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2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法 1.5.1 不等式證明的基本方法導(dǎo)學(xué)案新人教B版選修4-5.docx

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1.5.1　比較法在理解比較法的基礎(chǔ)上，會(huì)用作差、作商兩種形式的比較法比較兩個(gè)代數(shù)式的大小，會(huì)用比較法證明較簡(jiǎn)單的不等式. 自學(xué)導(dǎo)引 1.因?yàn)閍>b?a－b>0，要證a>b，只需要證a－b>0，同樣要證ab，只需證>1；如果a、b都是負(fù)數(shù)，要證a>b，只需證<1. 基礎(chǔ)自測(cè) 1.下列關(guān)系中對(duì)任意a1 D.>b2 解析　ab2>0，∴l(xiāng)g a2>lg b2，故選B. 答案　B 2.已知a>0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，則P、Q的大小關(guān)系是(　　) A.P>Q B.P1時(shí)，a3＋1>a2＋1，∴l(xiāng)oga(a3＋1)>loga(a2＋1)，當(dāng)0loga(a2＋1)，綜合以上兩種情況知P>Q，故選A. 答案　A 3.設(shè)P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，且ab≠1，a≠－2.則P、Q的大小關(guān)系是________. 解析　P－Q＝a2b2＋5－2ab＋a2－4a ＝(ab－1)2＋(a－2)2>0，∴P>Q. 答案　P>Q 知識(shí)點(diǎn)1　兩代數(shù)式大小的比較【例1】已知x0，x－y<0， ∴－2xy(x－y)>0， ∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y). ●反思感悟：實(shí)數(shù)大小的比較常用a>b?a－b>0或“>1，且b>0?a>b”來(lái)解決，比較法的關(guān)鍵是第二步的變形，一般來(lái)說(shuō)，變形越徹底，越有利于下一步的符號(hào)判斷. 1.設(shè)a>0，b>0且a≠b，試比較aabb與abba的大小. 解　＝aa－bbb－a＝. 當(dāng)a>b>0時(shí)，>1，a－b>0，則>1，于是aabb>abba.當(dāng)b>a>0時(shí)，0<<1，a－b<0，則>1，于是aabb>abba. 綜上所述，對(duì)于不相等的正數(shù)a、b，都有aabb>abba. 知識(shí)點(diǎn)2　作差比較法證明不等式【例2】設(shè)a>0，b>0，求證＋≥a＋b. 證明　方法一：左邊－右邊＝－(＋) ＝＝＝≥0. ∴原不等式成立. 方法二：左邊>0，右邊>0. ＝＝≥＝1， ∴原不等式成立. ●反思感悟：用比較法證不等式，一般要經(jīng)歷作差(或作商)、變形、判斷三個(gè)步驟，變形的主要手段是通分、因式分解或配方，在變形過(guò)程中，也可利用基本不等式放縮. 2.設(shè)a≥b>0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 證明　3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b). 因?yàn)閍≥b>0，所以a－b≥0，3a2－2b2>0，從而(3a2－2b2)(a－b)≥0. 即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 知識(shí)點(diǎn)3　作商比較法證明不等式【例3】已知a>b>c>0，求證：aabbcc>(abc)(a＋b＋c). 證明　∵＝abc＝a＋ b＋c＋＝. ∵a>b>0，∴a－b>0，>1，∴>1. 同理可證>1，>1， ∴aabbcc>(abc)(a＋b＋c). ●反思感悟：作商后通常利用不等式的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)判斷商式與1的大小. 3.設(shè)m＝，n＝，那么它們的大小關(guān)系是m________n. 解析?。剑? ＝＝1，∴m＝n. 答案?。? 課堂小結(jié) 1.比較法有兩種形式，一是作差；二是作商.用作差證明不等式是最基本、最常用的方法.它的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì). 2.步驟是：作差(商)―→變形―→判斷.變形的目的是為了判斷.若是作差，就判斷與0的大小關(guān)系，為了便于判斷，往往把差式變?yōu)榉e或完全平方式.若是作商，兩邊為正，就判斷與1的大小關(guān)系. 3.