（新課改省份專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第一節(jié) 直線與方程講義（含解析）.doc

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第一節(jié)　直線與方程 突破點(diǎn)一　直線的傾斜角與斜率、兩直線的位置關(guān)系 1．直線的傾斜角 (1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0. (2)范圍：直線l傾斜角的范圍是[0，π)． 2．直線的斜率公式 (1)定義式：若直線l的傾斜角α≠，則斜率k＝tan_α. (2)兩點(diǎn)式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率k＝. 3．兩條直線平行與垂直的判定 兩條直線平行 對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2. 當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2 兩條直線垂直 如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1k2＝－1. 當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1⊥l2 一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“”) (1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置．(　　) (2)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率．(　　) (3)直線的傾斜角越大，其斜率就越大．(　　) (4)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2.(　　) (5)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(　　) 答案：(1)√　(2)　(3)　(4)　(5) 二、填空題 1．過(guò)點(diǎn)M(－1，m)，N(m＋1,4)的直線的斜率等于1，則m的值為_(kāi)_______． 答案：1 2．若直線l1：(a－1)x＋y－1＝0和直線l2：3x＋ay＋2＝0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______． 答案： 3．(2019湖南百所中學(xué)檢測(cè))若直線l1：ax＋y－1＝0與l2：3x＋(a＋2)y＋1＝0平行，則a的值為_(kāi)_______． 答案：1 4．直線x＋(a2＋1)y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是________． 答案： 考法一　直線的傾斜角與斜率　 1．直線都有傾斜角，但不一定都有斜率，二者的關(guān)系具體如下： 斜率k k＝tan α＞0 k＝0 k＝tan α＜0 不存在 傾斜角α 銳角 0 鈍角 90 2．在分析直線的傾斜角和斜率的關(guān)系時(shí)，要根據(jù)正切函數(shù)k＝tan α的單調(diào)性，如圖所示： (1)當(dāng)α取值在內(nèi)，由0增大到時(shí)，k由0增大并趨向于正無(wú)窮大； (2)當(dāng)α取值在內(nèi)，由增大到π(α≠π)時(shí)，k由負(fù)無(wú)窮大增大并趨近于0. 解決此類問(wèn)題，常采用數(shù)形結(jié)合思想． [例1]　(1)(2019江西五校聯(lián)考)已知直線l與兩條直線y＝1，x－y－7＝0分別交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，那么直線l的斜率是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C．－ D．－ (2)(2019張家口模擬)直線l經(jīng)過(guò)A(2,1)，B(1，－m2)(m∈R)兩點(diǎn)，則直線l的傾斜角α的取值范圍是(　　) A. B. C. D. [解析]　(1)設(shè)P(a,1)，Q(b，b－7)， 則解得所以P(－2,1)，Q(4，－3)， 所以直線l的斜率k＝＝－，故選C. (2)直線l的斜率k＝tan α＝＝m2＋1≥1，所以≤α＜. [答案]　(1)C　(2)C [方法技巧] 求直線傾斜角范圍的注意事項(xiàng) 直線傾斜角的范圍是[0，π)，而這個(gè)區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí)，要分與兩種情況討論．由正切函數(shù)圖象可以看出，當(dāng)α∈時(shí)，斜率k∈[0，＋∞)；當(dāng)α＝時(shí)，斜率不存在；當(dāng)α∈時(shí)，斜率k∈(－∞，0)．　　 考法二　兩直線的位置關(guān)系　 兩直線位置關(guān)系的判斷方法 (1)已知兩直線的斜率存在 ①兩直線平行?兩直線的斜率相等且坐標(biāo)軸上的截距不相等； ②兩直線垂直?兩直線的斜率之積為－1. (2)已知兩直線的斜率不存在 若兩直線的斜率不存在，當(dāng)兩直線在x軸上的截距不相等時(shí)，兩直線平行；否則兩直線重合． [例2]　(1)(2019武邑中學(xué)月考)已知過(guò)兩點(diǎn)A(－3，m)，B(m,5)的直線與直線3x＋y－1＝0平行，則m的值為(　　) A．3 B．7 C．－7 D．－9 (2)(2019安徽六安四校聯(lián)考)設(shè)m∈R，則“m＝0”是“直線l1：(m＋1)x＋(1－m)y－1＝0與直線l2：(m－1)x＋(2m＋1)y＋4＝0垂直”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [解析]　(1)由題可知，＝－3，解得m＝－7，故選C. (2)由直線l1與l2垂直可得(m＋1)(m－1)＋(1－m)(2m＋1)＝0，解得m＝0或m＝1.所以“m＝0”是“直線l1：(m＋1)x＋(1－m)y－1＝0與直線l2：(m－1)x＋(2m＋1)y＋4＝0垂直”的充分不必要條件．故選A. [答案]　(1)C　(2)A [方法技巧] 由一般式方程確定兩直線位置關(guān)系的方法 直線方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1與l2垂直的充要條件 A1A2＋B1B2＝0 l1與l2平行的充分條件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1與l2相交的充分條件 ≠(A2B2≠0) l1與l2重合的充分條件 ＝＝(A2B2C2≠0) [提醒]　當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件． 