四川省成都市高中數(shù)學 第二章 點線面的位置關(guān)系 第8課時 空間幾何中的角度計算與距離計算同步練習 新人教A版必修2.doc

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第8課時　空間幾何中的角度計算與距離計算 基礎(chǔ)達標(水平一) 1.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,底面是邊長為2的正方形,高為4,則點A1到截面AB1D1的距離為(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.83 B.38 C.43 D.34 【解析】由等體積法得VA1-AB1D1=VA-A1B1D1,則136h=1324,解得h=43. 【答案】C 2.若一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面,則這兩個二面角(　　). A.相等 B.互補 C.相等或互補 D.關(guān)系無法確定 【解析】如圖,平面EFDG⊥平面ABC,平面HDG⊥平面BCD,當平面HDG繞DG轉(zhuǎn)動時,平面HDG始終與平面BCD垂直,所以兩個二面角的大小關(guān)系不確定. 【答案】D 3.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等,則直線AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于(　　). A.64 B.104 C.22 D.32 【解析】如圖所示,取A1C1的中點D,連接AD,B1D,可知B1D⊥平面ACC1A1, ∴∠DAB1即為直線AB1與平面ACC1A1所成的角. 不妨設(shè)正三棱柱的棱長為2,∴在Rt△AB1D中,sin∠DAB1=B1DAB1=322=64,故選A. 【答案】A 4.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AA1=2,AC=2,過BC的中點D作平面ACB1的垂線,交平面ACC1A1于點E,則BE與平面ABB1A1所成角的正切值為(　　). A.55 B.510 C.1010 D.105 【解析】連接A1C及AC1交點為O,連接OD,A1B,由圖形易知A1B⊥平面AB1C,OD∥A1B,故OD⊥平面AB1C,故點E與點O重合.取AA1的中點F,連接EF和BF,易判斷∠EBF為BE與平面ABB1A1所成角,EF=12AC=22,BF=AB2+AF2=4+1=5,故tan∠EBF=225=1010,選C. 【答案】C 5.已知矩形ABCD的兩邊AB=3,AD=4,PA⊥平面ABCD,且PA=435,則二面角A-BD-P的大小為　　　　. 【解析】過點A作AE⊥BD,連接PE,則∠AEP為二面角A-BD-P的平面角. 由AB=3,AD=4知BD=5. ∵ABAD=BDAE,∴AE=125. ∴tan∠AEP=APAE=435125=33.∴∠AEP=30. 【答案】30 6.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線C1D與平面B1CD所成的角為　　　　. 【解析】如圖,連接C1B交B1C于點O,由直線C1B⊥平面B1CD可得直線C1D與平面B1CD所成的角為∠ODC1.在Rt△ODC1中,由DC1=2OC1可得∠ODC1=30,因此直線C1D與平面B1CD所成的角為30. 【答案】30 7.如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,∠BCD=60,E是CD的中點,PA⊥底面ABCD,PA=3. (1)求證:平面PBE⊥平面PAB. (2)求二面角A-BE-P的大小. 【解析】(1)如圖,連接BD, 由底面ABCD是菱形且∠BCD=60知△BCD是等邊三角形. 因為E是CD的中點,所以BE⊥CD. 又AB∥CD,所以BE⊥AB. 又PA⊥平面ABCD,BE?平面ABCD, 所以PA⊥BE. 又PA∩AB=A, 所以BE⊥平面PAB. 又BE?平面PBE, 所以平面PBE⊥平面PAB. (2)由(1)知BE⊥平面PAB,PB?平面PAB, 所以PB⊥BE. 又AB⊥BE, 所以∠PBA即為二面角A-BE-P的一個平面角. 在Rt△PAB中,tan∠PBA=PAAB=3, 所以∠PBA=60, 故二面角A-BE-P的大小是60. 拓展提升(水平二) 8.在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90,則二面角B-PA-C的大小為(　　). A.90　　 B.60 C.45 D.30 【解析】∵PA⊥平面ABC,BA,CA?平面ABC,∴BA⊥PA,CA⊥PA,∴∠BAC即為二面角B-PA-C的平面角.又∠BAC=90,故選A. 【答案】A 9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,各側(cè)棱和底面的邊長均為a,點D是CC1上任意一點,連接A1B,BD,A1D,AD,則三棱錐A-A1BD的體積為(　　). A.a36 B.3a312 C.3a36 D.a312 　　【解析】VA-A1BD=VD-A1BA=13Sh=13a223a2=3a312. 【答案】B 10.已知在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B1的中點,則直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值為. 【解析】如圖,取CD的中點F,連接EF交平面ABC1D1于點O,連接AO,B1C. 　　 由題意知B1C⊥BC1,B1C⊥D1C1,BC1∩D1C1=C1,∴B1C⊥平面ABC1D1. ∵E,F分別為A1B1,CD的中點,∴EF∥B1C. ∴EF⊥平面ABC1D1,即∠EAO為所求角. 在Rt△EOA中,EO=12EF=12B1C=22,AE=A1E2+AA12=52,∴sin∠EAO=EOAE=105. 【答案】105 11.如圖所示,在三棱錐P-ABC中,∠ACB=90,CB=4,AB=20,D為AB的中點,且△PDB是正三角形,PA⊥PC. (1)求證:平面PAC⊥平面ABC. (2)求二面角D-AP-C的正弦值. (3)若M為PB的中點,求三棱錐M-BCD的體積. 【解析】(1)∵D是AB的中點,△PDB是正三角形,AB=20, ∴PD=12AB=10,∴AP⊥PB. 又AP⊥PC,PB∩PC=P,∴AP⊥平面PBC. 又BC?平面PBC,∴AP⊥BC. 又AC⊥BC,AP∩AC=A,∴BC⊥平面PAC. 又BC?平面ABC,∴平面PAC⊥平面ABC. (2)∵PA⊥PC,且PA⊥PB,∴∠BPC是二面角D-AP-C的平面角. 由(1)知,BC⊥平面PAC,則BC⊥PC,∴sin∠BPC=BCPB=25. (3)∵D為AB的中點,M為PB的中點,∴DM12PA,且DM=53, 由(1)知,PA⊥平面PBC,∴DM⊥平面PBC, ∵S△BCM=12S△PBC=221, ∴VM-BCD=VD-BCM=1353221=107.