2019-2020學年高二數(shù)學上學期期末考試試卷 理(平行班含解析).doc
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2019-2020學年高二數(shù)學上學期期末考試試卷 理(平行班,含解析)一、選擇題(每小題5分,共60分)1.用反證法證明某命題時,對結論:“自然數(shù),中至少有一個偶數(shù)”正確的反設為( )A.,都是奇數(shù) B.,都是偶數(shù)C.,中至少有兩個偶數(shù) D.,中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)【答案】D【解析】結論:“自然數(shù)中恰有一個偶數(shù)”的反面為恰有兩個偶數(shù)或恰有三個偶數(shù)或恰沒有偶數(shù),因此選D.2.下列導數(shù)運算正確的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的求導公式和運算法則,逐一檢驗即可.【詳解】由求導公式知sinx=cosx 故A錯誤,3x=3xln3,故C錯誤,1x=-1x2,故D錯誤,B選項正確,故選B.【點睛】本題主要考查了常見函數(shù)的求導公式,屬于容易題.3.用數(shù)學歸納法證明等式1+2+3+n+3=n+3n+42nN*時,第一步驗證n=1時,左邊應取的項是( )A. 1 B. 1+2 C. 1+2+3 D. 1+2+3+4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)所給式子可知左邊為1+2+(1+3),可知正確選項.【詳解】當n=1時,左邊應為1+2+(1+3),即1+2+3+4,故選D.【點睛】本題主要考查了數(shù)學歸納法及歸納推理的能力,屬于容易題.4.向如下圖所示的容器中勻速注水時,容器中水面高度h隨時間變化的大致圖像是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】因為容器中間凸,所以勻速注水時,開始和結束時水位高度變化快中間時水位高度變化慢,可知選C.【詳解】結合容器的形狀,可知一開始注水時,水高度變化較快當水位接近中部時變慢并持續(xù)一段時間,接近上部時,水位高度變快,故選C.【點睛】本題主要考查了對函數(shù)概念的理解及函數(shù)圖象的認識,結合生活實踐,屬于中檔題.5.若雙曲線x2a2y2b2=1的一條漸近線方程為x3+y=0則此雙曲線的離心率為( )A. 103 B. 31010 C. 10 D. 22【答案】A【解析】試題分析:由條件知,ba=3,所以e=1+(ba)2=1+19=103,所以選C.考點:雙曲線的幾何性質.6.若平面與的法向量分別是a=2,4,3,b=1,2,2,則平面與的位置關系是( )A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 無法確定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)所給向量可知其數(shù)量積為零,故知兩向量垂直.【詳解】因為ab=(2,4,3)(1,2,2)=0,所以ab,所以兩平面垂直.【點睛】本題主要考查了平面的法向量,向量的數(shù)量積,利用法向量判斷平面的位置關系,屬于中檔題.7.已知ABC的頂點B,C在橢圓x216+y29=1上,頂點A是橢圓的一個焦點,且橢圓的另一個焦點在邊BC上,則ABC的周長是( )A. 8 B. 12 C. 83 D. 16【答案】D【解析】ABC的頂點B,C在橢圓x216+y29=1上,頂點A是橢圓的一個焦點,且橢圓的另一個焦點在BC上,由橢圓的定義可得:ABC的周長是4a=44=16故答案為:C。8.下列選敘述錯誤的是( )A. 命題“若x1,則x23x+20”的逆否命題是“若x23x+2=0,則x=1”B. 若“p或q”為真命題,則p,q均為真命題C. “若am2bm2,則a2”是“x23x+20”的充分不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)四種命題的關系及且或命題的真假逐一判斷各選項即可.【詳解】由逆否命題概念知A選項正確,根據(jù)或命題真假可知p,q至少一個命題為真,故p,q均為真命題錯誤,C選項中,原命題的否命題為“若am2bm2,則ab ”,當m=0時,am2bm2成立,推不出ab,命題不成立,是假命題,D選項中x2能推出x2-3x+20成立,x2-3x+20推不出x2,所以“x2”是“x2-3x+20”的充分不必要條件,所以選B.【點睛】本題主要考查了四種命題的關系,含且或命題的真假,及充分必要條件,屬于中檔題.9.如圖,空間四面體DABC的每條邊都等于1,點E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點,則FEDC等于( )A. 14 B. 14 C. 34 D. 34【答案】A【解析】試題分析:空間四面體D一ABC的每條邊都等于1,點E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點FE=12DB,|DB|=|DC|=1,BDC=3 FEDC=12DBDC=1211cos3=14考點:平面向量數(shù)量積的運算10.