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基于逆冪法的解決本地修改系統(tǒng)本征解的一種數(shù)值方法
K. Krishnapillai, R.Jones
摘要：快速再分析修改系統(tǒng)本征解的問題具有相當(dāng)大的實(shí)際意義，現(xiàn)在已經(jīng)開發(fā)出了用于計(jì)算特征值修改系統(tǒng)的幾種方法。本文提出的正是這種基于逆功率的方法，僅修改部分使用自由度。這種做法不論規(guī)模的修改和使用的濃縮程度的修改部分，都能使精確解的特征值盡快找到。提出的方法的優(yōu)勢(shì)是比較研究解決方案的逆功率方法的若干數(shù)值例子。這一做法將有助于改進(jìn)系統(tǒng)的自由度大和修改系統(tǒng)小的問題。
關(guān)鍵詞：局部修改系統(tǒng) 逆冪法 特征值 特征向量 再分析
1 引言
振動(dòng)工程包括從機(jī)械震動(dòng)到電氣振蕩和擺動(dòng)的大結(jié)構(gòu)的廣泛的各種領(lǐng)域。動(dòng)態(tài)分析的特征值和特征向量在自由振動(dòng)的這種系統(tǒng)（動(dòng)力學(xué)）是一項(xiàng)基本的分支工程，而且大量的數(shù)值計(jì)算方法已經(jīng)被提出了有效地執(zhí)行這種分析。最近取得的進(jìn)展有限元法（ FEM ）和大型計(jì)算機(jī)，使很多分析家治療更大程度的自由（自由度） ，而且越來越多的軟件正在開發(fā)，以適應(yīng)這些因素。但是，如果任何參數(shù)的變化（例如，形狀，材料，初始條件或環(huán)境條件）在先前分析系統(tǒng)，整個(gè)系統(tǒng)都必須再分析。特征值分析是一個(gè)更艱巨的任務(wù)，比較相應(yīng)的靜態(tài)分析，后者的計(jì)算時(shí)間一般是前者的幾倍甚至幾十倍。如果一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行多次修改，因?yàn)榉治鲂抻喓蟮南到y(tǒng)一樣需要時(shí)間，勞動(dòng)力和金錢，就像分析原始系統(tǒng)一樣，這可以使這一進(jìn)程相當(dāng)費(fèi)時(shí)。
“再分析”是用來執(zhí)行部分分析（而不是全面分析），以便由于設(shè)計(jì)修改或其他一些變化使部分矩陣被更改時(shí)而獲得有效數(shù)據(jù)。如果可以找到采用先前計(jì)算特征值和特征向量表演再分析的方便方法，這將是非常有用的解決涉及部分改變矩陣的特征值問題的。再分析方法在許多文件中得到高度重視，這些文件涉及變化的特征值在本地修改系統(tǒng)中的問題[1-9]。許多這些文件都使用微擾理論[1，4，7]。Fox and Kapoor [1]和Rogers [7]應(yīng)用一階微分方程的特征值和特征向量的設(shè)計(jì)變量。這種擾動(dòng)的方法是使設(shè)計(jì)變量的初始值假定不變而有相對(duì)較小的調(diào)整時(shí)的是有效解決方案。但是，如果改變?cè)O(shè)計(jì)變量大甚至是增加，這些方法一般是提供低精度的擾動(dòng)。
除Hirai等人[2]證實(shí)了只使用程序的修改部分以獲取準(zhǔn)確的特征值和特征向量證明以外，還有Parazzola等人[ 6，10 ]采用此方法做為特征值和特征向量的阻尼系統(tǒng)的理論解決方案。這些方法在確切的解決辦法的基礎(chǔ)上使用特征值和特征向量的修改制度來確定一個(gè)基本公式具有相同程度的矩陣代表后修改的制度。他們不論規(guī)模的修改都是有效的。如果特征值可再分析問題使用這種凝聚方程，這將意味著，矩陣可以簡化程度較低，這是一個(gè)減少計(jì)算時(shí)間非常有效的方法。這基本方程是非線性的，它可以用來解決一個(gè)矩陣方程的組成是否合理的問題。但解決這類問題的試驗(yàn)和錯(cuò)誤是非常耗時(shí)的，而且通過這種過程無法顯示順序特征。此外，很少有前景的實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的計(jì)算過程中使用Newton—Raphson法或其他方法，其中的差別系數(shù)為當(dāng)?shù)亟鉀Q辦法和初步估計(jì)而設(shè)置為適當(dāng)?shù)闹担浣鉀Q辦法必須合理地接近實(shí)際的解決辦法（如果不是合理地接近實(shí)際的解決辦法則其進(jìn)程不可預(yù)測）。即使大致范圍的解決方案已經(jīng)確定，很難找到穩(wěn)定的解決方案，利用逐次逼近的方法，如反向線性插值或多項(xiàng)式逼近。使用這些方法可能提供一些解決辦法，但眾所周知，數(shù)值計(jì)算可以提供解決方案的一個(gè)隨機(jī)秩序。當(dāng)一個(gè)解決方案已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)使用，例如，Newton—Raphson法，通貨緊縮是建立和重復(fù)的程序，以確定下一個(gè)特征。因此，傳統(tǒng)的方法解決這些非線性方程組有一些根本性的弱點(diǎn)。
Kashiwagi等人對(duì)Hirai等人[11–16]出版的方程壓縮版本進(jìn)行了系統(tǒng)的研究[ 11-16日] 。他們已經(jīng)解決了在當(dāng)?shù)亟?jīng)修改的制度中找到所有特征值的這個(gè)問題，提出了找到低度系統(tǒng)為特征的組合Durand–Kerner[ 12 ]法與Newton法[ 16 ]和合理的功能[ 13 ]的可靠的解決方案。他們還表明，Sturm序列對(duì)某些壓縮的強(qiáng)烈非線性方程組[ 14,15 ] 是有用的 ，討論了如何確定該地區(qū)的Sturm 序列的特征值是否存在問題，并說明了使用Sturm序列一分為二的解決方案。Sturm序列方法是計(jì)算特征值常用的傳統(tǒng)計(jì)算方法，一般，它最適合已轉(zhuǎn)化為三對(duì)角矩陣的矩陣 [ 9 ] 。轉(zhuǎn)換的過程中，需要進(jìn)行大量的計(jì)算，一般以三對(duì)角矩陣形式和代表半數(shù)以上的特征值來計(jì)算確定。由Kashiwagi等人制定的Sturm序列法的版本需要查明所有的特征值和特征向量的修改制度，但并不需要轉(zhuǎn)化成三對(duì)角矩陣的形式，所以它是這一領(lǐng)域獨(dú)特的貢獻(xiàn)。
許多特征解決問題，尋求公正的幾個(gè)特征值及其相應(yīng)的來自低度系統(tǒng)的載體。逆功率職能是這種系統(tǒng)用迭代方法來獲得解決方案的一個(gè)例子 [ 17 ] 。逆冪法是一個(gè)獲得解決方案的特征值分析的基本方法;許多分析都是根據(jù)它得到的。例如，子空間迭代[ 18,19 ]是一個(gè)確定本征值非常常用的方法。因此，我們必須早日完成工具箱的方法來確定特征值的本地修改的制度，但目前還沒有一種已提議的基于逆功率的職能。
本文提出的正是這種僅修改部分使用自由度的基于逆功率的方法。這種做法不論使用的濃縮程度的修改部分的規(guī)模都能盡快找到精確解的特征值。當(dāng)程度的矩陣低，計(jì)算時(shí)間很短，特別是當(dāng)逆冪函數(shù)相結(jié)合轉(zhuǎn)變的起源，所有的特征值和特征向量的修改系統(tǒng)從最小的本征解開始對(duì)前幾個(gè)本征解（ 10個(gè)或更少的實(shí)際系統(tǒng)）相對(duì)較小的系統(tǒng)是否有效必須被了解。以下各節(jié)中描述的理論和算法證明了數(shù)值求解典型特征值問題這一有效的做法。
2 本地修改系統(tǒng)的理論與算法的逆功率方法
本節(jié)描述修改系統(tǒng)的逆功率方法的理論和什么是本地修改系統(tǒng)轉(zhuǎn)向逆功率方法的理論。這些理論使只是濃縮版修改部分的本征解完全確定。
2.1 本地修改系統(tǒng)的逆功率方法
一般特征值問題如下，假設(shè)一個(gè)n×n實(shí)對(duì)稱矩陣A和一個(gè)積極的實(shí)對(duì)稱矩陣B組：
（1）
從最小的數(shù)值和是相應(yīng)的特征值特征向量開始，是隨著那里的特征值。A和B有以下幾種形式：
（2）
（3）
如果是模式矩陣的特征向量包含的問題，則用等式（1）表示
（4）
然后用下列關(guān)系表示：
（5）
（6）
這里，Ⅰ是n × n的矩陣，由等式 （ 5 ）可得
（7）
通常由有限元分析的自由結(jié)構(gòu)振動(dòng)和屈曲有兩個(gè)特征值。在自由振動(dòng)問題中，A是剛度矩陣K，B是質(zhì)量矩陣M。在屈曲中， A是剛度矩陣K，B是幾何剛度矩陣KG。
根據(jù)當(dāng)?shù)氐男薷模?A是由A+A替代，B是由B+B替代的。讓我們假設(shè)A和B如下：
（8）
（9）
如果零要素從A變到B ，我們會(huì)得到和：
（10）
（11）
這是化簡后的部分（m×m矩陣，在等式（8）和（9）中假設(shè)m=2） 。
我們考慮一個(gè)m × n的布爾矩陣（使等式（12）中m = 2） ：
（12）
和由下式給出
（13）
（14）
一般等式（1）表示的特征值問題可以用來表示上述化簡的當(dāng)?shù)鼐仃嚕?
（15）
等式（15）可重寫布爾矩陣形式：
（16）
讓我們重寫上述矩陣，分別用P代表n × n矩陣，Q代表n ×m矩陣，R代表m× n矩陣，代表m×m對(duì)稱矩陣。然后，我們可以寫成
（17）
的逆矩陣是
（18）
這里，是修改部分元素對(duì)應(yīng)的m×m矩陣 。
用逆功率的方法，如果后面的特征值試驗(yàn)值為然后等式（16）和（18）可得
（19）
我們又可以寫成
（20）
是下面等式（25）中的；是前迭代中獲得的近似特征向量。考慮到式中的 （等式（9）中）可得
（21）
這里，和是未修改部分的矢量
（22）
（23）
然后，由下式給出
（24）
這里
（25）
因此，我們可以用數(shù)值本身的表示來尋找該特征向量。同樣在等式（24）中我們只需要只用簡明修改部分的自由度的化簡特征向量：
（26）
（27）
一旦等式（26）中的被找出和保存，則由等式（24）所得出的自由度就可以計(jì)算出近似的特征向量。
2.2 本地修改系統(tǒng)的逆功率轉(zhuǎn)換法
讓我們指定當(dāng)前特征值和下一個(gè)特征值為。冪函數(shù)的收斂速度由||/||給出。當(dāng)原特征值為時(shí)，逆冪函數(shù)的收斂速度隨原值的改變由|－|/|－|給出，其值是一個(gè)比未修改的逆冪函數(shù)較低的值。
因此，選擇適當(dāng)?shù)闹翟谠俜治龅倪^程中收斂可能會(huì)被大大提高。在本節(jié)中，我們得出一個(gè)本地修改系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換逆功率方法。等式（28）的基本方程具有跟一個(gè)完整的系統(tǒng)逆功率轉(zhuǎn)換方法相同的格式，因此預(yù)計(jì)將對(duì)本地修改系統(tǒng)是有效地。
此處重述等式（1）代表本地修改系統(tǒng)逆功率轉(zhuǎn)換方法作為一般特征值問題：
（28）
等式（7）也可被重新寫為：
（29）
我們按照上一節(jié)中給出的相同的方法：
(30)
(31)
這確保我們說明地點(diǎn)時(shí)尋找到近似的特征向量。而且，由等式（30）可得到濃縮修改部分基礎(chǔ)上的近似特征向量：
(32)
(33)
一旦用等式（32）算出并保存，近似特征向量可以用等式（30）給予的自由度計(jì)算得到。
2.3 初始近似特征向量和初始近似特征值
這種重新分析的方法需要以往修改系統(tǒng)的特征向量和特征值的知識(shí)。我們討論如何將這些數(shù)據(jù)可用于生成隨著i的初始近似特征值和特征向量，我們由下式開始：
(34)
考慮到正?；臈l件為：
我們發(fā)現(xiàn)：
(35)
表明如果我們考慮到，可得：
(36)
初始的近似特征向量只占簡明修改部分：
(37)
此外，考慮到初始近似特征值為：
并考慮本地化的和，我們發(fā)現(xiàn)
(38)
2.4 特征向量正?；吞卣髦?
我們現(xiàn)在描述如何隨著i近似特征向量正?；约叭绾斡?jì)算近似特征值。我們指定
(39)
和條件
由等式（24）、（30）和的本地化，我們可以得出
（40）
然后
（41）
并且初始近似特征向量根據(jù)濃縮修改部分
（42）
我們指定初始近似特征值為
并且由等式（24）、（30）和和本地化，我們可以得到為：
（43）
這操作要求用代替
2.5 提取已取得的特征值
當(dāng)發(fā)現(xiàn)高階特征值，有必要提取使用逆冪函數(shù)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的本征解。革蘭氏Schmidt正交是用來配合等式（6）、（24）、（30）和的本地化：
（44）
并且：
（45）
方程僅由簡明修改部分得到。如果我們定義的組成部分為，那么我們可以重寫如下：
（46）
2.6 算法
本節(jié)說明一個(gè)根據(jù)擬議法創(chuàng)建算法的例子：
（1）K＝0（初始值）。和版本的特征值，特征向量和m×m矩陣（m：一定程度的修改部分）可以得出，并且mq（數(shù)目的本征解）初始近似特征向量和特征值可以使用等式（37）和（38）算出。可以用等式（35）算出并保存。得出的特征值按升序重新排列。
（2）K＝K＋1（計(jì)算K的特征值）。
1、當(dāng)上一步計(jì)算的近似特征值和本步驟中的近似特征值之差的絕對(duì)值除以本步驟近似特征值所除得的值大于一些指定的值（在實(shí)驗(yàn)中用計(jì)算）則用逆功率近似法；當(dāng)小于時(shí)則用轉(zhuǎn)向逆功率近似法。在目前的數(shù)值試驗(yàn)中，轉(zhuǎn)向的起源（是上一步驟中的近似特征值）。
2、簡明特征向量和值可由等式（32）和（33）計(jì)算得出。
3、（K－1）組的特征向量可由等式（45）計(jì)算得出。
4、簡明近似特征向量的規(guī)范化使用等式（42）和（43），并可以計(jì)算出近似值。
5、收斂測試；如果計(jì)算值被收斂，則用等式（30）所得的自由度計(jì)算特征值，否則，該程序返回到步驟1。
（3）如果沒有得到指定的一些特征值，則該程序返回到步驟（2）。
3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)
圖1. 平面框架模型（ A型）
本實(shí)驗(yàn)使用的是如圖1顯示的利用有限元法求解包含關(guān)節(jié)強(qiáng)度的結(jié)構(gòu)框架的一般特征值問題。當(dāng)上一步的近似特征值與目前步驟中的近似特征值所確定的差的絕對(duì)值除以目前步驟中的近似特征值小于時(shí)，每一個(gè)特征值則被決定。所有的數(shù)值計(jì)算都用雙精度。計(jì)算機(jī)使用的是一個(gè)富士通FMV（賽揚(yáng)處理器2.40GHz，RAM768MB，Windows XP系統(tǒng)，F(xiàn)ujitsu Fortran和C Academic Package Ver.3）。由鋼筋混凝土制成的柱子和梁都具有楊氏模量和密度。柱子和梁的橫截面分別是800mm×800mm和400mm×800mm（寬×高）。柱子的長度都是3000mm（落地式地板高度），梁的跨度都是6000mm。結(jié)構(gòu)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度（X方向的位移u ， Y方向的位移V和傾斜角度）。剛度矩陣A和質(zhì)量系數(shù)矩陣B中的元素值與變量的角度傾斜是對(duì)應(yīng)的，并允許是不同的層面。矩陣B表示分布式質(zhì)量，而不是集中質(zhì)量。因?yàn)橥ǔＴ诠こ虇栴}中的需要，前18個(gè)特征值的計(jì)算可以用兩個(gè)建議的方法和逆冪函數(shù)的方法。表1給出了數(shù)值實(shí)驗(yàn)中的參數(shù)。為計(jì)算五個(gè)級(jí)別的自由度n，如圖1所顯示的修改了地點(diǎn)的①和②；這些列被刪除。當(dāng)只有列①被移動(dòng)時(shí)標(biāo)明“m=3”，當(dāng)列①②都被移動(dòng)時(shí)則標(biāo)明“m=6”。
表1 例舉參數(shù)
類型
mr
nr
n
A
8
8
216
B
12
12
468
C
16
16
816
D
20
20
1260
E
24
24
1800
F
28
28
2436
mr:存儲(chǔ)數(shù)目，nr:跨度，n:自由度
表2 所得特征值的舉例（類型 A,m=3）
序號(hào)
提出的方法
逆冪法
1
0.272888641053
0.272888641053
2
2.712802279429
2.712802279430
3
4.132181003310
4.132181003310
4
8.949844231526
8.949844231525
5
17.110318347381
17.110318347409
6
18.455201910472
18.455201911020
7
18.694790497310
18.694790496682
8
20.124657349311
20.124657349413
9
21.272968144586
21.272968144488
10
22.391939618166
22.391939618438
11
23.161264697183
23.161264696928
12
27.052631104578
27.052631104671
13
28.734377712798
28.734377712946
14
29.783422706474
29.783422706224
15
34.877946938428
34.877946941330
16
35.081364019585
35.081364016670
17
40.495367536585
40.495367536877
18
43.004770987907
43.004770987659
圖2.計(jì)算時(shí)間為最低特征值18（m=3）
圖3. 迭代次數(shù)（類型E，m= 3 ）
圖4. 計(jì)算時(shí)間為18最低特征值（m=6）
圖5.迭代次數(shù)（類型E，m=3）
表2列舉了一個(gè)所取得結(jié)果的例子。很顯然，本文提出的這種方法能正確計(jì)算出特征值，因?yàn)樗鼈兣c其他計(jì)算方法的預(yù)測是一致的。圖 2和圖4提供了這些結(jié)果和逆冪函數(shù)方法所預(yù)測的比較（帶系數(shù)矩陣）和CPU所需要的時(shí)間。在m=3時(shí)，用逆功率方法解決本地系統(tǒng)修改部分所需要的時(shí)間大約為該逆功率方法解決整個(gè)系統(tǒng)所需時(shí)間的1/25，而且轉(zhuǎn)向逆功率方法解決本地系統(tǒng)修改部分所需要的時(shí)間大約為逆功率方法解決整個(gè)系統(tǒng)所需時(shí)間的1/100。在m = 6時(shí) ，用逆功率方法解決本地系統(tǒng)修改部分所需要的時(shí)間大約為逆功率方法解決整個(gè)系統(tǒng)所需時(shí)間的一半，而且轉(zhuǎn)向逆功率方法解決本地系統(tǒng)修改部分所需要的時(shí)間大約為逆功率方法解決整個(gè)系統(tǒng)所需要時(shí)間的1/30。
圖3和圖5比較了三種方法所需要的迭代次數(shù)。在m=3時(shí)，用逆功率方法解決本地系統(tǒng)修改部分的收斂迭代次數(shù)遠(yuǎn)小于用逆功率方法解決整個(gè)系統(tǒng)的收斂迭代次數(shù)，而在m=6時(shí)，幾乎沒有區(qū)別這兩種方法。本地修改部分的逆功率轉(zhuǎn)向方法需要比其他兩種方法更少的迭代次數(shù)，保證使用這種方法時(shí)有較低的計(jì)算。
4 總結(jié)
本文提出的理論研究，其目的是利用以前獲得的數(shù)據(jù)用于未修改系統(tǒng)，使修改系統(tǒng)再分析獲得其新的特征值和特征向量，是一種穩(wěn)定且有效的分析方法。這種方法的主要特點(diǎn)是經(jīng)過修改可以得到一個(gè)壓縮的低階矩陣，而不論修改的規(guī)模，這矩陣為修改后的特征值和特征向量提供了一個(gè)準(zhǔn)確的解決方案。這個(gè)較低階矩陣為大大縮短計(jì)算時(shí)間提供了解決方案。
在一個(gè)部分修改系統(tǒng)特征值分析的基本方程基礎(chǔ)上產(chǎn)生了逆功率法，并且這種方法的有效性和穩(wěn)定性證明了數(shù)值分析。在這一分析，也有人認(rèn)為，修改部分的轉(zhuǎn)向逆功率分析特別有效。它比修改部分和整個(gè)系統(tǒng)的未轉(zhuǎn)向逆功率分析更急劇地減少迭代而收斂。然而，數(shù)量的計(jì)算主要是確定原系統(tǒng)的自由度，特征值和特征向量，而且代表一定修改程度的矩陣中的數(shù)據(jù)必須在采用這種方法之前就已獲得。預(yù)計(jì)該方法也可與斯特姆序列或二等分法結(jié)合進(jìn)一步提高穩(wěn)定性。未來的研究需要提供這種算法的進(jìn)一步驗(yàn)證和處理理論方面的裁斷。
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[15] M. Kashiwagi, I. Hirai, T. Katayama, W.D. Pilkey, Sturm sequence recurrence formula of locally modified systems, Finite Elem. Anal. Des. 12 (1993) 31–36.
[16] T. Katayama, S. Miyamura, M. Kashiwagi, I. Hirai, Eigensolution of locally modified systems by Newton-like method, J. Struct. Eng. 38A (1992) 303–310.
[17] M. Kashiwagi, An eigensolution method of large sparse symmetric matrices by the CG method, Trans. Jpn. Soc Ind. Appl. Math. 15 (2005) 29–43.
[18] K.J. Bathe, Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1982.
[19] B. Nour-omid, B.N. Parlett, R.L. Taylor, Lanczos versus subspace iteration for solution of eigenvalue problems, Int. J. Numer. Method Eng. 19 (1983) 859–971.
摘 要
隨著計(jì)算機(jī)的普及和計(jì)算速度的提高，有限元分析已越來越廣泛地應(yīng)用到工程分析計(jì)算問題，其分析手段已成為現(xiàn)代機(jī)械設(shè)備CAE分析的主流方法，也是解決我國機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)分析水平落后的關(guān)鍵手段之一。主軸滑枕是機(jī)床中一種必不可少的通用零部件，亦是影響機(jī)床工作性能的薄弱環(huán)節(jié)。
本論文的主要目的就是針對(duì)機(jī)床主軸關(guān)鍵部件——滑枕進(jìn)行相關(guān)分析。采用Ansys命令流方式建立高速數(shù)控機(jī)床主軸滑枕實(shí)體分析模型（其中加強(qiáng)筋厚度給出了三種，分別為15mm，20mm，25mm），并對(duì)他們?cè)诨瑒?dòng)軸承支撐、高速旋轉(zhuǎn)條件下動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行有限元分析，求解出系統(tǒng)模態(tài)頻率、模態(tài)振型、瞬態(tài)動(dòng)力響應(yīng)和周期激勵(lì)下諧響應(yīng)譜，在分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行比較，確定系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)，對(duì)大型龍門銑床主軸滑枕的結(jié)構(gòu)變形規(guī)律，給出了定性分析結(jié)論，選擇出了三種加強(qiáng)筋厚度中最優(yōu)的一種，同時(shí)，在分析的基礎(chǔ)上提出了一些改進(jìn)措施，為工作中進(jìn)行機(jī)械系統(tǒng)結(jié)構(gòu)CAE分析打下良好的基礎(chǔ)，為滑枕結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)和指導(dǎo)。
關(guān)鍵詞：CAE；主軸滑枕；有限元分析；變形分析；改進(jìn)措施
Abstract
With the development of computers and the speed of calculation, finite element analysis has become increasingly widely in the calculation of engineering analysis, of which analysis methods has become the mainstream of CAE analysis methods, and the analytical tools has become one of the key method to solve the problem of the level of product design behind about our country mechanical analysis. Spindle ram is the necessary and general components of machine tools, which is also the weak link with frequent failures.
The main purpose of this paper is to analysis the spindle - ram which is the key components for machine tool. Ansys command is used to create high-speed flow axis CNC machine tool ram model entities, and do the finite element analysis under the conditions of the sliding bearing support and the high-speed rotary dynamic behavior.Their kinetic analysis, a system for solving modal frequencies, modal vibration mode, the transient dynamic response and the cycle of harmonic excitation response spectrum. In based of the analysis to make sure the weak links in the system,and find out the large gantry milling machine spindle ram deformation of the structure for giving the conclusions of the qualitative analysis, which carry out the work of CAE analysis of the structure of mechanical systems and lay a good foundation for the structural optimization ram designed to provide the theoretical basis and guidance.
Keywords: CAE；Spindle ram；Finite element analysis；Deformation analysis；Improvement measures
摘 要
隨著計(jì)算機(jī)的普及和計(jì)算速度的提高，有限元分析已越來越廣泛地應(yīng)用到工程分析計(jì)算問題，其分析手段已成為現(xiàn)代機(jī)械設(shè)備CAE分析的主流方法，也是解決我國機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)分析水平落后的關(guān)鍵手段之一。主軸滑枕是機(jī)床中一種必不可少的通用零部件，亦是影響機(jī)床工作性能的薄弱環(huán)節(jié)。
本論文的主要目的就是針對(duì)機(jī)床主軸關(guān)鍵部件——滑枕進(jìn)行相關(guān)分析。采用Ansys命令流方式建立高速數(shù)控機(jī)床主軸滑枕實(shí)體分析模型（其中加強(qiáng)筋厚度給出了三種，分別為15mm，20mm，25mm），并對(duì)他們?cè)诨瑒?dòng)軸承支撐、高速旋轉(zhuǎn)條件下動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行有限元分析，求解出系統(tǒng)模態(tài)頻率、模態(tài)振型、瞬態(tài)動(dòng)力響應(yīng)和周期激勵(lì)下諧響應(yīng)譜，在分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行比較，確定系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)，對(duì)大型龍門銑床主軸滑枕的結(jié)構(gòu)變形規(guī)律，給出了定性分析結(jié)論，選擇出了三種加強(qiáng)筋厚度中最優(yōu)的一種，同時(shí)，在分析的基礎(chǔ)上提出了一些改進(jìn)措施，為工作中進(jìn)行機(jī)械系統(tǒng)結(jié)構(gòu)CAE分析打下良好的基礎(chǔ)，為滑枕結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)和指導(dǎo)。
關(guān)鍵詞：CAE；主軸滑枕；有限元分析；變形分析；改進(jìn)措施
Abstract
With the development of computers and the speed of calculation, finite element analysis has become increasingly widely in the calculation of engineering analysis, of which analysis methods has become the mainstream of CAE analysis methods, and the analytical tools has become one of the key method to solve the problem of the level of product design behind about our country mechanical analysis. Spindle ram is the necessary and general components of machine tools, which is also the weak link with frequent failures.
The main purpose of this paper is to analysis the spindle - ram which is the key components for machine tool. Ansys command is used to create high-speed flow axis CNC machine tool ram model entities, and do the finite element analysis under the conditions of the sliding bearing support and the high-speed rotary dynamic behavior.Their kinetic analysis, a system for solving modal frequencies, modal vibration mode, the transient dynamic response and the cycle of harmonic excitation response spectrum. In based of the analysis to make sure the weak links in the system,and find out the large gantry milling machine spindle ram deformation of the structure for giving the conclusions of the qualitative analysis, which carry out the work of CAE analysis of the structure of mechanical systems and lay a good foundation for the structural optimization ram designed to provide the theoretical basis and guidance.
Keywords: CAE；Spindle ram；Finite element analysis；Deformation analysis；Improvement measures
目 錄
1 緒論................ 1
1.1 有限元分析的發(fā)展現(xiàn)狀 1
1.2 有限元分析的發(fā)展趨勢(shì) 2
2 有限元分析理論及ANSYS軟件的介紹………………………………………....5
2.1 有限元分析理論 5
2.2 ANSYS軟件的介紹 7
3 模型及系統(tǒng)分析 10
3.1 模型描述 11
3.2 主軸滑枕靜力分析 12
3.2.1加強(qiáng)筋厚度為15mm時(shí)主軸滑枕靜力分析 13
3.2.2加強(qiáng)筋厚度為20mm時(shí)主軸滑枕靜力分析 14
3.2.3加強(qiáng)筋厚度為25mm時(shí)主軸滑枕靜力分析 15
3.2.4結(jié)論 ……………………….. 15
3.3 主軸滑枕動(dòng)力學(xué)分析 16
3.3.1主軸滑枕模態(tài)頻率 16
3.3.2主軸滑枕模態(tài)振型 18
3.3.3主軸滑枕瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析 21
3.3.4主軸滑枕周期激勵(lì)下諧響應(yīng) 24
4 總結(jié) 29
謝 辭……………………………………………………………………………….30
參考文獻(xiàn)…………………………………………………………………………...31
1 緒論
有限元方法的計(jì)算思想早在 20 世紀(jì) 40 年代就提出了。1943 年 Courant 在一篇
論文中就提出用一組三角形單元和最小位能原理研究了 St.Venant 的扭轉(zhuǎn)問題。但真
正用以解決工程中的數(shù)值計(jì)算問題是在上世紀(jì) 50 年代電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后，1956 年
Truner、 Clough、 Martin、 和 Topp 發(fā)表了在結(jié)構(gòu)力學(xué)采用有限元方法的第一篇論文，但當(dāng)時(shí)還沒有“有限元方法”這個(gè)名稱?！坝邢拊椒ā?（Finite Element Method）這個(gè)名稱，是 1960 年 Clough在一篇結(jié)構(gòu)分析的計(jì)算論文中首次明確提出的。在我國，上世紀(jì) 60 年代初期馮康等人獨(dú)立地建立了有限元方法的數(shù)學(xué)理論并應(yīng)用于工程實(shí)際問題。自從那時(shí)候起，不論國際還是國內(nèi)，隨著高速電子電子計(jì)算機(jī)的日益廣泛的應(yīng)用，有限元方法得到廣泛的發(fā)展。近年來隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的普及和計(jì)算速度的不斷提高，有限元分析在工程設(shè)計(jì)和分析中得到了越來越廣泛的重視， 已經(jīng)成為解決復(fù)雜的工程分析計(jì)算問題的有效途徑。從“有限元”這個(gè)名詞第一次出現(xiàn)，到今天有限元在工程上得到廣泛應(yīng)用，經(jīng)歷了三十多年的發(fā)展歷史，理論和算法都已經(jīng)日趨完善。有限元的核心思想是結(jié)構(gòu)的離散化，就是將實(shí)際結(jié)構(gòu)假想地離散為有限數(shù)目的規(guī)則或不規(guī)則的單元組合體，實(shí)際結(jié)構(gòu)的物理性能可以通過對(duì)離散體進(jìn)行分析，得出滿足工程精度的近似結(jié)果來替代對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)的分析，這樣可以解決很多實(shí)際工程需要解決而理論分析又無法解決的復(fù)雜問題。
1.1 有限元分析的發(fā)展現(xiàn)狀
隨著有限元方法研究的深入，過去不能解決或能解決但求解精度不高的問題，都
得到了新的解決方案。
傳統(tǒng)的有限元方法假設(shè)：分析域是無限的；材料是同質(zhì)的，甚至在大部分的分析中認(rèn)為材料是各向同性的；對(duì)邊界條件簡化處理。但實(shí)際問題往往是分析域有限、材料各向異性或邊界條件難以確定等。 為解決這類問題， 美國的 Heofanis St Rouboulis、Lin Zhang 等人提出用 GFEM(Generalized Finite Element Method) 解決分析域內(nèi)含有大量孔洞特征的問題；比利時(shí)的 Nguyen Dang Hung 和越南的 Tran Thanh Ngoc提出用 HSM(the Hybrid metis Singular element of Membrane plate) 解決實(shí)際開裂問題(結(jié)構(gòu)尺寸有限，形狀任意，邊界條件復(fù)雜，材料特性任意)。
傳統(tǒng)的有限元斷裂力學(xué)技術(shù)(the ?nite element fracture mechanics techniques)在解決零件中出現(xiàn)裂縫這類問題時(shí)，需要在曲線型裂紋前緣附近的區(qū)域細(xì)分網(wǎng)格。這樣無論是從網(wǎng)格生成的角度看還是從求解的角度看，都需要花費(fèi)大量的時(shí)間。而且在循環(huán)加載的情況下產(chǎn)生的次裂紋將會(huì)使分析變得更加復(fù)雜。為此，美國的 Daniel SPipkinsay、Satya N Atlurib 提出了 FEAM(Finite Element Alternating Method) 。該方法在求解應(yīng)力集中因子時(shí)，可在不犧牲精度的情況下節(jié)省時(shí)間，用它分析具有橢圓裂紋或部分橢圓裂紋的結(jié)構(gòu)是很有用的。此外，西班牙的 Onate E 和波蘭的 Rojek J 將 DEM(Discrete Element Method) 和有限元方法結(jié)合解決地質(zhì)力學(xué)中的動(dòng)態(tài)分析問題；瑞典的 Birgersson F 和英國的 Finnveden S 針對(duì)有限元方法在頻域中的應(yīng)用提出了 SFEM(Spectral Finite Element Method)。
在有限元方法應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)展、求解精度不斷提高的同時(shí)，有限元方法也從分析比較向優(yōu)化設(shè)計(jì)方向發(fā)展。印度 Mahanty 博士用 ANSYS 對(duì)拖拉機(jī)前橋進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)果不但降低了約 40% 的前橋自重，還避免了在制造過程中的大量焊接工藝，降低了生產(chǎn)成本。
有限元方法在國內(nèi)的應(yīng)用也十分廣泛。20 世紀(jì) 80 年代我國大連理工大學(xué)工程力學(xué)研究所開發(fā)成功了國內(nèi)第一個(gè)通用有限元程序系統(tǒng) JIGFEX，并在 1983 年開發(fā)出了它的微機(jī)版 JIG2FEX-W。目前有限元方法已滲透到工程分析的各個(gè)領(lǐng)域，從大型的三峽工程到微米級(jí)器件都采用有限元進(jìn)行分析。它在我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展中擁有廣闊的發(fā)展前景。
1.2 有限元分析的發(fā)展趨勢(shì)
近年來隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的普及和計(jì)算速度的不斷提高，有限元分析在工程設(shè)計(jì)和分析中得到了越來越廣泛的重視， 已經(jīng)成為解決復(fù)雜的工程分析計(jì)算問題的有效途徑，現(xiàn)在從汽車到航天飛機(jī)幾乎所有的設(shè)計(jì)制造都已離不開有限元分析計(jì)算，其在機(jī)械制
造、材料加工、航空航天、汽車、土木建筑、電子電器、國防軍工、船舶、鐵道、石化、
能源、科學(xué)研究等各個(gè)領(lǐng)域的廣泛使用已使設(shè)計(jì)水平發(fā)生了質(zhì)的飛躍，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：
? 增加產(chǎn)品和工程的可靠性
? 在產(chǎn)品的設(shè)計(jì)階段發(fā)現(xiàn)潛在的問題
? 經(jīng)過分析計(jì)算，采用優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，降低原材料成本
? 縮短產(chǎn)品投向市場的時(shí)間
? 模擬試驗(yàn)方案，減少試驗(yàn)次數(shù)，從而減少試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)
國際上早在上世紀(jì) 60 年代初就開始投入大量的人力和物力開發(fā)有限元分析程序，但真正的 CAE 軟件是誕生于上世紀(jì) 70 年代初期，而近 15 年則是 CAE 軟件商品化的發(fā)展階段，CAE 開發(fā)商為滿足市場需求和適應(yīng)計(jì)算機(jī)硬、軟件技術(shù)的迅速發(fā)展，在大力推銷其軟件產(chǎn)品的同時(shí)，對(duì)軟件的功能、性能，用戶界面和前、后處理能力，都進(jìn)行了大幅度的改進(jìn)與擴(kuò)充。這就使得目前市場上知名的 CAE 軟件，在功能、性能、易用性、可靠性以及對(duì)運(yùn)行環(huán)境的適應(yīng)性方面，基本上滿足了用戶的當(dāng)前需求，從而幫助用戶解決了成千上萬個(gè)工程實(shí)際問題，同時(shí)也為科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和工程應(yīng)用做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。目前流行的 CAE 分析軟件主要有 NASTRAN、 ADINA 、 ANSYS、ABAQUS、MARC、MAGSOFT、COSMOS 等。MSC-NASTRAN 軟件因?yàn)楹?NASA的特殊關(guān)系，在航空航天領(lǐng)域有著很高的地位，它以最早期的主要用于航空航天方面的線性有限元分析系統(tǒng)為基礎(chǔ)，兼并了 PDA 公司的 PATRAN，又在以沖擊、接觸為特長的 DYNA3D 的基礎(chǔ)上組織開發(fā)了 DYTRAN。近來又兼并了非線性分析軟件MARC， 成為目前世界上規(guī)模最大的有限元分析系統(tǒng)。 ANSYS 軟件致力于耦合場的分析計(jì)算， 能夠進(jìn)行結(jié)構(gòu)、 流體、 熱、 電磁四種場的計(jì)算， 已博得了世界上數(shù)千家用戶的鐘愛。ADINA 非線性有限元分析軟件由著名的有限元專家、麻省理工學(xué)院的 K.J.Bathe教授領(lǐng)導(dǎo)開發(fā)，其單一系統(tǒng)即可進(jìn)行結(jié)構(gòu)、流體、熱的耦合計(jì)算。并同時(shí)具有隱式和顯式兩種時(shí)間積分算法。由于其在非線性求解、流固耦合分析等方面的強(qiáng)大功能，迅速成為有限元分析軟件的后起之秀，現(xiàn)已成為非線性分析計(jì)算的首選軟件。
縱觀當(dāng)今國際上 CAE 軟件的發(fā)展情況，可以看出有限元分析方法的一些發(fā)展趨
勢(shì)：
1、與 CAD 軟件的無縫集成
當(dāng)今有限元分析軟件的一個(gè)發(fā)展趨勢(shì)是與通用 CAD 軟件的集成使用，即在用CAD 軟件完成部件和零件的造型設(shè)計(jì)后，能直接將模型傳送到 CAE 軟件中進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分并進(jìn)行分析計(jì)算，如果分析的結(jié)果不滿足設(shè)計(jì)要求則重新進(jìn)行設(shè)計(jì)和分析，直到滿意為止，從而極大地提高了設(shè)計(jì)水平和效率。為了滿足工程師快捷地解決復(fù)雜工程問題的要求，許多商業(yè)化有限元分析軟件都開發(fā)了和著名的 CAD 軟件（例如 Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley 和AutoCAD 等）的接口。有些 CAE 軟件為了實(shí)現(xiàn)和 CAD 軟件的無縫集成而采用了CAD 的建模技術(shù)，如 ADINA 軟件由于采用了基于 Parasolid 內(nèi)核的實(shí)體建模技術(shù)，能和以 Parasolid 為核心的 CAD 軟件（如 Unigraphics、 SolidEdge、 SolidWorks）實(shí)現(xiàn)真正無縫的雙向數(shù)據(jù)交換。
2、更為強(qiáng)大的網(wǎng)格處理能力
有限元法求解問題的基本過程主要包括：分析對(duì)象的離散化、有限元求解、計(jì)算結(jié)果的后處理三部分。由于結(jié)構(gòu)離散后的網(wǎng)格質(zhì)量直接影響到求解時(shí)間及求解結(jié)果的正確性與否，近年來各軟件開發(fā)商都加大了其在網(wǎng)格處理方面的投入，使網(wǎng)格生成的質(zhì)量和效率都有了很大的提高，但在有些方面卻一直沒有得到改進(jìn)，如對(duì)三維實(shí)體模型進(jìn)行自動(dòng)六面體網(wǎng)格劃分和根據(jù)求解結(jié)果對(duì)模型進(jìn)行自適應(yīng)網(wǎng)格劃分，除了個(gè)別商業(yè)軟件做得較好外，大多數(shù)分析軟件仍然沒有此功能。自動(dòng)六面體網(wǎng)格劃分是指對(duì)三維實(shí)體模型程序能自動(dòng)的劃分出六面體網(wǎng)格單元，現(xiàn)在大多數(shù)軟件都能采用映射、拖拉、掃略等功能生成六面體單元，但這些功能都只能對(duì)簡單規(guī)則模型適用，對(duì)于復(fù)雜的三維模型則只能采用自動(dòng)四面體網(wǎng)格劃分技術(shù)生成四面體單元。對(duì)于四面體單元，如果不使用中間節(jié)點(diǎn)，在很多問題中將會(huì)產(chǎn)生不正確的結(jié)果，如果使用中間節(jié)點(diǎn)將會(huì)引起求解時(shí)間、收斂速度等方面的一系列問題，因此人們迫切的希望自動(dòng)六面體網(wǎng)格功能的出現(xiàn)。自適應(yīng)性網(wǎng)格劃分是指在現(xiàn)有網(wǎng)格基礎(chǔ)上，根據(jù)有限元計(jì)算結(jié)果估計(jì)計(jì)算誤差、重新劃分網(wǎng)格和再計(jì)算的一個(gè)循環(huán)過程。對(duì)于許多工程實(shí)際問題，在整個(gè)求解過程中，模型的某些區(qū)域?qū)?huì)產(chǎn)生很大的應(yīng)變，引起單元畸變，從而導(dǎo)致求解不能進(jìn)行下去或求解結(jié)果不正確，因此必須進(jìn)行網(wǎng)格自動(dòng)重劃分。自適應(yīng)網(wǎng)格往往是許多工程問題如裂紋擴(kuò)展、薄板成形等大應(yīng)變分析的必要條件。
3、由求解線性問題發(fā)展到求解非線性問題
隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，線性理論已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足設(shè)計(jì)的要求，許多工程問題如材料的破壞與失效、裂紋擴(kuò)展等僅靠線性理論根本不能解決，必須進(jìn)行非線性分析求解，例如薄板成形就要求同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)的大位移、大應(yīng)變（幾何非線性）和塑性（材料非線性）； 而對(duì)塑料、 橡膠、 陶瓷、 混凝土及巖土等材料進(jìn)行分析或需考慮材料的塑性、蠕變效應(yīng)時(shí)則必須考慮材料非線性。眾所周知，非線性問題的求解是很復(fù)雜的，它不僅涉及到很多專門的數(shù)學(xué)問題，還必須掌握一定的理論知識(shí)和求解技巧，學(xué)習(xí)起來也較為困難。為此國外一些公司花費(fèi)了大量的人力和物力開發(fā)非線性求解分析軟件，如ADINA、ABAQUS 等。它們的共同特點(diǎn)是具有高效的非線性求解器、豐富而實(shí)用的非線性材料庫，ADINA 還同時(shí)具有隱式和顯式兩種時(shí)間積分方法。
4、由單一結(jié)構(gòu)場求解發(fā)展到耦合場問題的求解
有限元分析方法最早應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域，主要用來求解線性結(jié)構(gòu)問題，實(shí)踐證明這是一種非常有效的數(shù)值分析方法。而且從理論上也已經(jīng)證明，只要用于離散求解對(duì)象的單元足夠小，所得的解就可足夠逼近于精確值。現(xiàn)在用于求解結(jié)構(gòu)線性問題的有限元方法和軟件已經(jīng)比較成熟，發(fā)展方向是結(jié)構(gòu)非線性、流體動(dòng)力學(xué)和耦合場問題的求解。例如由于摩擦接觸而產(chǎn)生的熱問題，金屬成形時(shí)由于塑性功而產(chǎn)生的熱問題,需要結(jié)構(gòu)場和溫度場的有限元分析結(jié)果交叉迭代求解，即“熱力耦合”的問題。當(dāng)流體在彎管中流動(dòng)時(shí)，流體壓力會(huì)使彎管產(chǎn)生變形，而管的變形又反過來影響到流體的流動(dòng)…… 這就需要對(duì)結(jié)構(gòu)場和流場的有限元分析結(jié)果交叉迭代求解，即所謂“流固耦合”的問題。由于有限元的應(yīng)用越來越深入，人們關(guān)注的問題越來越復(fù)雜，耦合場的求解必定成為 CAE 軟件的發(fā)展方向。
5、程序面向用戶的開放性
隨著商業(yè)化的提高，各軟件開發(fā)商為了擴(kuò)大自己的市場份額， 滿足用戶的需求， 在軟件的功能、易用性等方面花費(fèi)了大量的投資，但由于用戶的要求千差萬別，不管他們?cè)鯓优σ膊豢赡軡M足所有用戶的要求，因此必須給用戶一個(gè)開放的環(huán)境，允許用戶根據(jù)自己的實(shí)際情況對(duì)軟件進(jìn)行擴(kuò)充，包括用戶自定義單元特性、用戶自定義材料本構(gòu)（結(jié)構(gòu)本構(gòu)、熱本構(gòu)、流體本構(gòu)） 、用戶自定義流場邊界條件、用戶自定義結(jié)構(gòu)斷裂判據(jù)和裂紋擴(kuò)展規(guī)律等等。
2 有限元分析理論及ANSYS軟件的介紹
有限元分析，即使用有限元方法來分析靜態(tài)或動(dòng)態(tài)的物體或系統(tǒng)。在這種方法中一個(gè)物體或系統(tǒng)被分解為由多個(gè)相互聯(lián)結(jié)的、簡單、獨(dú)立的點(diǎn)組成的幾何模型。在這種方法中這些獨(dú)立的點(diǎn)的數(shù)量是有限的，因此被稱為有限元。ANSYS軟件是融結(jié)構(gòu)、流體、電場、磁場、聲場分析于一體的大型通用有限元分析軟件。它能與多數(shù)CAD軟件接口，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的共享和交換，如Pro/Engineer, NASTRAN, Alogor, I－DEAS, AutoCAD等， 是現(xiàn)代產(chǎn)品設(shè)計(jì)中的高級(jí)CAD工具之一。
2.1 有限元分析理論
有限元分析(FEA，F(xiàn)inite Element Analysis)的基本概念是用較簡單的問題代替復(fù)雜問題后再求解，用有限元方法來分析靜態(tài)或動(dòng)態(tài)的物體或系統(tǒng)。在這種方法中一個(gè)物體或系統(tǒng)被分解為由多個(gè)相互聯(lián)結(jié)的、簡單、獨(dú)立的點(diǎn)組成的幾何模型。在這種方法中這些獨(dú)立的點(diǎn)的數(shù)量是有限的，因此被稱為有限元。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對(duì)每一單元假定一個(gè)合適的(較簡單的)近似解，然后推導(dǎo)求解這個(gè)域總的滿足條件(如結(jié)構(gòu)的平衡條件)，從而得到問題的解。這個(gè)解不是準(zhǔn)確解，而是近似解，因?yàn)閷?shí)際問題被較簡單的問題所代替。由于大多數(shù)實(shí)際問題難以得到準(zhǔn)確解，而有限元不僅計(jì)算精度高，而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。
由實(shí)際的物理模型中推導(dǎo)出來的平衡方程式被使用到每個(gè)點(diǎn)上，由此產(chǎn)生了一個(gè)方程組。這個(gè)方程組可以用線性代數(shù)的方法來求解。有限元分析的精確度無法無限提高。元的數(shù)目到達(dá)一定高度后解的精確度不再提高，只有計(jì)算時(shí)間不斷提高。
有限元分析可被用來分析比較復(fù)雜的、用一般地代數(shù)方法無法足夠精確地分析的系統(tǒng)，它可以提供使用其它方法無法提供的結(jié)果。在實(shí)踐中一般使用電腦來求解在分析時(shí)出現(xiàn)的巨量的方程組。
有限元的概念早在幾個(gè)世紀(jì)前就已產(chǎn)生并得到了應(yīng)用，例如用多邊形(有限個(gè)直線單元)逼近圓來求得圓的周長，但作為一種方法而被提出，則是最近的事。有限元法最初被稱為矩陣近似方法，應(yīng)用于航空器的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度計(jì)算，并由于其方便性、實(shí)用性和有效性而引起從事力學(xué)研究的科學(xué)家的濃厚興趣。經(jīng)過短短數(shù)十年的努力，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展和普及，有限元方法迅速從結(jié)構(gòu)工程強(qiáng)度分析計(jì)算擴(kuò)展到幾乎所有的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，成為一種豐富多彩、應(yīng)用廣泛并且實(shí)用高效的數(shù)值分析方法。
有限元方法與其他求解值問題近似方法的根本區(qū)別在于它的近似性僅限于相對(duì)小的子域中。20世紀(jì)60年代初首次提出結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算有限元概念的克拉夫(Clough)教授形象地將其描繪為：“有限元法=Rayleigh Ritz法+分片函數(shù)”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況。不同于求解(往往是困難的)滿足整個(gè)定義域邊界條件的允許函數(shù)的Rayleigh Ritz法，有限元法將函數(shù)定義在簡單幾何形狀(如二維問題中的三角形或任意四邊形)的單元域上(分片函數(shù))，且不考慮整個(gè)定義域的復(fù)雜邊界條件，這是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之一。
對(duì)于不同物理性質(zhì)和數(shù)學(xué)模型的問題，有限元求解法的基本步驟是相同的，只是具體公式推導(dǎo)和運(yùn)算求解不同。有限元求解問題的基本步驟通常為：
第一步：問題及求解域定義：根據(jù)實(shí)際問題近似確定求解域的物理性質(zhì)和幾何區(qū)域。
第二步：求解域離散化：將求解域近似為具有不同有限大小和形狀且彼此相連的有限個(gè)單元組成的離散域，習(xí)慣上稱為有限元網(wǎng)絡(luò)劃分。顯然單元越小(網(wǎng)絡(luò)越細(xì))則離散域的近似程度越好，計(jì)算結(jié)果也越精確，但計(jì)算量及誤差都將增大，因此求解域的離散化是有限元法的核心技術(shù)之一。
第三步：確定狀態(tài)變量及控制方法：一個(gè)具體的物理問題通?？梢杂靡唤M包含問題狀態(tài)變量邊界條件的微分方程式表示，為適合有限元求解，通常將微分方程化為等價(jià)的泛函形式。
第四步：單元推導(dǎo)：對(duì)單元構(gòu)造一個(gè)適合的近似解，即推導(dǎo)有限單元的列式，其中包括選擇合理的單元坐標(biāo)系，建立單元試函數(shù)，以某種方法給出單元各狀態(tài)變量的離散關(guān)系，從而形成單元矩陣(結(jié)構(gòu)力學(xué)中稱剛度陣或柔度陣)。
為保證問題求解的收斂性，單元推導(dǎo)有許多原則要遵循。對(duì)工程應(yīng)用而言，重要的是應(yīng)注意每一種單元的解題性能與約束。例如，單元形狀應(yīng)以規(guī)則為好，畸形時(shí)不僅精度低，而且有缺秩的危險(xiǎn)，將導(dǎo)致無法求解。
第五步：總裝求解：將單元總裝形成離散域的總矩陣方程(聯(lián)合方程組)，反映對(duì)近似求解域的離散域的要求，即單元函數(shù)的連續(xù)性要滿足一定的連續(xù)條件?？傃b是在相鄰單元結(jié)點(diǎn)進(jìn)行，狀態(tài)變量及其導(dǎo)數(shù)(可能的話)連續(xù)性建立在結(jié)點(diǎn)處。
第六步：聯(lián)立方程組求解和結(jié)果解釋：有限元法最終導(dǎo)致聯(lián)立方程組。聯(lián)立方程組的求解可用直接法、迭代法和隨機(jī)法。求解結(jié)果是單元結(jié)點(diǎn)處狀態(tài)變量的近似值。對(duì)于計(jì)算結(jié)果的質(zhì)量，將通過與設(shè)計(jì)準(zhǔn)則提供的允許值比較來評(píng)價(jià)并確定是否需要重復(fù)計(jì)算。
簡言之，有限元分析可分成三個(gè)階段，前處理、處理和后處理。前處理是建立有限元模型，完成單元網(wǎng)格劃分;后處理則是采集處理分析結(jié)果，使用戶能簡便提取信息，了解計(jì)算結(jié)果。
在分析一個(gè)物體或系統(tǒng)中的壓力和變形時(shí)有限元分析是一種常用的手段，此外它還被用來分析許多其它問題如熱傳導(dǎo)、流體力學(xué)和電力學(xué)。
有限元分析通常借助計(jì)算機(jī)軟件完成，著名工程軟件有 MSC NASTRAN，ADINA，LS-DYNA，ANSYS，ABAQUS，2D-sigma等。
2.2 ANSYS軟件的介紹
ANSYS軟件是融結(jié)構(gòu)、流體、電場、磁場、聲場分析于一體的大型通用有限元分析軟件。由世界上最大的有限元分析軟件公司之一的美國ANSYS開發(fā)，它能與多數(shù)CAD軟件接口，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的共享和交換，如Pro/Engineer, NASTRAN, Alogor, I－DEAS, AutoCAD等， 是現(xiàn)代產(chǎn)品設(shè)計(jì)中的高級(jí)CAD工具之一。軟件主要包括三個(gè)部分：前處理模塊，分析計(jì)算模塊和后處理模塊。前處理模塊提供了一個(gè)強(qiáng)大的實(shí)體建模及網(wǎng)格劃分工具，用戶可以方便地構(gòu)造有限元模型；分析計(jì)算模塊包括結(jié)構(gòu)分析（可進(jìn)行線性分析、非線性分析和高度非線性分析）、流體動(dòng)力學(xué)分析、電磁場分析、聲場分析、壓電分析以及多物理場的耦合分析，可模擬多種物理介質(zhì)的相互作用，具有靈敏度分析及優(yōu)化分析能力；后處理模塊可將計(jì)算結(jié)果以彩色等值線顯示、梯度顯示、矢量顯示、粒子流跡顯示、立體切片顯示、透明及半透明顯示（可看到結(jié)構(gòu)內(nèi)部）等圖形方式顯示出來，也可將計(jì)算結(jié)果以圖表、曲線形式顯示或輸出。軟件提供了100種以上的單元類型，用來模擬工程中的各種結(jié)構(gòu)和材料。該軟件有多種不同版本，可以運(yùn)行在從個(gè)人機(jī)到大型機(jī)的多種計(jì)算機(jī)設(shè)備上，如PC，SGI，HP，SUN，DEC，IBM，CRAY等。
啟動(dòng)ANSYS，進(jìn)入歡迎畫面以后，程序停留在開始平臺(tái)。從開始平臺(tái)（主菜單）可以進(jìn)入各處理模塊：PREP7（通用前處理模塊），SOLUTION（求解模塊），POST1（通用后處理模塊），POST26（時(shí)間歷程后處理模塊）。ANSYS用戶手冊(cè)的全部內(nèi)容都可以聯(lián)機(jī)查閱。
用戶的指令可以通過鼠標(biāo)點(diǎn)擊菜單項(xiàng)選取和執(zhí)行，也可以在命令輸入窗口通過鍵盤輸入。命令一經(jīng)執(zhí)行，該命令就會(huì)在.LOG文件中列出，打開輸出窗口可以看到.LOG文件的內(nèi)容。如果軟件運(yùn)行過程中出現(xiàn)問題，查看.LOG文件中的命令流及其錯(cuò)誤提示，將有助于快速發(fā)現(xiàn)問題的根源。.LOG 文件的內(nèi)容可以略作修改存到一個(gè)批處理文件中，在以后進(jìn)行同樣工作時(shí)，由ANSYS自動(dòng)讀入并執(zhí)行，這是ANSYS軟件的第三種命令輸入方式。這種命令方式在進(jìn)行某些重復(fù)性較高的工作時(shí)，能有效地提高工作速度。
ANSYS的各處理模塊具體內(nèi)容有：
①前處理模塊PREP7：
●實(shí)體建模
ANSYS程序提供了兩種實(shí)體建模方法：自頂向下與自底向上。
自頂向下進(jìn)行實(shí)體建模時(shí)，用戶定義一個(gè)模型的最高級(jí)圖元，如球、棱柱，稱為基元，程序則自動(dòng)定義相關(guān)的面、線及關(guān)鍵點(diǎn)。用戶利用這些高級(jí)圖元直接構(gòu)造幾何模型，如二維的圓和矩形以及三維的塊、球、錐和柱。無論使用自頂向下還是自底向上方法建模，用戶均能使用布爾運(yùn)算來組合數(shù)據(jù)集，從而“雕塑出”一個(gè)實(shí)體模型。ANSYS程序提供了完整的布爾運(yùn)算，諸如相加、相減、相交、分割、粘結(jié)和重疊。在創(chuàng)建復(fù)雜實(shí)體模型時(shí)，對(duì)線、面、體、基元的布爾操作能減少相當(dāng)可觀的建模工作量。ANSYS程序還提供了拖拉、延伸、旋轉(zhuǎn)、移動(dòng)、延伸和拷貝實(shí)體模型圖元的功能。附加的功能還包括圓弧構(gòu)造、切線構(gòu)造、通過拖拉與旋轉(zhuǎn)生成面和體、線與面的自動(dòng)相交運(yùn)算、自動(dòng)倒角生成、用于網(wǎng)格劃分的硬點(diǎn)的建立、移動(dòng)、拷貝和刪除。
自底向上進(jìn)行實(shí)體建模時(shí)，用戶從最低級(jí)的圖元向上構(gòu)造模型，即：用戶首先定義關(guān)鍵點(diǎn)，然后依次是相關(guān)的線、面、體。
●網(wǎng)格劃分
ANSYS程序提供了使用便捷、高質(zhì)量的對(duì)CAD模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分的功能。包括四種網(wǎng)格劃分方法：延伸劃分、映像劃分、自由劃分和自適應(yīng)劃分。延伸網(wǎng)格劃分可將一個(gè)二維網(wǎng)格延伸成一個(gè)三維網(wǎng)格。映像網(wǎng)格劃分允許用戶將幾何模型分解成簡單的幾部分，然后選擇合適的單元屬性和網(wǎng)格控制，生成映像網(wǎng)格。ANSYS程序的自由網(wǎng)格劃分器功能是十分強(qiáng)大的，可對(duì)復(fù)雜模型直接劃分，避免了用戶對(duì)各個(gè)部分分別劃分然后進(jìn)行組裝時(shí)各部分網(wǎng)格不匹配帶來的麻煩。自適應(yīng)網(wǎng)格劃分是在生成了具有邊界條件的實(shí)體模型以后，用戶指示程序自動(dòng)地生成有限元網(wǎng)格，分析、估計(jì)網(wǎng)格的離散誤差，然后重新定義網(wǎng)格大小，再次分析計(jì)算、估計(jì)網(wǎng)格的離散誤差，直至誤差低于用戶定義的值或達(dá)到用戶定義的求解次數(shù)。
②求解模塊SOLUTION
前處理階段完成建模以后，用戶可以在求解階段獲得分析結(jié)果。
點(diǎn)擊快捷工具區(qū)的SAVE_DB將前處理模塊生成的模型存盤，退出 Preprocessor，點(diǎn)擊實(shí)用菜單項(xiàng)中的Solution，進(jìn)入分析求解模塊。在該階段，用戶可以定義分析類型、分析選項(xiàng)、載荷數(shù)據(jù)和載荷步選項(xiàng)，然后開始有限元求解。
ANSYS軟件提供的分析類型如下：
1.結(jié)構(gòu)靜力分析
用來求解外載荷引起的位移、應(yīng)力和力。靜力分析很適合求解慣性和阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)的影響并不顯著的問題。ANSYS程序中的靜力分析不僅可以進(jìn)行線性分析，而且也可以進(jìn)行非線性分析，如塑性、蠕變、膨脹、大變形、大應(yīng)變及接觸分析。
2.結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析
結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析用來求解隨時(shí)間變化的載荷對(duì)結(jié)構(gòu)或部件的影響。與靜力分析不同，動(dòng)力分析要考慮隨時(shí)間變化的力載荷以及它對(duì)阻尼和慣性的影響。ANSYS可進(jìn)行的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析類型包括：瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析、模態(tài)分析、諧波響應(yīng)分析及隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析。
3.結(jié)構(gòu)非線性分析
結(jié)構(gòu)非線性導(dǎo)致結(jié)構(gòu)或部件的響應(yīng)隨外載荷不成比例變化。ANSYS程序可求解靜態(tài)和瞬態(tài)非線性問題，包括材料非線性、幾何非線性和單元非線性三種。
4.動(dòng)力學(xué)分析
ANSYS程序可以分析大型三維柔體運(yùn)動(dòng)。當(dāng)運(yùn)動(dòng)的積累影響起主要作用時(shí)，可使用這些功能分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)在空間中的運(yùn)動(dòng)特性，并確定結(jié)構(gòu)中由此產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和變形。
5.熱分析
程序可處理熱傳遞的三種基本類型：傳導(dǎo)、對(duì)流和輻射。熱傳遞的三種類型均可進(jìn)行穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)、線性和非線性分析。熱分析還具有可以模擬材料固化和熔解過程的相變分析能力以及模擬熱與結(jié)構(gòu)應(yīng)力之間的熱－結(jié)構(gòu)耦合分析能力。
6.電磁場分析
主要用于電磁場問題的分析，如電感、電容、磁通量密度、渦流、電場分布、磁力線分布、力、運(yùn)動(dòng)效應(yīng)、電路和能量損失等。還可用于螺線管、調(diào)節(jié)器、發(fā)電機(jī)、變換器、磁體、加速器、電解槽及無損檢測裝置等的設(shè)計(jì)和分析領(lǐng)域。
7.流體動(dòng)力學(xué)分析
ANSYS流體單元能進(jìn)行流體動(dòng)力學(xué)分析，分析類型可以為瞬態(tài)或穩(wěn)態(tài)。分析結(jié)果可以是每個(gè)節(jié)點(diǎn)的壓力和通過每個(gè)單元的流率。并且可以利用后處理功能產(chǎn)生壓力、流率和溫度分布的圖形顯示。另外，還可以使用三維表面效應(yīng)單元和熱－流管單元模擬結(jié)構(gòu)的流體繞流并包括對(duì)流換熱效應(yīng)。
8.聲場分析
程序的聲學(xué)功能用來研究在含有流體的介質(zhì)中聲波的傳播，或分析浸在流體中的固體結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。這些功能可用來確定音響話筒的頻率響應(yīng)，研究音樂大廳的聲場強(qiáng)度分布，或預(yù)測水對(duì)振動(dòng)船體的阻尼效應(yīng)。
9.壓電分析
用于分析二維或三維結(jié)構(gòu)對(duì)AC（交流）、DC（直流）或任意隨時(shí)間變化的電流或機(jī)械載荷的響應(yīng)。這種分析類型可用于換熱器、振蕩器、諧振器、麥克風(fēng)等部件及其它電子設(shè)備的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能分析?？蛇M(jìn)行四種類型的分析：靜態(tài)分析、模態(tài)分析、諧波響應(yīng)分析、瞬態(tài)響應(yīng)分析
③后處理模塊POST1和POST26
ANSYS軟件的后處理過程包括兩個(gè)部分：通用后處理模塊POST1和時(shí)間歷程后處理模塊POST26。通過友好的用戶界面，可以很容易獲得求解過程的計(jì)算結(jié)果并對(duì)其進(jìn)行顯示。這些結(jié)果可能包括位移、溫度、應(yīng)力、應(yīng)變、速度及熱流等，輸出形式可以有圖形顯示和數(shù)據(jù)列表兩種。
●通用后處理模塊POST1
點(diǎn)擊實(shí)用菜單項(xiàng)中的“General Postproc”選項(xiàng)即可進(jìn)入通用后處理模塊。這個(gè)模塊對(duì)前面的分析結(jié)果能以圖形形式顯示和輸出。例如，計(jì)算結(jié)果（如應(yīng)力）在模型上的變化情況可用等值線圖表示，不同的等值線顏色，代表了不同的值（如應(yīng)力值）。濃淡圖則用不同的顏色代表不同的數(shù)值區(qū)（如應(yīng)力范圍），清晰地反映了計(jì)算結(jié)果的區(qū)域分布情況。
●時(shí)間歷程響應(yīng)后處理模塊POST26
點(diǎn)擊實(shí)用菜單項(xiàng)中的TimeHist Postpro選項(xiàng)即可進(jìn)入時(shí)間歷程響應(yīng)后處理模塊。這個(gè)模塊用于檢查在一個(gè)時(shí)間段或子步歷程中的結(jié)果，如節(jié)點(diǎn)位移、應(yīng)力或支反力。這些結(jié)果能通過繪制曲線或列表查看。繪制一個(gè)或多個(gè)變量隨頻率或其它量變化的曲線，有助于形象化地表示分析結(jié)果。另外，POST26還可以進(jìn)行曲線的代數(shù)運(yùn)算。
④ANSYS軟件的質(zhì)量認(rèn)證
ANSYS軟件是第一個(gè)通過ISO9001質(zhì)量認(rèn)證的大型分析設(shè)計(jì)類軟件，是美國機(jī)械工程師協(xié)會(huì)（ASME）、美國核安全局（NQA）及近二十種專業(yè)技術(shù)協(xié)會(huì)認(rèn)證的標(biāo)準(zhǔn)分析軟件。在國內(nèi)第一個(gè)通過了中國壓力容器標(biāo)準(zhǔn)化技術(shù)委員會(huì)認(rèn)證并在國務(wù)院十七個(gè)部委推廣使用。
3 模型及系統(tǒng)分析
本論文所要研究的是大型龍門銑床主軸滑枕有限元分析。首先是介紹ANSYS實(shí)體建模的基本方法。有限元分析是針對(duì)特定的模型而進(jìn)行的，因此，必須建立一個(gè)有物理原型的準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型。一般情況下，有限元模型包含所有的節(jié)點(diǎn)、單元、材料屬性、實(shí)常數(shù)、邊界條件、荷載條件以及用這些條件來定義的物理場特征。建模與網(wǎng)格劃分是有限元分析的基礎(chǔ)。而后是對(duì)該模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析是用來求解隨時(shí)間變化的荷載對(duì)結(jié)構(gòu)或部件的影響。與靜力學(xué)分析不同，動(dòng)力學(xué)分析要考慮隨時(shí)間變化的力荷載以及它對(duì)阻尼和慣性的影響。ANSYS可進(jìn)行的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析類型包括：模態(tài)分析、瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析、諧波響應(yīng)分析及隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析。在實(shí)際工程中，結(jié)構(gòu)除了受永久性荷載作用外，還會(huì)受到或大或小的動(dòng)荷載作用。通常，當(dāng)荷載變化緩慢，變化周期遠(yuǎn)大于結(jié)構(gòu)的自振周期時(shí)，其動(dòng)力響應(yīng)是很小的，可將它作為靜力荷載處理。反之，對(duì)于那些變化激烈，動(dòng)力作用顯著的荷載必須考慮結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。常見的動(dòng)力荷載有簡諧荷載、沖擊荷載、突加荷載、快速移動(dòng)荷載和隨機(jī)荷載等。在本文中分別對(duì)實(shí)體模型的模態(tài)頻率、模態(tài)振型、瞬態(tài)動(dòng)力分析及簡諧激勵(lì)下的諧響應(yīng)進(jìn)行分析，在每一項(xiàng)中，又分別對(duì)不同參數(shù)的模型（即模型加強(qiáng)筋厚度分別為15mm、20mm、25mm）進(jìn)行分析和比較，得出結(jié)論。
3.1 模型描述
首先介紹ANSYS建模的基本方法。由節(jié)點(diǎn)和單元構(gòu)成的有限元模型與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的幾何外形是基本一致的。有限元模型的建立可分為直接法和間接法。直接法是根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何外形建立節(jié)點(diǎn)和單元，因此它只適用于簡單的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。間接法適用于節(jié)點(diǎn)及單元數(shù)目較多的復(fù)雜幾何外形的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，該方法通過點(diǎn)、線、面和體，先建立有限元模型，再進(jìn)行實(shí)體網(wǎng)格劃分，以完成有限元模型的建立。
實(shí)體模型的建立有下列3種方法：
●自底向上法（Bottom-up Method）
由建立最低單元的點(diǎn)到最高單元的體，即先建立點(diǎn)，再由點(diǎn)連成線，然后由線組合成面，最后由面組合成體。
●自頂向下（Top-down Method）
此方法直接建立較高單元對(duì)象，同時(shí)將一起產(chǎn)生所對(duì)應(yīng)的較低單元對(duì)象，對(duì)象單元商低順序依次為體、面、線及點(diǎn)。所謂布爾運(yùn)算就是對(duì)對(duì)象進(jìn)行相互加、減或者組合等操作。
●混合使用前兩種方法
通常，可結(jié)合前兩種方法進(jìn)行綜合運(yùn)用，但應(yīng)考慮到要獲得什么樣的有限元模型，即在進(jìn)行網(wǎng)格劃分時(shí)，是要產(chǎn)生自由網(wǎng)格劃分還是對(duì)應(yīng)網(wǎng)格劃分。自由網(wǎng)格劃分時(shí)，實(shí)體模型的建立比較簡單，只要所有的面或體能接合成一個(gè)體就可以；對(duì)應(yīng)網(wǎng)格劃分時(shí)，平面結(jié)構(gòu)一定要由四邊形或三邊形的面相接而成，立體結(jié)構(gòu)一定要由六面體相接而成。
然后說明本論文中龍門銑床主軸滑枕模型的設(shè)計(jì)參數(shù)及建立方法。
龍門銑床主軸滑枕工作狀態(tài)為：
1、 輸入電機(jī)（交流伺服）：功率37kW，額定轉(zhuǎn)速1500rpm，額定扭矩235.5Nm；
2、 傳動(dòng)箱傳動(dòng)比：高擋1.4，低擋6.776；
3、 主軸轉(zhuǎn)速220rpm，最大輸出扭矩1595Nm；
4、 使用刀具直徑200mm，刀盤齒數(shù)10，刀盤厚度70mm；
5、 主軸直徑128.57mm；
6、 滑枕與滑座之間靠六面導(dǎo)軌、壓板約束，長度為1500mm；
7、 滑枕材料為球墨鑄鐵QT600-3A;
8、 滑枕全長2500mm，滑枕伸出滑座1000mm，使用直徑200mm的刀盤，承受切削扭矩1595Nm，環(huán)境溫度變化15℃，電機(jī)與傳動(dòng)箱發(fā)熱的溫升為30℃。
有限元模型建立的好壞關(guān)系到分析計(jì)算的準(zhǔn)確性和計(jì)算成本。一般而言，可采用三維CAD軟件建立待分析結(jié)構(gòu)的三維實(shí)體模型，然后通過初始圖形交換規(guī)范 (Initial Graphics Exchange Specification，IGES) 導(dǎo)入有限元分析軟件中，然而，對(duì)復(fù)雜模型而言，該方法基本上不能成功。因此，使用較多的利用有限元分析軟件本身的建模功能，忽略細(xì)節(jié)信息，獲得具有幾何近似性的求解模型。本論文采用ANSYS軟件，用自底向上法（Bottom-up Method），即利用點(diǎn)、線、面、體的模型生成方法，編寫求解命令流文件，生成滑枕模型，并求出滑枕的變形量及其分布情況,對(duì)滑枕的結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。
滑枕主軸組合模型：有限元分析實(shí)體模型如圖1(a)所示，網(wǎng)格剖分如圖1(b)所示。用SOLID45單元求解，劃分單元數(shù)目68939個(gè)。
（a）實(shí)體模型 （b）網(wǎng)格剖分
圖1 滑枕主軸組合模型
3.2 主軸滑枕靜力分析
靜力分析計(jì)算在固定不變的荷載作用下結(jié)構(gòu)的效應(yīng)，它不考慮慣性和阻尼的影響，例如結(jié)構(gòu)受隨時(shí)間變化荷載的情況?？墒?，靜力分析可以計(jì)算那些固定不變的慣性荷載對(duì)結(jié)構(gòu)影響（例如重力和離心力），以及那些可以近似為等價(jià)靜力作用的隨時(shí)間變化荷載（例如通常在許多建筑規(guī)范中所定義的等價(jià)靜力風(fēng)載和地震荷載）。
靜力分析用于計(jì)算由那些不包括慣性和阻尼效應(yīng)的荷載作用于結(jié)構(gòu)或部件上所引起的位移、應(yīng)力、應(yīng)變和力。固定不變的荷載和響應(yīng)是一種假定，即假定荷載和結(jié)構(gòu)的響應(yīng)隨時(shí)間的變化非常緩慢。靜力分析所施加的荷載包括：外部施加的作用力和壓力、穩(wěn)態(tài)的慣性力（如重力和離心力）、位移荷載及溫度荷載。靜力分析既可以是線性的也可以是非線性的。非線性靜力分析包括所有的非線性類型：大變形、塑性、蠕變、應(yīng)力剛化、接觸（間隙）單元以及超彈性單元等。
3.2.1 加強(qiáng)筋厚度為15mm時(shí)主軸滑枕靜力分析
工況：滑枕伸出滑座1000mm，約束住滑槽3個(gè)面兩個(gè)方向移動(dòng)，同時(shí)約束住滑槽沿Z方向的移動(dòng)，約束加在側(cè)面上一個(gè)小區(qū)域。
采用SOLID45單元求解，劃分單元數(shù)目68939個(gè)。將銑削力作為動(dòng)態(tài)力，乘以動(dòng)載荷系數(shù)10，則實(shí)加力為：10×F1＝7975N×10＝79750N。
圖2(a)、2(c)所示為變形圖，最大變形為：0.14122mm。圖2(b)、2(d)所示為應(yīng)力云圖；最大應(yīng)力為集中力作用點(diǎn)，而滑塊上應(yīng)力不超過1.402MPa，該結(jié)構(gòu)強(qiáng)度足夠。
(b) X方向應(yīng)力云圖
(a) X方向變形圖
(d) 總應(yīng)力云圖
(c) 總變形圖
圖2 變形和應(yīng)力云圖
結(jié)論：工況求解獲得最大變形為0.14122mm，應(yīng)力求解結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于鋼材屈服極限306Mpa，結(jié)果強(qiáng)度足夠。
3.2.2 加強(qiáng)筋厚度為20mm時(shí)主軸滑枕靜力分析
工況：滑枕伸出滑座1000mm，約束住滑槽3個(gè)面兩個(gè)方向移動(dòng)，同時(shí)約束住滑槽沿Z方向的移動(dòng)，約束加在側(cè)面上一個(gè)小區(qū)域。
采用SOLID45單元求解，劃分單元數(shù)目68939個(gè)。將銑削力作為動(dòng)態(tài)力，乘以動(dòng)載荷系數(shù)10，則實(shí)加力為：10×F1＝7975N×10＝79750N。
圖3(a)、3(c)所示為變形圖，最大變形為：0.14027mm。圖3(b)、3(d)所示為應(yīng)力云圖；最大應(yīng)力為集中力作用點(diǎn)，而滑塊上應(yīng)力不超過1.412MPa，該結(jié)構(gòu)強(qiáng)度足夠。
(b) X方向應(yīng)力云圖
(a) X方向變形圖
(d) 總應(yīng)力云圖
(c) 總變形圖
圖3 變形和應(yīng)力云圖
結(jié)論：工況求解獲得最大變形為0.14027mm,應(yīng)力求解結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于鋼材屈服極限306Mpa，結(jié)果強(qiáng)度足夠。
3.2.3 加強(qiáng)筋厚度為25mm時(shí)主軸滑枕靜力分析
工況：滑枕伸出滑座1000mm，約束住滑槽3個(gè)面兩個(gè)方向移動(dòng)，同時(shí)約束住滑槽沿Z方向的移動(dòng)，約束加在側(cè)面上一個(gè)小區(qū)域。
采用SOLID45單元求解，劃分單元數(shù)目68939個(gè)。將銑削力作為動(dòng)態(tài)力，乘以動(dòng)載荷系數(shù)10，則實(shí)加力為：10×F1＝7975N×10＝79750N。
圖4(a)、4(c)所示為變形圖，最大變形為：1.735mm。圖4(b)、4(d)所示為應(yīng)力云圖；最大應(yīng)力為集中力作用點(diǎn)，而滑塊上應(yīng)力達(dá)到576.261MPa，該結(jié)構(gòu)強(qiáng)度不夠。
(b) X方向應(yīng)力云圖
(a) X方向變形圖
(d) 總應(yīng)力云圖
(c) 總變形圖
圖4 變形和應(yīng)力云圖
結(jié)論：工況求解獲得最大變形為1.735mm，應(yīng)力求解結(jié)果大于鋼材屈服極限306Mpa，結(jié)果強(qiáng)度不夠。
3.2.4 結(jié)論
由以上3點(diǎn)可以看出，在相同工況下，加強(qiáng)筋厚度為15mm時(shí)，求解獲得最大變形為0.14122mm,應(yīng)力求解結(jié)果1.402MPa遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于鋼材屈服極限306Mpa，強(qiáng)度足夠；加強(qiáng)筋厚度為20mm時(shí)，求解獲得最大變形為0.14027mm,應(yīng)力求解結(jié)果1.412MPa遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于鋼材屈服極限306Mpa，強(qiáng)度足夠；加強(qiáng)筋厚度為25mm時(shí)，求解獲得最大變形為1.735mm,應(yīng)力求解結(jié)果576.261MPa大于鋼材屈服極限306Mpa，強(qiáng)度不夠。
相比較可以看出，加強(qiáng)筋厚度為15mm、20mm時(shí)，滑枕強(qiáng)度都足夠。而且可以發(fā)現(xiàn)，一方面，變形最大的位置在滑塊上下底面靠近刀盤的部位，應(yīng)該采取結(jié)構(gòu)措施，減少變形量；另一方面，當(dāng)單側(cè)力加載時(shí)，變形量普遍偏大，其原因在于滑塊為彎扭組合變形。同時(shí)，假如結(jié)構(gòu)載荷對(duì)稱性好，對(duì)減少滑塊變形有利。
3.3 主軸滑枕動(dòng)力學(xué)分析
針對(duì)該結(jié)構(gòu)具有穩(wěn)定的激勵(lì)源（電機(jī)），對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析、瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析和諧響應(yīng)分析，求出系統(tǒng)的模態(tài)頻率、模態(tài)振型、瞬態(tài)動(dòng)力響應(yīng)及諧響應(yīng)，考察結(jié)構(gòu)抗振動(dòng)性。針對(duì)該結(jié)構(gòu)主軸剛性足夠的特點(diǎn)，并結(jié)合排查問題的需要，在對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理簡化的基礎(chǔ)上，分析主軸滑枕在力矩作用下的變形和應(yīng)力發(fā)布狀況。
3.3.1 主軸滑枕模態(tài)頻率
模態(tài)分析主要用于確定設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)或機(jī)械部件的振動(dòng)特性，即結(jié)構(gòu)的固有頻率和各階振型，它們是承受動(dòng)態(tài)荷載結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的重要參數(shù)，也是其他各類型動(dòng)力學(xué)分析（如諧響應(yīng)分析、瞬態(tài)動(dòng)力分析等）的基礎(chǔ)。
ANSYS的模態(tài)分析是一個(gè)線性分析，因此在模態(tài)分析中，任何非線性特性，例如塑性和接觸單元，即使定義了也會(huì)被忽略。ANSYS求解模態(tài)分析的方法有子空間法、分塊Lanczos法、縮減法、非對(duì)稱法、阻尼法、QR阻尼法以及PowerDynamics法等。在很多場合，模態(tài)分析都起到舉足輕重的作用，例如結(jié)構(gòu)都必須避免共振。進(jìn)行模態(tài)分析之后，可以了解結(jié)構(gòu)的固有頻率和振動(dòng)型式，并對(duì)此采取必要的措施，從而避免在使用中由于共振的因素造成不必要的損失。
工況：滑枕伸出滑座1000mm，約束住滑槽3個(gè)面兩個(gè)方向移動(dòng)，同時(shí)約束住滑槽沿Z方向的移動(dòng)，約束加在側(cè)面上一個(gè)小區(qū)域。
(1)加強(qiáng)筋厚度為15mm時(shí)主軸滑枕模態(tài)頻率
前10階模態(tài)頻率求解結(jié)果如表1所示：
表1 前10階頻率(Hz)
階數(shù)
頻率（HZ）
階數(shù)
頻率（HZ）
1
163.65
6
807.20
2
168.27
7
841.89
3
392.98
8
1173.1
4
418.31
9
1194.9
5
766.59
10
1256.9
結(jié)論：基頻(第1階固有頻率)為163.65Hz。遠(yuǎn)高于電機(jī)工頻激勵(lì)（1500rpm/60m=25Hz）。因此，滑枕本身不可能由于傳遞系統(tǒng)激勵(lì)作用而產(chǎn)生過大的振動(dòng)。
(2)加強(qiáng)筋厚度為20mm時(shí)主軸滑枕模態(tài)頻率
前10階模態(tài)頻率求解結(jié)果如表2所示：
表2 前10階頻率(Hz)
階數(shù)
頻率（HZ）
階數(shù)
頻率（HZ）
1
163.90
6
808.94
2
168.69
7
842.57
3
392.83
8
1174.3
4
421.14
9
1201.2
5
768.55
10
1266.8
結(jié)論：基頻(第1階固有頻率)為163.90Hz。遠(yuǎn)高于電機(jī)工頻激勵(lì)（1500rpm/60m=25Hz）。因此，滑枕本身不可能由于傳遞系統(tǒng)激勵(lì)作用而產(chǎn)生過大的振動(dòng)。
(3)加強(qiáng)筋厚度為25mm時(shí)主軸滑枕模態(tài)頻率
前10階模態(tài)頻率求解結(jié)果如表3所示：
階數(shù)
頻率（HZ）
階數(shù)
頻率（HZ）
1
163.98
6
810.27
2
168.70
7
843.29
3
392.83
8
1171.9
4
423.89
9
1205.6
5
768.43
10
1275.8
表3 前10階頻率(Hz)
結(jié)論：基頻(第1階固有頻率)為163.98Hz。遠(yuǎn)高于電機(jī)工頻激勵(lì)（1500rpm/60m=25Hz）。因此，滑枕本身不可能由于傳遞系統(tǒng)激勵(lì)作用而產(chǎn)生過大的振動(dòng)。
(4)結(jié)論
比較表1、表2、表3中所得模態(tài)頻率，可以看出，工況基頻分別為163.65Hz、163.90 Hz、163.98 Hz，并且3個(gè)基頻相差不大，都遠(yuǎn)高于電機(jī)工頻激勵(lì)頻率（1500rpm/60m=25Hz）。在相同工況下，隨著加強(qiáng)筋厚度的增大，相同階數(shù)下主軸滑枕的固有頻率也在相應(yīng)地增大。通過模態(tài)分析可知：該結(jié)構(gòu)不會(huì)因?yàn)殡姍C(jī)工頻率激勵(lì)而產(chǎn)生共振。
3.3.2 主軸滑枕模態(tài)振型
模態(tài)分析是用來確定結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性的一種技術(shù)，通過它可以確定自然頻率、振型和振型參與系數(shù)（即在特定方向上某個(gè)振型在多大程度上參與了振動(dòng)）。
進(jìn)行模態(tài)分析可以使結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)避免共振或以特定頻率進(jìn)行振動(dòng)（例如揚(yáng)聲器），可以使工程師認(rèn)識(shí)到結(jié)構(gòu)對(duì)于不同類型的動(dòng)力載荷是如何響應(yīng)的，也有助于在其他動(dòng)力分析中估算求解控制參數(shù)（如時(shí)間步長）。由于結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性決定結(jié)構(gòu)對(duì)于各種動(dòng)力載荷的響應(yīng)情況，所以在準(zhǔn)備進(jìn)行其他動(dòng)力分析之前首先要進(jìn)行模態(tài)分析。
工況：滑枕伸出滑座1000mm，約束住滑槽3個(gè)面兩個(gè)方向移動(dòng)，同時(shí)約束住滑槽沿Z方向的移動(dòng)，約束加在側(cè)面上一個(gè)小區(qū)域。
(1)加強(qiáng)筋厚度為15mm時(shí)主軸滑枕模態(tài)振型
前6階振型如圖5所示，以彎扭組合變形為主，表明：一旦發(fā)生結(jié)構(gòu)上共振或自激振動(dòng)，將產(chǎn)生過大的彎扭組合變形。
(b) 第2階振型
(a) 第1階振型
(d) 第4階振型
(c) 第3階振型
(e) 第5階振型 (f) 第6階振型
圖5 懸伸1000mm時(shí)滑枕主軸組合模型前6階振型
(2)加強(qiáng)筋厚度為20mm時(shí)主軸滑枕模態(tài)振型
前6階振型如圖6所示，以彎扭組合變形為主，表明：一旦發(fā)生結(jié)構(gòu)上共振或自激振動(dòng)，將產(chǎn)生過大的彎扭組合變形。
(b) 第2階振型
(a) 第1階振型
(d) 第4階振型
(c) 第3階振型
(e) 第5階振型 (f) 第6階振型
圖6 懸伸1000mm時(shí)滑枕主軸組合模型前6階振型
(3)加強(qiáng)筋厚度為25mm時(shí)主軸滑枕模態(tài)振型
前6階振型如圖7所示，以彎扭組合變形為主，表明：一旦發(fā)生結(jié)構(gòu)上共振或自激振動(dòng)，將產(chǎn)生過大的彎扭組合變形。
(b) 第2階振型
(a) 第1階振型
(d) 第4階振型
(c) 第3階振型
(e) 第5階振型 (f) 第6階振型
圖7 懸伸1000mm時(shí)滑枕主軸組合模型前6階振型
(4)結(jié)論
由前面模態(tài)頻率分析可知，不同加強(qiáng)筋厚度下，工況基頻分別為163.65Hz、163.90 Hz、163.98Hz，遠(yuǎn)高于電機(jī)工頻激勵(lì)頻率（1500rpm/60m=25Hz）。通過模態(tài)分析可知：該結(jié)構(gòu)不會(huì)因?yàn)殡姍C(jī)工頻率激勵(lì)而產(chǎn)生共振，而且隨著加強(qiáng)筋厚度的增大，主軸滑枕的基頻也相應(yīng)增大，而相應(yīng)的振型變形卻相應(yīng)減小。
3.3.3 主軸滑枕瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析
瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析完全不同于靜力學(xué)分析，它分析結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性，包括各種運(yùn)動(dòng)或爆破問題的分析。動(dòng)力學(xué)分析是結(jié)構(gòu)分析的一大分支，有其自身的一套理論體系和求解方法，ANSYS的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析中除了其自身的分析模塊外，還有LS-DYNA模塊。
瞬態(tài)動(dòng)力分析又稱為時(shí)間歷程分析，用來確定結(jié)構(gòu)在隨時(shí)間變化的荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)，可以用它來分析隨時(shí)間變化的位移、應(yīng)變、應(yīng)力