2020版高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 1.2 函數(shù)的極值學(xué)案(含解析)北師大版選修1 -1.docx
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12函數(shù)的極值學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解函數(shù)極值的概念,會(huì)從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.掌握函數(shù)極值的判定及求法3掌握函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的極值點(diǎn)與極值的概念1.如圖1,在包含x0的一個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)yf(x)在任何一點(diǎn)的函數(shù)值都小于或等于x0點(diǎn)的函數(shù)值,稱點(diǎn)x0為函數(shù)yf(x)的極大值點(diǎn),其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極大值2如圖2,在包含x0的一個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)yf(x)在任何一點(diǎn)的函數(shù)值都大于或等于x0點(diǎn)的函數(shù)值,稱點(diǎn)x0為函數(shù)yf(x)的極小值點(diǎn),其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極小值3極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)極值的判定1單調(diào)性判別:(1)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,x0)上是增加的,在區(qū)間(x0,b)上是減少的,則x0是極大值點(diǎn),f(x0)是極大值(2)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,x0)上是減少的,在區(qū)間(x0,b)上是增加的,則x0是極小值點(diǎn),f(x0)是極小值2圖表判別:(1)極大值的判定:x(a,x0)x0(x0,b)f(x)0yf(x)增加極大值減少(2)極小值的判定:x(a,x0)x0(x0,b)f(x)0yf(x)減少極小值增加知識(shí)點(diǎn)三求函數(shù)yf(x)的極值的步驟1求出導(dǎo)數(shù)f(x)2解方程f(x)0.3對(duì)于方程f(x)0的每一個(gè)解x0,分析f(x)在x0左、右兩側(cè)的符號(hào)(即f(x)的單調(diào)性),確定極值點(diǎn):(1)若f(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)為“左正右負(fù)”,則x0為極大值點(diǎn);(2)若f(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)為“左負(fù)右正”,則x0為極小值點(diǎn);(3)若f(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)相同,則x0不是極值點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)()2在可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)處,切線與x軸平行()3函數(shù)f(x)無極值()4定義在a,b上的連續(xù)函數(shù)f(x)若有極值f(x0),則x0(a,b)()5函數(shù)的極值點(diǎn)一定是其導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)()題型一求函數(shù)的極值例1求下列函數(shù)的極值(1)f(x)2x33x212x1;(2)f(x)x22lnx.考點(diǎn)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點(diǎn)不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題解(1)函數(shù)f(x)2x33x212x1的定義域?yàn)镽,f(x)6x26x126(x2)(x1),解方程6(x2)(x1)0,得x12,x21.當(dāng)x變化時(shí),f(x)與f(x)的變化情況如下表:x(,2)2(2,1)1(1,)f(x)00f(x)極大值21極小值6所以當(dāng)x2時(shí),f(x)取極大值21;當(dāng)x1時(shí),f(x)取極小值6.(2)函數(shù)f(x)x22lnx的定義域?yàn)?0,),f(x)2x,解方程0,得x11,x21(舍去)當(dāng)x變化時(shí),f(x)與f(x)的變化情況如下表:x(0,1)1(1,)f(x)0f(x)極小值1因此當(dāng)x1時(shí),f(x)有極小值1,無極大值反思感悟求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域,求導(dǎo)數(shù)f(x)(2)求f(x)的拐點(diǎn),即求方程f(x)0的根(3)利用f(x)與f(x)隨x的變化情況表,根據(jù)極值點(diǎn)左右兩側(cè)單調(diào)性的變化情況求極值特別提醒:在判斷f(x)的符號(hào)時(shí),借助圖像也可判斷f(x)各因式的符號(hào),還可用特殊值法判斷跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)ex(axb)x24x,曲線yf(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程為y4x4.(1)求a,b的值;(2)討論f(x)的單調(diào)性,并求f(x)的極大值考點(diǎn)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點(diǎn)不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題解(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axab)2x4,f(0)ab44,又f(0)b4,由可得ab4.(2)f(x)ex(4x4)x24x,則f(x)ex(4x8)2x44ex(x2)2(x2)(x2)(4ex2)令f(x)0,得x12,x2ln2,當(dāng)x變化時(shí),f(x)與f(x)的變化情況如下表:x(,2)2(2,ln2)ln2(ln2,)f(x)00f(x)極大值極小值f(x)在(,2),(ln2,)上是增加的,在(2,ln2)上是減少的當(dāng)x2時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值,極大值為f(2)4(1e2)題型二已知函數(shù)極值(或極值點(diǎn))求參數(shù)例2設(shè)x1與x2是函數(shù)f(x)alnxbx2x的兩個(gè)極值點(diǎn)(1)試確定常數(shù)a和b的值;(2)判斷x1,x2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn),并說明理由解(1)f(x)alnxbx2x,f(x)2bx1.