2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù) 3 計(jì)算導(dǎo)數(shù)學(xué)案（含解析）北師大版選修1 -1.docx

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3　計(jì)算導(dǎo)數(shù) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).2.理解導(dǎo)函數(shù)的概念并能求一些簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)． 知識(shí)點(diǎn)一　導(dǎo)函數(shù) 如果一個(gè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的每一點(diǎn)x處都有導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)值記為f′(x)，f′(x)＝，則f′(x)是關(guān)于x的函數(shù)，稱f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，通常也簡稱為導(dǎo)數(shù). 區(qū)別 聯(lián)系 f′(x0) f′(x0)是具體的值，是數(shù)值 在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，因此求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般先求導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算導(dǎo)函數(shù)在這一點(diǎn)的函數(shù)值 f′(x) f′(x)是f(x)在某區(qū)間I上每一點(diǎn)都存在導(dǎo)數(shù)而定義的一個(gè)新函數(shù)，是函數(shù) 知識(shí)點(diǎn)二　導(dǎo)數(shù)公式表 函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) y＝c(c是常數(shù)) y′＝0 y＝xα (α為實(shí)數(shù)) y′＝αxα－1 y＝ax (a>0，a≠1) y′＝axlna y＝ex y′＝ex y＝logax(a>0，a≠1) y′＝ y＝lnx y′＝ y＝sinx y′＝cosx y＝cosx y′＝－sinx y＝tanx y′＝ y＝cotx y′＝－ 1．函數(shù)f(x)與f′(x)的定義域相同．(　√　) 2．求f′(x0)時(shí)，可先計(jì)算出f(x0)，再對f(x0)求導(dǎo)．(　　) 3．求f′(x0)時(shí)，可先求出f′(x)，再求f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值．(　√　) 題型一　利用導(dǎo)函數(shù)求某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 例1　求函數(shù)f(x)＝－x2＋3x的導(dǎo)函數(shù)f′(x)，并利用f′(x)求f′(3)，f′(－1)． 考點(diǎn)　導(dǎo)函數(shù) 題點(diǎn)　利用導(dǎo)函數(shù)求某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 解　∵f′(x)＝ ＝ ＝ (－Δx－2x＋3)＝－2x＋3， 即f′(x)＝－2x＋3， ∴f′(3)＝－23＋3＝－3， f′(－1)＝－2(－1)＋3＝5. 反思感悟　f′(x0)是f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值．計(jì)算f′(x0)可以直接使用定義，也可以先求f′(x)，然后求f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值f′(x0)． 跟蹤訓(xùn)練1　求函數(shù)y＝f(x)＝＋5的導(dǎo)函數(shù)f′(x)，并利用f′(x)，求f′(2)． 考點(diǎn)　導(dǎo)函數(shù) 題點(diǎn)　利用導(dǎo)函數(shù)求某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 解　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x) ＝＋5－ ＝， ∴＝， ∴f′(x)＝＝＝－. ∴f′(2)＝－. 題型二　導(dǎo)數(shù)公式表的應(yīng)用 例2　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． (1)y＝sin； (2)y＝x； (3)y＝log3x； (4)y＝； (5)y＝5x. 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 解　(1)y′＝0. (2)因?yàn)閥＝x＝， 所以y′＝＝＝. (3)y′＝(log3x)′＝. (4)因?yàn)閥＝＝＝tanx， 所以y′＝(tanx)′＝. (5)y′＝(5x)′＝5xln5. 反思感悟　對于教材中出現(xiàn)的8個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，要想在解題過程中應(yīng)用自如，必須做到以下兩點(diǎn)：一是正確理解，如sin＝是常數(shù)，而常數(shù)的導(dǎo)數(shù)一定為零，就不會(huì)出現(xiàn)′＝cos這樣的錯(cuò)誤結(jié)果．二是準(zhǔn)確記憶，靈活變形．如根式、分式可先轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，再利用公式求導(dǎo)． 跟蹤訓(xùn)練2　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． (1)y＝(1－)＋； (2)y＝x13； 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 解　(1)∵y＝(1－)＋ ＝＋＝＝， ∴y′＝. (2)y′＝(x13)′＝13x13－1＝13x12. 題型三　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 命題角度1　利用導(dǎo)數(shù)公式求解切線問題 例3　已知點(diǎn)P(－1,1)，點(diǎn)Q(2,4)是曲線y＝x2上兩點(diǎn)，是否存在與直線PQ垂直的切線，若有，求出切線方程，若沒有，說明理由． 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題意　利用導(dǎo)數(shù)公式求解切線問題 解　因?yàn)閥′＝(x2)′＝2x，假設(shè)存在與直線PQ垂直的切線． 設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，由PQ的斜率為k＝＝1， 而切線與PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－. 所以切點(diǎn)為(－，)． 所以所求切線方程為y－＝(－1)(x＋)， 即4x＋4y＋1＝0. 引申探究 若本例條件不變，求與直線PQ平行的曲線y＝x2的切線方程． 解　因?yàn)閥′＝(x2)′＝2x，設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)， 由PQ的斜率為k＝＝1， 而切線平行于PQ，所以2x0＝1，即x0＝. 