（新課改省份專用）2020版高考數學一輪復習 第七章 立體幾何 第四節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質講義（含解析）.doc

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第四節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質 突破點一　直線與平面垂直的判定與性質 1．直線和平面垂直的定義 直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直． 2．直線與平面垂直的判定定理與性質定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直 ?l⊥α 性質定理 垂直于同一個平面的兩條直線平行 ?a∥b 3．直線與平面所成的角 (1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線和這個平面所成的角． (2)線面角θ的范圍：. 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“”) (1)直線l與平面α內的無數條直線都垂直，則l⊥α.(　　) (2)若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直．(　　) (3)直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.(　　) 答案：(1)　(2)√　(3)√ 二、填空題 1．過一點有________條直線與已知平面垂直． 答案：一 2．在三棱錐PABC中，點P在平面ABC中的射影為點O， ①若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的________心． ②若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的________心． 答案：外　垂 3．如圖，已知∠BAC＝90，PC⊥平面ABC，則在△ABC， △PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________________；與AP垂直的直線有________． 解析：因為PC⊥平面ABC， 所以PC垂直于直線AB，BC，AC. 因為AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C， 所以AB⊥平面PAC， 又因為AP?平面PAC， 所以AB⊥AP，與AP垂直的直線是AB. 答案：AB，BC，AC　AB [典例]　(2019鄭州一測)如圖，在三棱錐PABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝2，AC＝2，D為線段AB上的點，且AD＝2DB，PD⊥AC. (1)求證：PD⊥平面ABC； (2)若∠PAB＝，求點B到平面PAC的距離． [解]　(1)證明：連接CD，據題知AD＝4，BD＝2，AC2＋BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90，∴cos∠ABC＝＝， ∴CD2＝22＋(2)2－222cos∠ABC＝8， ∴CD＝2，∴CD2＋AD2＝AC2，則CD⊥AB. ∵平面PAB⊥平面ABC， ∴CD⊥平面PAB，∴CD⊥PD， ∵PD⊥AC，AC∩CD＝C， ∴PD⊥平面ABC. (2)由(1)得PD⊥AB，∵∠PAB＝， ∴PD＝AD＝4，PA＝4， 在Rt△PCD中，PC＝＝2， ∴△PAC是等腰三角形，∴可求得S△PAC＝8. 設點B到平面PAC的距離為d， 由VBPAC＝VPABC，得S△PACd＝S△ABCPD， ∴d＝＝3. 故點B到平面PAC的距離為3. [方法技巧] 證明直線與平面垂直的方法 (1)定義法：若一條直線垂直于一個平面內的任意一條直線，則這條直線垂直于這個平面(不常用)； (2)判定定理(常用方法)； (3)若兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面(客觀題常用)； (4)若一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，則它必垂直于另一個平面(客觀題常用)； (5)若兩平面垂直，則在一個平面內垂直于交線的直線必垂直于另一個平面(常用方法); (6)若兩相交平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面的交線垂直于第三個平面(客觀題常用)．　　 [針對訓練] (2019貴州模擬)如圖，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為平行四邊形，且AB＝AD＝1，AA1＝，∠ABC＝60. (1)求證：AC⊥BD1； (2)求四面體D1AB1C的體積． 解：(1)證明：連接BD，與AC交于點O，因為四邊形ABCD為平行四邊形，且AB＝AD，所以四邊形ABCD為菱形， 所以AC⊥BD.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，可知BB1⊥AC，則AC⊥平面BB1D1D，又BD1?平面BB1D1D，則AC⊥BD1. (2)VD1AB1C＝VABCDA1B1C1D1－VB1ABC－VD1ACD－VAA1B1D1－VCC1B1D1＝VABCDA1B1C1D1－4VB1ABC＝－4＝. 突破點二　平面與平面垂直的判定與性質 1．平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義：兩個平面相交， 如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直． (2)平面與平面垂直的判定定理與性質定理： 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直 ?α⊥β 性質定理 兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直 ?l⊥α 2．二面角的有關概念 (1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角． (2)二面角的平面角：過二面角棱上的任一點，在兩個半平面內分別作與棱垂直的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角． (3)二面角α的范圍：. 