1.已知直線過(guò)A(2,4)，B(1，m)兩點(diǎn)，且傾斜角為45，則m＝(　　) A．3 B．－3 C．5 D．－1 解析：選A　∵直線過(guò)A(2,4)，B(1，m)兩點(diǎn)，∴直線的斜率為＝4－m.又∵直線的傾斜角為45，∴直線的斜率為1，即4－m＝1，∴m＝3.故選A. 2.已知傾斜角為θ的直線l與直線x＋2y－3＝0垂直，則cos 2θ的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選B　由題意得－tan θ＝－1，∴tan θ＝2，cos 2θ＝＝＝－，故選B. 3.若直線l1：ax－(a＋1)y＋1＝0與直線l2：2x－ay－1＝0垂直，則實(shí)數(shù)a＝(　　) A．3 B．0 C．－3 D．0或－3 解析：選D　∵直線l1與直線l2垂直，∴2a＋a(a＋1)＝0，整理得a2＋3a＝0， 解得a＝0或a＝－3.故選D. 4.設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　) A．充分必要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C　當(dāng)a＝1時(shí)，直線l1：x＋2y－1＝0與直線l2：x＋2y＋4＝0的斜率都是－，截距不相等，∴兩條直線平行，故前者是后者的充分條件；當(dāng)兩條直線平行時(shí)，得＝≠，解得a＝－2或a＝1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要條件．故選C. 突破點(diǎn)二　直線的方程 直線方程的五種形式 形式 幾何條件 方程 適用范圍 點(diǎn)斜式 過(guò)一點(diǎn)(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 與x軸不垂直的直線 斜截式 縱截距b，斜率k y＝kx＋b 與x軸不垂直的直線 兩點(diǎn)式 過(guò)兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 與x軸、y軸均不垂直的直線 截距式 橫截距a，縱截距b ＋＝1 不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有直線 一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“”) (1)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0，b)的直線都可以用方程y＝kx＋b表示．(　　) (2)經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　) (3)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用＋＝1表示．(　　) 答案：(1)　(2)√　(3) 二、填空題 1．過(guò)點(diǎn)M(3，－4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為_(kāi)_____________． 答案：4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0 2．(2019開(kāi)封模擬)過(guò)點(diǎn)A(－1，－3)，斜率是直線y＝3x斜率的－的直線方程為_(kāi)___________． 答案：3x＋4y＋15＝0 3．已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，則BC邊上中線所在的直線方程為_(kāi)___________． 解析：由已知，得BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且直線BC邊上的中線過(guò)點(diǎn)A，則BC邊上中線的斜率k＝－，故BC邊上的中線所在直線方程為y＋＝－，即x＋13y＋5＝0. 答案：x＋13y＋5＝0 考法一　求直線方程　 [例1]　(2019湖北十堰模擬)已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為A(－4,7)，C(6，－5)，BC邊所在直線過(guò)點(diǎn)P(8，－1)．求： (1)AD邊所在直線的方程； (2)對(duì)角線BD所在直線的方程． [解]　(1)kBC＝＝2， ∵AD∥BC，∴kAD＝2. ∴AD邊所在直線的方程為y－7＝2(x＋4)， 即2x－y＋15＝0. (2)kAC＝＝－. ∵菱形的對(duì)角線互相垂直， ∴BD⊥AC，∴kBD＝. ∵AC的中點(diǎn)(1,1)，也是BD的中點(diǎn)， ∴對(duì)角線BD所在直線的方程為y－1＝(x－1)，即5x－6y＋1＝0. [方法技巧] 求直線方程的注意事項(xiàng) (1)在求直線方程時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问剑⒆⒁飧鞣N形式的適用條件． (2)對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時(shí)要注意分類討論思想的運(yùn)用(若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應(yīng)先判斷截距是否為零)．　　 考法二　與直線方程有關(guān)的最值問(wèn)題　 [例2]　(1)已知直線x＋a2y－a＝0(a是正常數(shù))，當(dāng)此直線在x軸，y軸上的截距和最小時(shí)，正數(shù)a的值是(　　) A．0　　　　　　　　　　 　B．2 C. D．1 (2)若直線x－2y＋b＝0與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積不大于1，那么b的取值范圍是(　　) A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞) [解析]　(1)直線x＋a2y－a＝0(a是正常數(shù))在x軸，y軸上的截距分別為a和，此直線在x軸，y軸上的截距和為a＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)，等號(hào)成立．