綜合測(cè)試一)在極坐標(biāo)系中，直線ρ(sinθ－cosθ)＝a與曲線ρ＝2cosθ－4sinθ相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______． 答案　－5或－1 解析　將直線ρ(sinθ－cosθ)＝a化為普通方程，得y－x＝a，即x－y＋a＝0，將曲線ρ＝2cosθ－4sinθ的方程化為普通方程，得x2＋y2＝2x－4y，即(x－1)2＋(y＋2)2＝5，圓心坐標(biāo)為(1，－2)，半徑長(zhǎng)為r＝.設(shè)圓心到直線AB的距離為d，由勾股定理可得d＝＝＝，而d＝＝＝，所以|a＋3|＝2，解得a＝－5或a＝－1. 10．(2017天津，理)在極坐標(biāo)系中，直線4ρcos(θ－)＋1＝0與圓ρ＝2sinθ的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 答案　2 解析　依題意，得4ρ(cosθ＋sinθ)＋1＝0，即2ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝0，所以直線的直角坐標(biāo)方程為2x＋2y＋1＝0.由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，所以圓的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1，其圓心(0，1)到直線2x＋2y＋1＝0的距離d＝<1，則直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2. 11．在極坐標(biāo)系中，曲線ρ2－10ρcosθ－2ρsinθ＋10＝0與極軸交于M、N兩點(diǎn)，則|MN|＝________． 答案　2 解析　∵M(jìn)、N兩點(diǎn)在極軸上， ∴其極角θ＝0，代入方程中得ρ2－10ρ＋10＝0， ∴(ρ－5)2＝15，ρ＝5， 令M、N對(duì)應(yīng)極徑為ρM和ρN，則|MN|＝|ρM－ρN|＝2. 12．(2018河北冀州中學(xué)月考)直線2ρcosθ＝1與圓ρ＝2cosθ相交的弦長(zhǎng)為_(kāi)_______． 答案　 解析　直線的方程為2x＝1，圓的方程為x2＋y2－2x＝0，圓心為(1，0)，半徑r＝1，圓心到直線的距離為d＝＝.設(shè)所求的弦長(zhǎng)為l，則12＝()2＋()2，解得l＝. 13．在極坐標(biāo)系中，設(shè)曲線C1：ρ＝2sinθ與C2：ρ＝2cosθ的交點(diǎn)分別為A，B，則線段AB的垂直平分線的極坐標(biāo)方程為_(kāi)_______． 答案　ρsinθ＋ρcosθ＝1(或ρsin(θ＋)＝) 解析　曲線C1：ρ＝2sinθ的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C2：ρ＝2cosθ的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0，所以AB的方程為－x＋y＝0.又易知AB的垂直平分線斜率為－1，經(jīng)過(guò)圓C1的圓心(0，1)，所以AB的垂直平分線的方程為x＋y－1＝0，化為極坐標(biāo)方程為ρsinθ＋ρcosθ＝1，或化成ρsin(θ＋)＝. 14．在極坐標(biāo)系中，直線ρsin(θ＋)＝2被圓ρ＝4截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_______． 答案　4 解析　直線ρsin(θ＋)＝2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－2＝0，圓ρ＝4的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝16.圓心的坐標(biāo)是(0，0)，半徑是4，圓心到直線的距離d＝＝2，所以直線ρsin(θ＋)＝2被圓ρ＝4截得的弦長(zhǎng)是2＝4. 15．(2018廣東肇慶一模)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2(ρ>0，0≤θ<2π)，曲線C在點(diǎn)(2，)處的切線為l，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，則l的直角坐標(biāo)方程為_(kāi)_______． 答案　x＋y－2＝0 解析　根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式可以得到曲線ρ＝2?x2＋y2＝4，點(diǎn)(2，)?(，)．因?yàn)辄c(diǎn)(，)在圓x2＋y2＝4上，故圓在點(diǎn)(，)處的切線方程為x＋y＝4?x＋y－2＝0，故填x＋y－2＝0. 16．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓C的圓心的極坐標(biāo)為(，)，半徑r＝，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2，π)，過(guò)P作直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)． (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)求|PA||PB|的值． 答案　(1)(x－1)2＋(y－1)2＝2　(2)8 解析　(1)圓C的圓心的極坐標(biāo)C(，)， ∴x＝cos＝1，y＝sin＝1， ∴圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2. (2)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2，π)，化為直角坐標(biāo)為P(－2，0)． 當(dāng)直線l與圓C相切于點(diǎn)D時(shí)，則 |PD|2＝|PC|2－r2＝(－2－1)2＋(0－1)2－()2＝8. ∴|PA||PB|＝|PD|2＝8. 17．(2018河北唐山模擬)在極坐標(biāo)系Ox中，直線C1的極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝2，M是C1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在射線OM上，且滿足|OP||OM|＝4，記點(diǎn)P的軌跡為C2. (1)求曲線C2的極坐標(biāo)方程； (2)求曲線C2上的點(diǎn)到直線C3：ρcos(θ＋)＝距離的最大值． 答案　(1)ρ＝2sinθ(ρ≠0)　(2)1＋ 解析　(1)設(shè)P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，依題意有 ρ1sinθ＝2，ρρ1＝4. 消去ρ1，得曲線C2的極坐標(biāo)方程為 ρ＝2sinθ(ρ≠0)． (2)將C2，C3的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得C2：x2＋(y－1)2＝1，C3：x－y＝2. C2是以點(diǎn)(0，1)為圓心，以1為半徑的圓，圓心到直線C3的距離d＝，故曲線C2上的點(diǎn)到直線C3距離的最大值為1＋. 18．(2017廣東珠海質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程是ρcos(θ－)＝2，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4sinθ. (1)求l與C交點(diǎn)的極坐標(biāo)； (2)設(shè)P為C的圓心，Q為l與C交點(diǎn)連線的中點(diǎn)，已知直線PQ的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，求a，b的值． 