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“”) (1)若α⊥β，a⊥β?a∥α.(　　) (2)若平面α內的一條直線垂直于平面β內的無數條直線，則α⊥β.(　　) (3)如果平面α⊥平面β，那么平面α內所有直線都垂直于平面β.(　　) 答案：(1)　(2)　(3) 二、填空題 1．m，n為直線，α，β為平面，若m⊥α，m∥n，n∥β，則α與β的位置關系為________． 答案：垂直 2．設α，β為兩個不同的平面，直線l?α，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的____________條件． 答案：充分不必要 3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有________對． 解析：由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD, 平面PBC⊥平面PDC，共7對． 答案：7 [典例]　(2019開封定位考試)如圖，在三棱錐DABC中，AB＝2AC＝2，∠BAC＝60，AD＝，CD＝3，平面ADC⊥平面ABC. (1)證明：平面BDC⊥平面ADC； (2)求三棱錐DABC的體積． [解]　(1)證明：在△ABC中，由余弦定理可得， BC＝ ＝ ＝， ∴BC2＋AC2＝AB2，∴BC⊥AC， ∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC， ∴BC⊥平面ADC， 又BC?平面BDC，∴平面BDC⊥平面ADC. (2)由余弦定理可得cos∠ACD＝， ∴sin∠ACD＝， ∴S△ACD＝ACCDsin∠ACD＝， 則VDABC＝VBADC＝BCS△ACD＝. [方法技巧]　面面垂直判定的兩種方法與一個轉化 兩種方法 (1)面面垂直的定義； (2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β) 一個轉化 在已知兩個平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化．在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直 [針對訓練] (2019洛陽一模)如圖，在四棱錐EABCD中，△EAD為等邊三角形，底面ABCD為等腰梯形，滿足AB∥CD，AD＝DC＝AB，且AE⊥BD. (1)證明：平面EBD⊥平面EAD； (2)若△EAD的面積為，求點C到平面EBD的距離． 解：(1)證明：如圖，取AB的中點M，連接DM， 則由題意可知四邊形BCDM為平行四邊形， ∴DM＝CB＝AD＝AB，即點D在以線段AB為直徑的圓上， ∴BD⊥AD，又AE⊥BD，且AE∩AD＝A， ∴BD⊥平面EAD. ∵BD?平面EBD，∴平面EBD⊥平面EAD. (2)∵BD⊥平面EAD，且BD?平面ABCD， ∴平面ABCD⊥平面EAD. ∵等邊△EAD的面積為， ∴AD＝AE＝ED＝2， 取AD的中點O，連接EO，則EO⊥AD，EO＝， ∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD， ∴EO⊥平面ABCD. 由(1)知△ABD，△EBD都是直角三角形， ∴BD＝＝2， S△EBD＝EDBD＝2， 設點C到平面EBD的距離為h， 由VCEBD＝VEBCD，得S△EBDh＝S△BCDEO， 又S△BCD＝BCCDsin 120＝， ∴h＝.∴點C到平面EBD的距離為. 突破點三　平行與垂直的綜合問題 1．平行關系之間的轉化 在證明線面、面面平行時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應用性質定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉化的方向是由題目的具體條件而定的，不可過于“模式化”． 2．垂直關系之間的轉化 在證明線面垂直、面面垂直時，一定要注意判定定理成立的條件．同時抓住線線、線面、面面垂直的轉化關系，即： 在證明兩平面垂直時，一般先從現有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線在圖中不存在，則可通過作輔助線來解決． [典例]　(2018北京高考)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分別為AD，PB的中點． (1)求證：PE⊥BC； (2)求證：平面PAB⊥平面PCD； (3)求證：EF∥平面PCD. [證明]　(1)因為PA＝PD，E為AD的中點， 所以PE⊥AD. 因為底面ABCD為矩形， 所以BC∥AD，所以PE⊥BC. (2)因為底面ABCD為矩形，所以AB⊥AD. 又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD， 因為PD?平面PAD，所以AB⊥PD. 又因為PA⊥PD，AB∩PA＝A， 所以PD⊥平面PAB. 因為PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD. (3)如圖，取PC的中點G，連接FG，DG. 因為F，G分別為PB，PC的中點，所以FG∥BC，FG＝BC. 因為四邊形ABCD為矩形，且E為AD的中點， 所以DE∥BC，DE＝BC. 所以DE∥FG，DE＝FG. 所以四邊形DEFG為平行四邊形．所以EF∥DG. 又因為EF?平面PCD，DG?平面PCD， 所以EF∥平面PCD. [方法技巧] 平行與垂直的綜合問題主要是利用平行關系、垂直關系之間的轉化去解決．注意遵循“空間到平面”“低維”到“高維”的轉化關系．　　 [針對訓練] (2019北京西城區(qū)期末)如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G，H分別是CE，CF的中點． (1)求證：AC⊥平面BDEF； (2)求證：平面BDGH∥平面AEF. 證明：(1)因為四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD. 又平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC?平面ABCD， 所以AC⊥平面BDEF. (2)在△CEF中，因為G，H分別是CE，CF的中點，所以GH∥EF. 又GH?平面AEF，EF?平面AEF，所以GH∥平面AEF. 設AC∩BD＝O，連接OH，如圖． 在△ACF中，因為O，H分別為CA，CF的中點， 所以OH∥AF. 因為OH?平面AEF，AF?平面AEF， 所以OH∥平面AEF. 因為OH∩GH＝H，OH，GH?平面BDGH， 所以平面BDGH∥平面AEF.