所以切點(diǎn)為M. 所以所求切線方程為y－＝x－，即4x－4y－1＝0. 反思感悟　解決切線問題，關(guān)鍵是確定切點(diǎn)，要充分利用 (1)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率． (2)切點(diǎn)在切線上． (3)切點(diǎn)又在曲線上這三個(gè)條件聯(lián)立方程解決． 跟蹤訓(xùn)練3　(1)若直線l過點(diǎn)A(0，－1)且與曲線y＝x3切于點(diǎn)B，求B點(diǎn)坐標(biāo)； (2)若直線l與曲線y＝x3在第一象限相切于某點(diǎn)，切線的斜率為3，求直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積． 解　(1)y′＝3x2，設(shè)B(x0，x)(x0≠0)， 則切線斜率k＝3x. 又直線l過點(diǎn)(0，－1)，∴k＝. ∴3x＝， ∴2x＝1，∴x0＝，x＝， ∴B. (2)設(shè)切點(diǎn)為(x0，x)(x0>0)，則該切線斜率為3x， ∴3x＝3，x0＝1，則切點(diǎn)為(1,1)． ∴直線l的方程為y－1＝3(x－1)． ∴直線l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(0，－2)，， ∴直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積 S＝|－2|＝. 命題角度2　利用導(dǎo)數(shù)公式求解參數(shù)問題 例4　已知直線y＝kx是曲線y＝lnx的切線，則k的值等于(　　) A．e B．－e C. D．－ 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)公式求解切線問題 答案　C 解析　y′＝(lnx)′＝. 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則切線方程為y－y0＝(x－x0)， 即y＝＋lnx0－1. ∵直線y＝kx過原點(diǎn)， ∴l(xiāng)nx0－1＝0，得x0＝e，∴k＝. 反思感悟　解決利用導(dǎo)數(shù)公式求解參數(shù)問題的關(guān)鍵是設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線的斜率進(jìn)一步寫出切線方程． 跟蹤訓(xùn)練4　已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R，若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，求a的值． 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)公式求解切線問題 解　設(shè)兩曲線的交點(diǎn)為(x0，y0)， 由題意知，f′(x0)＝g′(x0)，即＝， 即a＝，① ∵點(diǎn)(x0，y0)為兩曲線的交點(diǎn)， ∴＝alnx0，② 由①②可得x0＝e2， 將x0＝e2代入①得a＝. 1．下列結(jié)論： ①(sinx)′＝cosx；②＝； ③(lnx)′＝. 其中正確的有(　　) A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè) 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 答案　C 解析　∵②＝， ∴②錯(cuò)誤，故選C. 2．函數(shù)f(x)＝，則f′(3)等于(　　 ) A. B．0 C. D. 答案　A 解析　∵f′(x)＝()′＝，∴f′(3)＝＝. 3．設(shè)函數(shù)f(x)＝logax，f′(1)＝－1，則a＝. 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　 解析　∵f′(x)＝， 又f′(1)＝＝－1，∴a＝. 4．在曲線y＝上一點(diǎn)P處的切線的斜率為－4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為． 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)公式求解切線問題 答案　或 解析　設(shè)P(x0，y0)，y′＝－，則－＝－4， 得x0＝. 當(dāng)x0＝時(shí)，y0＝2. 當(dāng)x0＝－時(shí)，y0＝－2， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或. 5．曲線y＝ex在點(diǎn)(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為． 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)公式求解切線問題 答案　e2 解析　∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2， ∴曲線在點(diǎn)(2，e2)處的切線方程為y－e2＝e2(x－2)， 即y＝e2x－e2. 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－e2，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1. ∴S＝1|－e2|＝e2. 1．利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡捷的求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)公式．解題時(shí)，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想與化歸． 2．有些函數(shù)可先化簡再求導(dǎo)．如求y＝1－2sin2的導(dǎo)數(shù)．因?yàn)閥＝1－2sin2＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx. 3．對于正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一是注意函數(shù)名稱的變化，二是注意函數(shù)符號(hào)的變化． 一、選擇題 1．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為(　　) ①y＝ln2，則y′＝；②y＝f(x)＝，則f′(3)＝－； ③y＝2x，則y′＝2xln2；④y＝log2x，則y′＝. A．0B．1C．2D．3 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 答案　D 解析　①中y＝ln2為常數(shù)， 所以y′＝0.①錯(cuò)． 2．已知f(x)＝，則f等于(　　) A．－25 B．－ C. D．25 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 答案　B 解析　因?yàn)閒(x)＝，所以f′(x)＝－.故f′＝－25，f＝f(－25)＝－. 3．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，則a等于(　　) A．2B．－2C．3D．－3 考點(diǎn)　函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　根據(jù)導(dǎo)數(shù)值求坐標(biāo)或參數(shù) 答案　C 解析　∵f′(1)＝ ＝＝a， ∵f′(1)＝3，∴a＝3. 4．正弦曲線y＝sinx上切線的斜率等于的點(diǎn)為(　　) A. B.或 C.(k∈Z) D.或(k∈Z) 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　D 解析　設(shè)斜率等于的切線與曲線的切點(diǎn)為P(x0，y0)，∵函數(shù)在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)為y′＝cosx0＝，∴x0＝2kπ＋或2kπ－，k∈Z，∴y0＝或－. 5．設(shè)曲線y＝ax2在點(diǎn)(2,4a)處的切線與直線4x－y＋4＝0垂直，則a等于(　　) A．－ B. C．－ D. 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)公式求解切線問題 答案　C 解析　由題意知切線的斜率是－， ∵y′＝2ax，∴4a＝－，得a＝－. 6．已知直線y＝kx是曲線y＝ex的切線，則實(shí)數(shù)k的值為(　　) A. B．－ C．－e D．e 答案　D 解析　y′＝ex，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則 ∴＝x0， ∴x0＝1，∴k＝e. 7．設(shè)正弦曲線y＝sinx上一點(diǎn)P，以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是(　　) A.∪ B．[0，π) C. D.∪ 答案　A 解析　∵(sinx)′＝cosx， ∵kl＝cosx，∴－1≤kl≤1，∴αl∈∪. 8．設(shè)f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，則f2018(x)等于(　　) A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　B 解析　f1(x)＝f′0(x)＝(sinx)′＝cosx， f2(x)＝f′1(x)＝(cosx)′＝－sinx， f3(x)＝f′2(x)＝(－sinx)′＝－cosx， f4(x)＝(－cosx)′＝sinx， f5(x)＝(sinx)′＝f1(x)， f6(x)＝f2(x)，…， fn＋4(x)＝fn(x)， 可知周期為4， ∴f2018(x)＝f5044＋2(x)＝－sinx. 二、填空題 9．已知f(x)＝，g(x)＝mx且g′(2)＝，則m＝. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 答案?。? 解析　∵f′(x)＝－，g′(x)＝m，∴f′(2)＝－， 又g′(2)＝，∴m＝－4. 10．設(shè)曲線y＝ex在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y＝(x＞0)上點(diǎn)P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為． 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)公式求解切線問題 答案　(1,1) 解析　因?yàn)閥′＝ex，所以曲線y＝ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率k1＝e0＝1. 設(shè)P(m，n)，y＝(x>0)的導(dǎo)數(shù)為y′＝－ (x>0)， 曲線y＝ (x>0)在點(diǎn)P處的切線斜率k2＝－ (m>0)． 因?yàn)閮汕芯€垂直，所以k1k2＝－1， 所以m＝1，n＝1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)． 11．已知f(x)＝cosx，g(x)＝x，則關(guān)于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集為． 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 答案　 解析　∵f′(x)＝－sinx，g′(x)＝1， 由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sinx＋1≤0， 即sinx≥1，則sinx＝1， 解得x＝＋2kπ，k∈Z， ∴其解集為. 三、解答題 12．已知曲線y＝5(x＞0)，求： (1)曲線上與直線y＝2x－4平行的切線方程； (2)過點(diǎn)P(0,5)，且與曲線相切的切線方程． 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)公式求解切線問題 解　(1)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)， 由y＝5，得曲線在x＝x0處的切線的斜率 k＝. 因?yàn)榍芯€與直線y＝2x－4平行，所以＝2， 解得x0＝，所以y0＝. 故所求切線方程為y－＝2， 即16x－8y＋25＝0. (2)因?yàn)辄c(diǎn)P(0,5)不在曲線y＝5上， 所以設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為M(x1，y1)， 則切線斜率為(x1≠0)， 又因?yàn)榍芯€斜率為， 所以＝＝， 解得x1＝4(x1＝0舍去)． 所以切點(diǎn)為M(4,10)，斜率為， 故切線方程為y－10＝(x－4)， 即5x－4y＋20＝0. 13．點(diǎn)P是曲線y＝ex上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線y＝x的最小距離． 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)公式求解切線問題 解　如圖，當(dāng)曲線y＝ex在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線y＝x平行時(shí)，點(diǎn)P到直線y＝x的距離最近． 則曲線y＝ex在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線斜率為1，又y′＝(ex)′＝ex， 所以＝1，得x0＝0， 代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)． 利用點(diǎn)到直線的距離公式得最小距離為. 14．設(shè)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，且f(ex)＝x＋ex，則f′(1)等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　B 解析　設(shè)ex＝t，則x＝lnt(t>0)， ∴f(t)＝lnt＋t，∴f′(t)＝＋1，∴f′(1)＝2. 15．已知拋物線y＝x2，直線x－y－2＝0，求拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離． 解　根據(jù)題意可知與直線x－y－2＝0平行的拋物線y＝x2的切線，對應(yīng)的切點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x)，則k＝2x0＝1， 所以x0＝， 所以切點(diǎn)坐標(biāo)為， 切點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離 d＝＝， 所以拋物線上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的最短距離為.