中國礦業(yè)大學計算力學.ppt

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數(shù)值分析 韓超Email kdhc 參考書目 Reference 數(shù)值分析 李慶揚編 清華大學出版社 計算方法典型題分析解集 封建湖編 西北工業(yè)大學出版社 數(shù)值分析學習輔導習題解析 李紅編 華中科技大學出版社 NumericalAnalysis ThirdEdition DavidKincaid WardCheney數(shù)值分析 第三版 王國榮譯 機械工業(yè)出版社 許多科學研究與工程設計問題最終都歸結為一個數(shù)學問題 它就是一個數(shù)學模型 通過求解這個數(shù)學模型 并對所獲得的數(shù)據(jù)分析 達到科學的真締與工程的完美 但是數(shù)學模型可能非常復雜 求出它的準確解幾乎不可能 因此尋求它的近似解就非常重要 如何得到它的近似解 包括解析的和數(shù)值的 近似 值 是一個普遍現(xiàn)象 從日常生活到科學研究 工程設計無處不在 對一些復雜的 自然或社會 現(xiàn)象以及工程設計問題我們完全可以用近似數(shù)據(jù)去解釋去完善 數(shù)值仿真已經成為科學研究與工程設計中非常重要的方法或手段 現(xiàn)代計算機的發(fā)展為大量復雜數(shù)學模型的求解奠定了基礎 使得數(shù)值計算技術的發(fā)展獲得了巨大的支撐 求近似數(shù)據(jù)的關鍵途徑就是學習或研究數(shù)學問題的 計算方法 或 數(shù)值分析 也稱為 科學與工程計算 為什么學習數(shù)值計算方法 解決實際問題的理想化過程 教材內容體系 第一章緒論 第二章線性方程組的直接解法 第三章函數(shù)插值 第四章函數(shù)逼近 第五章數(shù)值積分法 第六章線性方程組的迭代解法 第七章非線性方程 組 的數(shù)值解法 第八章數(shù)值最優(yōu)化 第九章常微分方程的數(shù)值解法 第十章矩陣特征值問題的數(shù)值解法 第一章緒論 1課程研究的內容和構造算法的主要途徑 2誤差 3有效算法要具備的條件 4靈敏度分析 5向量范數(shù)與矩陣范數(shù) 1研究內容和構造算法的主要途徑 研究數(shù)學問題數(shù)值解的計算方法 即研究算法的 1哪些數(shù)學問題 大型線性方程組Ax b求解 矩陣A的特征值和特征向量計算 非線性方程的求解 求根 積分計算 常微分方程初值問題求解 函數(shù)逼近等 2研究數(shù)值解的必要性 例1常微分方程初值問題 其解析解 精確解 為 要求計算 等近似值 3構造算法的主要思想 迭代法以直線代替曲線 非線性問題線性化 化整為零 離散化 外推法 加速 好算法的三個標準 快 計算步驟少 收斂速度快準 數(shù)值穩(wěn)定性好 計算結果可靠性高省 節(jié)省計算機內存 大型稀疏矩陣問題 快 計算步驟少 收斂速度快 例2多項式求值的Hornor算法 秦九韶算法P7 給定x的值 計算的值 算法1 按自然順序計算 乘法次數(shù) 加法次數(shù) n 算法2 嵌套算法 Hornor 秦九韶 乘法次數(shù) 加法次數(shù) n 例3解線性方程組 算法1 Cramer法則 乘除法次數(shù)An 萬年 算法2 Gauss消去法 乘除法次數(shù) 耗時 秒 例5計算積分的梯形公式與Simpson公式 非線性方程求根 Newton法比二分法快 例4如FFT 快速傅立葉變換 零乘一個數(shù)省去 2 準 數(shù)值穩(wěn)定性好 計算結果可靠性高 例6求根 假設計算機有尾數(shù)為5位 算法1 算法2 例7計算積分 由分部積分法可得 取迭代初值 由遞推公式 計算得 算法1 直接積分 算法不穩(wěn)定 結果不可靠 而 可見遞推計算結果嚴重失真 取 將迭代格式變形成如下格式 計算結果相當好 算法2易知 算法穩(wěn)定 結果可靠 1 穩(wěn)定性 若一種算法的初始誤差和舍入誤差在運算過程中不增長 則稱此算法是穩(wěn)定的 2 誤差分析 算法1 記 則 誤差逐漸增大 式不穩(wěn)定 算法2 記 則 誤差沒有增大 算法穩(wěn)定 所以 為了 準 要注意的原則 1 防止大數(shù)吃小數(shù) 利用求根公式 在計算機內 109存為0 1 1010 1存為0 1 101 做加法時 兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊 再將浮點部分相加 即1的指數(shù)部分須變?yōu)?010 則 1 0 0000000001 1010 取單精度時就成為 109 1 0 10000000 1010 0 00000000 1010 0 10000000 1010 大數(shù)吃小數(shù) 算法1 先解出再利用 注 求和時從小到大相加 可使和的誤差減小 2 按從小到大 以及從大到小的順序分別計算1 2 3 40 109 算法2 如1 在五位十進制計算機上計算 解 2 防止相近的數(shù)相減 例9 解決辦法 通常情況下 當 x 1時 3 防止絕對值很小的數(shù)做分母 例10 2誤差的來源和基本概念 模型誤差 觀測誤差 截斷誤差 舍入誤差 1截斷誤差 也稱為方法誤差 涉及方法的收斂性 2舍入誤差 由計算機的浮點運算產生 涉及方法的穩(wěn)定性 如 用3 14159近似代替 則產生的誤差R 3 14059 0 0000026 為舍入誤差 二基本概念 假設x為準確值 x 為近似值 則 絕對誤差 絕對誤差限 相對誤差 相對誤差限 三有效數(shù)字 例11 解 2位 2位 4位 3位 四有效數(shù)字與誤差限的關系 1有效數(shù)字與絕對誤差限的關系 2 有效數(shù)字與相對誤差的關系 有效數(shù)字 相對誤差限 已知x 有n位有效數(shù)字 則其相對誤差限為 相對誤差限 有效數(shù)字 已知x 的相對誤差限可寫為則 可見x 至少有n位有效數(shù)字 例13為使的相對誤差小于0 001 至少應取幾位有效數(shù)字 解假設 取到n位有效數(shù)字 則其相對誤差上限為 要保證其相對誤差小于0 001 只要保證其上限滿足 已知a1 3 則從以上不等式可解得n 6 log6 即n 6 應取 3 14159 只要取n 3即可 即3位有效數(shù)字 例14要使的近似值相對誤差小于0 1 應取幾位有效數(shù)字 解 例15 有十個復根 4靈敏度分析 靈敏度分析是分析一個數(shù)學問題原始數(shù)據(jù)的微小變化對其解的擾動情況 如果引起解發(fā)生較大的變化 則稱該問題是病態(tài)的 否則稱該問題是良態(tài)的 它反映了解對原始數(shù)據(jù)的敏感程度 抗干擾能力強良態(tài)的方程組 抗干擾能力弱病態(tài)的方程組 問題 如何估計誤差向量的大小 如何對方程組的性態(tài)進行判斷 衡量其病態(tài)程度 病態(tài)與否是該問題固有的性質 與采用何種計算方法沒有關系 5向量范數(shù)與矩陣范數(shù) 相關Matlab命令 norm x p norm x norm x 2