有時(shí)要先對(duì)不等式作等價(jià)變形再進(jìn)行證明，有時(shí)幾種證明方法綜合使用. 隨堂演練 1.a、b都是正數(shù)，P＝，Q＝，則P，Q的大小關(guān)系是(　　) A.P>Q B.Pa，下面比較b，c.b－c＝1＋x－＝＝－<0， ∴C最大，故應(yīng)選C. 答案　C 3.下列命題： ①當(dāng)b>0時(shí)，a>b?>1； ②當(dāng)b>0時(shí)，a0，b>0時(shí)， >1?a>b； ④當(dāng)ab>0時(shí)，>1?a>b，其中真命題有(　　) A.①②③ B.①②④ C.④ D.①②③④ 解析?、佗冖壅_，④中若a<0時(shí)不成立，故選A. 答案　A 4.若－1，又∵a2，b2都為正數(shù)， ∴最小的為. 答案　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1.若a，b為不等的正數(shù)，則(abk＋akb)－(ak＋1＋bk＋1) (k∈N*)的符號(hào)(　　) A.恒正 B.恒負(fù) C.與k的奇偶性有關(guān) D.與a，b大小無(wú)關(guān) 解析　(abk＋akb)－ak＋1－bk＋1 ＝bk(a－b)＋ak(b－a)＝(a－b)(bk－ak) ∵a>0，b>0，若a>b，則ak>bk，∴(a－b)(bk－ak)<0；若aQ D.P0，Q>0，∴P≤Q. 答案　B 3.對(duì)x1>x2>0，0y1y2 B.x1x2＝y(tǒng)1y2 C.x1x25，則－與－的大小關(guān)系是__________________. 解析　因?yàn)閍>5，只需比較＋與2的大小，兩數(shù)平方，即比較與a－4的大小，再平方，只需比較a2－8a＋15與a2－8a＋16的大小. 答案　－<－ 6.設(shè)a、b∈(0，＋∞)，且a≠b，比較＋與a＋b的大小. 解?。?a＋b)＝(a3－b3) ＝(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2)， ∵a、b∈(0，＋∞)，且a≠b， ∴a＋b，(a－b)2，(a2＋ab＋b2)，均為正數(shù)， ∴＋－(a＋b)>0，∴＋>a＋b. 綜合提高 7.設(shè)a＝sin 15＋cos 15，b＝sin 16＋cos 16，則下列各式正確的是(　　) A.a<ab＝sin 60sin 61 ＝sin 61>sin 61＝b，故aad，則，，，中最大的是(　　) A. B. C. D. 解析?。?0，∴<，－＝＝>0，－＝＝>0，所以最大的是. 答案　D 9.設(shè)x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，則實(shí)數(shù)a、b應(yīng)滿足的條件是________. 解析　若x＞y，則x－y＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0.只要a＋2≠0，ab－1≠0兩個(gè)中滿足一個(gè)，即可使得x＞y. 答案　a≠－2或ab≠1 10.設(shè)a＞0，b＞0，則下列兩式大小關(guān)系為lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]. 解析　(1＋a)(1＋b)－(1＋2)＝a＋b－2＝(－)2≥0，∴l(xiāng)g(1＋a)(1＋b)≥lg(1＋)2，即[lg(a＋1)＋lg(1＋b)]≥lg(1＋). 答案　≤ 11.設(shè)m∈R，a>b>1，f(x)＝，比較f(a)與f(b)的大小. 解　f(a)－f(b)＝－＝. ∵a>b>1，∴b－a<0，a－1>0，b－1>0， ∴<0. 當(dāng)m>0時(shí)，<0，f(a)0，f(a)>f(b)；當(dāng)m＝0時(shí)，＝0，f(a)＝f(b). 12.已知a，b∈R＋，n∈N，求證：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1). 證明　∵(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1) ＝an＋1＋abn＋ban＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1 ＝a(bn－an)＋b(an－bn) ＝(a－b)(bn－an). (1)若a>b>0，bn－an<0，a－b>0， ∴(a－b)(bn－an)<0. (2)若b>a>0，bn－an>0，a－b<0， ∴(a－b)(bn－an)<0. (3)若a＝b>0，(bn－an)(a－b)＝0，綜上(1)(2)(3)可知，對(duì)a，b∈R＋，n∈N，都有(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1).

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