由題意可知f(1)f(2)0,解方程組得a,b,經(jīng)驗(yàn)證,當(dāng)a,b時(shí),x1與x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)f(x)lnxx2x.(2)x1,x2分別是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),極大值點(diǎn)理由如下:f(x)x1x1x1.又f(x)的定義域?yàn)?0,),當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)0;當(dāng)x(2,)時(shí),f(x)0,此時(shí)f(x)是增加的;當(dāng)x(3,1)時(shí),f(x)0,此時(shí)f(x)是增加的故f(x)在x1處取得極小值,a2,b9.(2)f(x)x22xa,由題意得方程x22xa0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,44a0,解得a1.題型三函數(shù)極值的綜合應(yīng)用例3已知函數(shù)f(x)x33ax1(a0)若函數(shù)f(x)在x1處取得極值,直線ym與yf(x)的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn),求m的取值范圍考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根解因?yàn)閒(x)在x1處取得極值且f(x)3x23a,所以f(1)3(1)23a0,所以a1,所以f(x)x33x1,f(x)3x23,由f(x)0,解得x11,x21.當(dāng)x0;當(dāng)1x1時(shí),f(x)1時(shí),f(x)0.所以由f(x)的單調(diào)性可知,f(x)在x1處取得極大值f(1)1,在x1處取得極小值f(1)3.作出f(x)的大致圖像如圖所示因?yàn)橹本€ym與函數(shù)yf(x)的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn),結(jié)合f(x)的圖像可知,m的取值范圍是(3,1)引申探究若本例“三個(gè)不同的交點(diǎn)”改為“兩個(gè)不同的交點(diǎn)”結(jié)果如何?改為“一個(gè)交點(diǎn)”呢?解由本例解析可知當(dāng)m3或m1時(shí),直線ym與yf(x)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn);當(dāng)m1時(shí),直線ym與yf(x)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)反思感悟利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性,研究函數(shù)的極值情況,并能在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖像,從直觀上判斷函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)或兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù),從而為研究方程根的個(gè)數(shù)問題提供了方便跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)x36x29x3,若函數(shù)yf(x)的圖像與yf(x)5xm的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根解由f(x)x36x29x3,可得f(x)3x212x9,f(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m,則由題意可得x36x29x3x2x3m有三個(gè)不相等的實(shí)根,即g(x)x37x28xm的圖像與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)g(x)3x214x8(3x2)(x4),令g(x)0,得x或x4.當(dāng)x變化時(shí),g(x),g(x)的變化情況如下表:x4(4,)g(x)00g(x)m16m則函數(shù)g(x)的極大值為gm,極小值為g(4)16m.由yf(x)的圖像與yf(x)5xm的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn),得解得16m0)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則a0.設(shè)函數(shù)ylnx1上任一點(diǎn)(x0,1lnx0)處的切線為l,則切線斜率kl,當(dāng)l過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),解得x01,則kl1,令2a1,得a,結(jié)合圖像知0aBaCa且a0Da且a0考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)極值存在性問題答案C解析f(x)3ax22x1,令f(x)0,即3ax22x10有兩個(gè)不等實(shí)根,則得a0,則f(x)是增加的;當(dāng)x(2,2)時(shí),f(x)0,則f(x)是減少的,f(x)的極小值點(diǎn)為a2.4設(shè)函數(shù)f(x)6x33(a2)x22ax.若f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1,x2,且x1x21,則實(shí)數(shù)a的值為_答案9解析f(x)18x26(a2)x2a.由已知f(x1)f(x2)0,從而x1x21,所以a9.5已知曲線f(x)x3ax2bx1在點(diǎn)(1,f(1)處的切線斜率為3,且x是yf(x)的極值點(diǎn),則ab_.考點(diǎn)根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值題點(diǎn)已知極值求參數(shù)答案2解析因?yàn)閒(x)3x22axb,由題意知即解得則ab2.1在極值的定義中,取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn),極值點(diǎn)指的是自變量的值,極值指的是函數(shù)值2函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xx0處取得極值的充要條件是f(x0)0且在xx0兩側(cè)f(x)符號(hào)相反3利用函數(shù)的極值可以確定參數(shù)的值,解決一些方程的解和圖像的交點(diǎn)問題一、選擇題1“函數(shù)yf(x)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0”是“函數(shù)yf(x)在這點(diǎn)取得極值”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件考點(diǎn)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點(diǎn)判定函數(shù)的極值點(diǎn)答案B解析對(duì)于f(x)x3,f(x)3x2,f(0)0,不能推出f(x)在x0處取極值,反之成立故選B.2.