答案　(1)(4，)或(2，)　(2)a＝－1　b＝2 解析　(1)將ρ＝4sinθ代入ρcos(θ－)＝2，得sinθcosθ＝cos2θ，所以cosθ＝0或tanθ＝1，取θ＝或θ＝.再由ρ＝4sinθ得ρ＝4或ρ＝2.所以l與C交點(diǎn)的極坐標(biāo)是(4，)或(2，)． (2)∵圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4sinθ， ∴圓C的直角坐標(biāo)方程是x2＋(y－2)2＝4.即P點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)． 由(1)知l與C交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0，4)，(2，2)． 即Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1，3)．將PQ的參數(shù)方程化為普通方程得y＝(x－a)＋1.將P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得解得a＝－1，b＝2. 1．(2015北京)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)(2，)到直線ρ(cosθ＋sinθ)＝6的距離為_(kāi)_______． 答案　1 解析　點(diǎn)(2，)的直角坐標(biāo)為(1，)，直線ρ(cosθ＋sinθ)＝6的直角坐標(biāo)方程為x＋y－6＝0，所以點(diǎn)(1，)到直線的距離d＝＝1. 2．(2016北京)在極坐標(biāo)系中，直線ρcosθ－ρsinθ－1＝0與圓ρ＝2cosθ交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________． 答案　2 解析　將直線ρcosθ－ρsinθ－1＝0化為直角坐標(biāo)方程為x－y－1＝0，將圓ρ＝2cosθ化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2x，則圓心坐標(biāo)(1，0)，半徑為1，由于圓心(1，0)在直線x－y－1＝0上，因此|AB|＝2. 3．(2014陜西)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)(2，)到直線ρsin(θ－)＝1的距離是________． 答案　1 解析　ρsin(θ－)＝ρ(sinθcos－sincosθ)＝1， 因?yàn)樵跇O坐標(biāo)系中，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)， 所以直線可化為x－y＋2＝0. 同理點(diǎn)(2，)可化為(，1)， 所以點(diǎn)到直線距離d＝＝1. 4．在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ＝2cosθ與直線4ρcosθ＋3ρsinθ＋a＝0相切，則a＝________． 答案　1或－9 解析　圓ρ＝2cosθ即ρ2＝2ρcosθ，即(x－1)2＋y2＝1，直線4ρcosθ＋3ρsinθ＋a＝0，即4x＋3y＋a＝0， 已知圓ρ＝2cosθ與直線4ρcosθ＋3ρsinθ＋a＝0相切， ∴圓心到直線的距離等于半徑． 即＝1，解得a＝1或－9. 5．(2015安徽)在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝8sinθ上的點(diǎn)到直線θ＝(ρ∈R)距離的最大值是________． 答案　6 解析　由ρ＝8sinθ?ρ2＝8ρsinθ?x2＋y2－8y＝0，x2＋(y－4)2＝16，圓心坐標(biāo)為(0，4)，半徑r＝4.由θ＝?y＝x，則圓心到直線的距離d＝2.∴圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為2＋4＝6. 6．在極坐標(biāo)系中，曲線C1：ρ＝2與曲線C2：ρ＝4sinθ(<θ<π)交點(diǎn)的極坐標(biāo)是________． 答案　(2，) 解析　由題意分析可得，曲線C1是圓心為(0，0)，半徑為2的圓，曲線C1的方程為x2＋y2＝4.對(duì)ρ＝4sinθ變形得ρ2＝4ρsinθ，所以曲線C2的方程為x2＋y2＝4y.聯(lián)立兩個(gè)方程，解得或又∵<θ<π，∴交點(diǎn)為(－，1)，轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)ρ＝2，tanθ＝，由題意θ＝，所以交點(diǎn)的極坐標(biāo)為(2，)． 7．(2017唐山模擬)已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：x＋y＝2.以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系． (1)將圓C和直線l的方程化為極坐標(biāo)方程； (2)P是l上的點(diǎn)，射線OP交圓C于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ||OP|＝|OR|2，當(dāng)點(diǎn)P在l上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q軌跡的極坐標(biāo)方程． 答案　(1)C：ρ＝2　l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2　(2)ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0) 解析　(1)將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入圓C和直線l的直角坐標(biāo)方程得其極坐標(biāo)方程為 C：ρ＝2，l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2. (2)設(shè)P，Q，R的極坐標(biāo)分別為(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)， 則由|OQ||OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρ22. 又ρ2＝2，ρ1＝， 所以＝4， 故點(diǎn)Q軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0)． 8．(2014遼寧)將圓x2＋y2＝1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得曲線C. (1)寫出C的參數(shù)方程； (2)設(shè)直線l：2x＋y－2＝0與C的交點(diǎn)為P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程． 答案　(1)(t為參數(shù)) (2)ρ＝ 解析　(1)設(shè)(x1，y1)為圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)镃上點(diǎn)(x，y)，依題意，得 由x12＋y12＝1得x2＋()2＝1，即曲線C的方程為x2＋＝1. 故C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)) (2)由解得或 不妨設(shè)P1(1，0)，P2(0，2)，則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，1)，所求直線斜率為k＝，于是所求直線方程為y－1＝(x－)，化為極坐標(biāo)方程，并整理得 2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝.