（魯京津瓊專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題9 平面解析幾何 第71練 高考大題突破練—直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習(xí)（含解析）.docx

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第71練 高考大題突破練—直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 [基礎(chǔ)保分練] 1．已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為，右焦點(diǎn)為F(1,0)． (1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作直線l與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，若OM⊥ON，求直線l的方程． 2．已知圓O：x2＋y2＝1過(guò)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的短軸端點(diǎn)，P，Q分別是圓O與橢圓C上任意兩點(diǎn)，且線段PQ長(zhǎng)度的最大值為3. (1)求橢圓C的方程； (2)過(guò)點(diǎn)(0，t)作圓O的一條切線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，求△OMN的面積的最大值． 3．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的上頂點(diǎn)為B，左焦點(diǎn)為F，離心率為. (1)求直線BF的斜率； (2)設(shè)直線BF與橢圓交于點(diǎn)P(P異于點(diǎn)B)，過(guò)點(diǎn)B且垂直于BP的直線與橢圓交于點(diǎn)Q(Q異于點(diǎn)B)，直線PQ與y軸交于點(diǎn)M，|PM|＝λ|MQ|.求λ的值． [能力提升練] 4．(2018云南11校跨區(qū)聯(lián)考)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為，點(diǎn)A，B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)C在E上，且△ABC面積的最大值為2. (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)F為E的左焦點(diǎn)，點(diǎn)D在直線x＝－4上，過(guò)F作DF的垂線交橢圓E于M，N兩點(diǎn)．證明：直線OD平分線段MN. 答案精析 1．解　(1)依題意可得 解得a＝，b＝1， 所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)． ①當(dāng)MN垂直于x軸時(shí)，直線l的方程為x＝1，不符合題意； ②當(dāng)MN不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)． 聯(lián)立得方程組 消去y整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2 ＝. 所以y1y2＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝－. 因?yàn)镺M⊥ON，所以＝0， 所以x1x2＋y1y2＝＝0， 所以k＝， 即直線l的方程為y＝(x－1)． 2．解　(1)∵圓O過(guò)橢圓C的短軸端點(diǎn)， ∴b＝1. 又∵線段PQ長(zhǎng)度的最大值為3， ∴a＋1＝3，即a＝2， ∴橢圓C的方程為＋x2＝1. (2)由題意可設(shè)切線MN的方程為y＝kx＋t，即kx－y＋t＝0，則＝1， 得k2＝t2－1.① 聯(lián)立得方程組 消去y整理得 (k2＋4)x2＋2ktx＋t2－4＝0. 其中Δ＝(2kt)2－4(k2＋4)(t2－4) ＝－16t2＋16k2＋64＝48>0， 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝， 則|MN|＝.② 將①代入②得|MN|＝， ∴S△OMN＝1|MN|＝， 而＝≤1， 當(dāng)且僅當(dāng)|t|＝時(shí)等號(hào)成立， 即t＝. 綜上可知，(S△OMN)max＝1. 3．解　(1)設(shè)F(－c,0)．由已知離心率＝及a2＝b2＋c2，可得a＝c，b＝2c， 又因?yàn)锽(0，b)，F(xiàn)(－c,0)， 故直線BF的斜率k＝＝＝2. (2)設(shè)點(diǎn)P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)． 由(1)可得橢圓的方程為＋＝1，直線BF的方程為y＝2x＋2c.將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，整理得3x2＋5cx＝0，解得xP＝－. 因?yàn)锽Q⊥BP，所以直線BQ的方程為 y＝－x＋2c， 與橢圓方程聯(lián)立，消去y， 整理得21x2－40cx＝0，解得xQ＝. 又因?yàn)棣耍郊皒M＝0， 可得λ＝＝＝. 4．(1)解　由題意得 解得 故橢圓E的方程為＋＝1. (2)證明　設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， D(－4，n)， 線段MN的中點(diǎn)P(x0，y0)， 則2x0＝x1＋x2,2y0＝y(tǒng)1＋y2， 由(1)可得F(－1,0)， 則直線DF的斜率為kDF＝＝－， 當(dāng)n＝0時(shí)，直線MN的斜率不存在， 根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知OD平分線段MN. 當(dāng)n≠0時(shí)，直線MN的斜率kMN＝＝. ∵點(diǎn)M，N在橢圓E上， ∴ 整理得，＋ ＝0， 又2x0＝x1＋x2,2y0＝y(tǒng)1＋y2， ∴＝－， 直線OP的斜率為kOP＝－， ∵直線OD的斜率為kOD＝－，∴直線OD平分線段MN.