故當(dāng)直線x＋a2y－a＝0在x軸，y軸上的截距和最小時(shí)，正數(shù)a的值是1，故選D. (2)令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面積為|－b|＝b2，且b≠0，因?yàn)閎2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范圍是[－2,0)∪(0,2]． [答案]　(1)D　(2)C [方法技巧] 與直線方程有關(guān)的最值問(wèn)題的解題思路 (1)借助直線方程，用y表示x或用x表示y； (2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的函數(shù)； (3)利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求最值．　　 1.已知直線l過(guò)點(diǎn)P(1,3)，且與x軸，y軸的正半軸所圍成的三角形的面積等于6，則直線l的方程是(　　) A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0 C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0 解析：選A　設(shè)直線l的方程為＋＝1(a＞0，b＞0)． 由題意得解得a＝2，b＝6. 故直線l的方程為＋＝1， 即3x＋y－6＝0.故選A. 2.過(guò)點(diǎn)M(－3,5)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為_(kāi)________． 解析：當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線方程為y＝－x； 當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為＋＝1(a≠0)， 即x－y＝a(a≠0)，把(－3,5)代入，得a＝－8， 所以直線方程為x－y＋8＝0. 故所求直線方程為y＝－x或x－y＋8＝0. 答案：y＝－x或x－y＋8＝0 3.已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，實(shí)數(shù)a＝________. 解析：直線l1可寫(xiě)成a(x－2)＝2(y－2)，直線l2可寫(xiě)成2(x－2)＝a2(2－y)，所以直線l1，l2恒過(guò)定點(diǎn)P(2,2)，直線l1的縱截距為2－a，直線l2的橫截距為a2＋2，所以四邊形的面積S＝2(2－a)＋2(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋.當(dāng)a＝時(shí)，面積最?。? 答案： 突破點(diǎn)三　直線的交點(diǎn)、距離與對(duì)稱問(wèn)題 1．兩條直線的交點(diǎn) 2．三種距離 類型 條件 距離公式 兩點(diǎn)間的距離 點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離 |P1P2|＝ 點(diǎn)到直線的距離 點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝ 兩平行直線間的距離 兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離 d＝ 一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“”) (1)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交．(　　) (2)點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為.(　　) (3)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離．(　　) (4)若點(diǎn)A，B關(guān)于直線l：y＝kx＋b(k≠0)對(duì)稱，則直線AB的斜率等于－，且線段AB的中點(diǎn)在直線l上．(　　) 答案：(1)√　(2)　(3)√　(4)√ 二、填空題 1．已知點(diǎn)(a,2)(a＞0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a的值為_(kāi)_______． 答案：－1 2．若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2間的距離為_(kāi)_______． 答案： 3．當(dāng)0＜k＜時(shí)，直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點(diǎn)在第________象限． 答案：二 4．(2018忻州檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l的方程為_(kāi)_____________． 答案：2x－y－3＝0 考法一　距離問(wèn)題　 [例1]　(2019北京西城期中)已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2，1)． (1)若點(diǎn)Q(－1，－2)到直線l的距離為1，求直線l的方程； (2)若直線l在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求直線l的方程． [解]　(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即直線l的方程為x＝－2，符合要求； 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x＋2)， 整理得kx－y＋2k＋1＝0， Q(－1，－2)到直線l的距離d＝＝＝1， 解得k＝－，所以直線l的方程為4x＋3y＋5＝0. (2)由題知，直線l的斜率k一定存在且k≠0，故可設(shè)直線l的方程為kx－y＋2k＋1＝0， 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2k＋1，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝－， ∴2k＋1＝－，解得k＝－1或－， 即直線l的方程為x＋2y＝0或x＋y＋1＝0. [方法技巧] 1．解決與點(diǎn)到直線的距離有關(guān)的問(wèn)題 應(yīng)熟記點(diǎn)到直線的距離公式，若已知點(diǎn)到直線的距離求直線方程，一般考慮待定斜率法，此時(shí)必須討論斜率是否存在． 2．