如圖為yf(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像,則下列判斷正確的是()f(x)在(3,1)上為增加的;x1是f(x)的極小值點(diǎn);f(x)在(2,4)上為減少的,在(1,2)上為增加的;x2是f(x)的極小值點(diǎn)ABCD考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)極值在圖像上的應(yīng)用答案B解析當(dāng)x(3,1)時(shí),f(x)0,f(x)在(3,1)上為減少的,在(1,2)上為增加的,不對(duì);x1是f(x)的極小值點(diǎn);當(dāng)x(2,4)時(shí),f(x)時(shí),f(x)0;當(dāng)0x時(shí),f(x)0,解得x3或x0)的極大值為6,極小值為2,則f(x)的遞減區(qū)間為()A(1,1) B(,1)C(1,) D(,1)和(1,)考點(diǎn)根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值題點(diǎn)已知極值求參數(shù)答案A解析令f(x)3x23a0,得x,令f(x)0,得x或x;令f(x)0,得x0)的極大值為6,極小值為2,f()2,f()6,即a3ab2且a3ab6,得a1,b4,則f(x)3x23,由f(x)0,得1x1.遞減區(qū)間為(1,1)故選A.6設(shè)三次函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),函數(shù)yxf(x)的圖像的一部分如圖所示,則()Af(x)的極大值為f(),極小值為f()Bf(x)的極大值為f(),極小值為f()Cf(x)的極大值為f(3),極小值為f(3)Df(x)的極大值為f(3),極小值為f(3)考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)的極值在圖像上的應(yīng)用答案D解析當(dāng)x0,即f(x)0;當(dāng)3x3時(shí),f(x)0.f(x)的極大值是f(3),極小值是f(3)7已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),設(shè)函數(shù)f(x)(ex1)(x1)k(k1,2),則()A當(dāng)k1時(shí),f(x)在x1處取到極小值B當(dāng)k1時(shí),f(x)在x1處取到極大值C當(dāng)k2時(shí),f(x)在x1處取到極小值D當(dāng)k2時(shí),f(x)在x1處取到極大值考點(diǎn)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點(diǎn)判別極值點(diǎn)與極值答案C解析當(dāng)k1時(shí),f(x)exx1,f(1)0,x1不是f(x)的極值點(diǎn)當(dāng)k2時(shí),f(x)(x1)(xexex2),顯然f(1)0,且x在1的左邊附近f(x)0,f(x)在x1處取到極小值故選C.8已知aR,且函數(shù)yexax(xR)有大于零的極值點(diǎn),則()Aa1Ba1CaDa考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)極值存在性問題答案A解析因?yàn)閥exax,所以yexa.令y0,即exa0,則exa,即xln(a),又因?yàn)閤0,所以a1,即a1.二、填空題9函數(shù)yxex在其極值點(diǎn)處的切線方程為_考點(diǎn)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點(diǎn)不含參數(shù)的函數(shù)求極值答案y解析令yexxex(1x)ex0,得x1,y,函數(shù)yxex在極值點(diǎn)處的切線方程為y.10.已知函數(shù)f(x)ax3bx22,其導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,則函數(shù)的極小值是_考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)極值在函數(shù)圖像上的應(yīng)用答案2解析由圖像可知,當(dāng)x0時(shí),f(x)0,當(dāng)0x0,故當(dāng)x0時(shí),函數(shù)f(x)取極小值f(0)2.11若直線ya與函數(shù)f(x)x33x的圖像有三個(gè)相異的公共點(diǎn),則a的取值范圍是_考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根答案(2,2)解析令f(x)3x230,得x1,可得f(x)的極大值為f(1)2,極小值為f(1)2,所以當(dāng)2a2時(shí)恰有三個(gè)相異的公共點(diǎn)三、解答題12.函數(shù)f(x)x3ax2bxc的圖像如圖所示,且與直線y0在原點(diǎn)處相切,函數(shù)的極小值為4.(1)求a,b,c的值;(2)求函數(shù)的遞減區(qū)間考點(diǎn)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)的極值在圖像上的應(yīng)用解(1)函數(shù)的圖像過原點(diǎn),c0,即f(x)x3ax2bx,f(x)3x22axb.又函數(shù)f(x)的圖像與直線y0在原點(diǎn)處相切,f(0)0,解得b0,f(x)3x22axx(3x2a)由f(x)0,得x0或x.由題意可知當(dāng)x時(shí),函數(shù)取得極小值4.3a24,解得a3,a3,bc0.(2)由(1)知f(x)x33x2,且f(x)3x(x2),由f(x)0,得0x0,x取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí),有f(x)0,曲線yf(x)與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)由(1)知f(x)極大值fa,f(x)極小值f(1)a1.曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn),f(x)極大值0,即a0,a1,當(dāng)a(1,)時(shí),曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)14函數(shù)f(x)x33a2xa(a0)的極大值是正數(shù),極小值是負(fù)數(shù),則a的取值范圍是_答案解析f(x)3x23a23(xa)(xa),由f(x)0得xa,當(dāng)axa時(shí),f(x)a或x0,函數(shù)是增加的,f(x)的極大值為f(a),極小值為f(a)f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a.a的取值范圍是.15已知函數(shù)f(x)x22lnx,h(x)x2xa.(1)求函數(shù)f(x)的極值;(2)設(shè)函數(shù)k(x)f(x)h(x),若函數(shù)k(x)在1,3上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根解(1)f(x)的定義域是(0,)令f(x)2x0,得x1.當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)0,f(x)是增加的,所以f(x)在x1處取得極小值,又f(1)1,所以f(x)的極小值為1,無極大值(2)k(x)f(x)h(x)x2lnxa(x0),所以k(x)1,令k(x)0,得x2,令k(x)0,得0x2,所以k(x)在(0,2)上是減少的,在(2,)上是增加的要使函數(shù)k(x)在1,3上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則需所以22ln2a32ln3.- 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