求兩條平行線間的距離 要先將直線方程中x，y的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化成相等的形式，再利用距離公式求解．也可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題．　　 考法二　對(duì)稱問(wèn)題　 [例2]　已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求： (1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)； (2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m′的方程； (3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對(duì)稱的直線l′的方程． [解]　(1)設(shè)A′(x，y)，由題意知 解得 所以A′. (2)在直線m上取一點(diǎn)M(2,0)， 則M(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M′必在直線m′上． 設(shè)M′(a，b)，則 解得M′. 設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N， 則由得N(4,3)． 又因?yàn)閙′經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4,3)， 所以由兩點(diǎn)式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0. (3)設(shè)P(x，y)為l′上任意一點(diǎn)， 則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(－2－x，－4－y)， 因?yàn)镻′在直線l上， 所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即2x－3y－9＝0. [方法技巧] 1．中心對(duì)稱問(wèn)題的兩種類型及求解方法 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 若點(diǎn)M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得進(jìn)而求解 直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 ①在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程； ②求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程 2．軸對(duì)稱問(wèn)題的兩種類型及求解方法 點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱 若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱，由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2) 直線關(guān)于直線對(duì)稱 ①若直線與對(duì)稱軸平行，則在直線上取一點(diǎn)，求出該點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，然后用點(diǎn)斜式求解． ②若直線與對(duì)稱軸相交，則先求出交點(diǎn)，然后再取直線上一點(diǎn)，求該點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，最后由兩點(diǎn)式求解 1.“C＝2”是“點(diǎn)(1，)到直線x＋y＋C＝0的距離為3”的(　　) A．充要條件　　　　　　　 　B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　若點(diǎn)(1，)到直線x＋y＋C＝0的距離為3，則有＝3，解得C＝2或C＝－10，故“C＝2”是“點(diǎn)(1，)到直線x＋y＋C＝0的距離為3”的充分不必要條件，故選B. 2.直線3x－4y＋5＝0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線的方程是(　　) A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0 C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0 解析：選A　在所求直線上任取一點(diǎn)P(x，y)，則點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′(x，－y)在已知的直線3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0，故選A. 3.已知l1，l2是分別經(jīng)過(guò)A(1,1)，B(0，－1)兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時(shí)，則直線l1的方程是________________． 解析：當(dāng)直線AB與l1，l2垂直時(shí)，l1，l2間的距離最大．因?yàn)锳(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以兩平行直線的斜率為k＝－，所以直線l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 答案：x＋2y－3＝0 4.若直線l與直線2x－y－2＝0關(guān)于直線x＋y－4＝0對(duì)稱，則直線l的方程為_(kāi)_______________． 解析：由得即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，在直線2x－y－2＝0上取一點(diǎn)A(1,0)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線x＋y－4＝0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)，則解得即點(diǎn)A關(guān)于直線x＋y－4＝0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,3)，則直線l的方程為＝，整理得x－2y＋2＝0. 答案：x－2y＋2＝0