設F為拋物線C:y2=8x的焦點,過F作傾斜角為30的直線交C于A、B兩點,則AB=( )A. 323 B. 16 C. 32 D. 43【答案】C【解析】【分析】寫出直線方程,聯(lián)立拋物線方程消元,可根據(jù)弦長公式求出弦長.【詳解】由題意知F(2,0),AB所在直線方程為y=tan30(x2)=33(x2) ,聯(lián)立y2=8x消元得y283y16=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=83,y1y2=16,所以|AB|=1+3643+416=32,故選C.【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關系,弦長公式,屬于中檔題.11.一名法官在審理一起珍寶盜竊案時,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下,甲說:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙說:“我沒有作案,是丙偷的”;丙說:“甲、乙兩人中有一人是小偷”;丁說:“乙說的是事實”。經(jīng)過調查核實,四人中有兩人說的是真話,另外兩人說的是假話,且這四人中只有一人是罪犯,由此可判斷罪犯是( )A. 丁 B. 丙 C. 乙 D. 甲【答案】C【解析】甲乙丙丁甲乙丙丁由四個所說,得上面的表,由于是兩對兩錯,如果乙說的是對的,則甲也對丁也對,不符。所以乙說假話,小偷不是丙。同時丙說的也是假話。即甲、丙說的是真話,小偷是乙,選B.12.如圖,在ABC中,CAB=CBA=30,AC、BC邊上的高分別為BD、AE,則以A、B為焦點,且過D、E的橢圓與雙曲線的離心率的倒數(shù)和為( )A. 3 B. 1 C. 23 D. 2【答案】A【解析】若是橢圓,則|DA|+|DB|=2a,|AC|=2c ,|DA|=3|DB|,|AB|=2|DB| ,而橢圓的離心率e1=ca=|AB|DA|+|DB|=2|DB|3|DB|+|DB|=31 ,若是雙曲線,則|DA|DB|=2a,e2=ca=|AB|DA|DB|=2|DB|3|DB|DB|=3+1,所以1e1+1e2=131+13+1=3+12+312=3,故選A.二、填空題(每小題5分,共20分)13.已知向量a=1,x,3,b=2,4,y,且ab,那么x+y等于_【答案】-4【解析】【分析】根據(jù)向量平行,可求出x,y,即可求解.【詳解】a/b a=b ,即1=2x=43=y ,解得x=2y=6 ,x+y=4.【點睛】本題主要考查了向量平行及向量的坐標運算,屬于中檔題.14.平面內(nèi)動點P到點F0,2的距離和到直線:y=2的距離相等,則動點P的軌跡方程為是_【答案】x2=8y【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義知,動點軌跡為拋物線,焦點F,準線為y=2,p=4,即可寫出拋物線方程.【詳解】由題意知,該點軌跡是以F(0,2)為焦點,y=2為準線的拋物線,其中p=4,所以方程為x2=8y.【點睛】本題主要考查了拋物線的定義,拋物線的標準方程,屬于中檔題.15.四個小動物換座位,開始是鼠、猴、兔、貓分別坐在編號為1,2,3,4的4個位子上(如圖),第一次前后排動物互換座位,第二次左右列動物互換座位,這樣交替進行下去,那么第xx次互換座位后,小兔的座位對應的編號為_【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意,交換的規(guī)律是先前后再左右,由圖可以看出,此交換的周期是4,由此規(guī)律即可求解.【詳解】由圖,經(jīng)過4次交換后,每個小動物又回到了原來的位置,故此變換的規(guī)律是周期為4,因為2018=4504+2,所以經(jīng)過xx次互換座位后,小兔對應的是編號2的位置.【點睛】本題主要考查了歸納推理,屬于中檔題.解題的關鍵是根據(jù)前幾個變換方式歸納出周期為4的規(guī)律,歸納推理的特征是由一些特例得出猜想,由猜想對事物作出判斷.16.已知橢圓C:x24+y2=1,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點,P是該橢圓上的一個動點,則PF1PF2的范圍為_【答案】2,1【解析】【詳解】由題意,得x24+y2=1的左、右焦點分別為F1(-3,0),F2(3,0),設P(2cos,sin),則PF1=(-3-2cos,-sin)PF2=(3-2cos,-sin),PF1PF2=(-3-2cos)(3-2cos)+sin2=sin2+4cos2-3=3cos2-2;又因為0cos21,所以-23cos2-21,即PF1PF2 范圍為-2,1.【點睛】本題考查橢圓的幾何性質和平面向量的數(shù)量積運算.三、解答題(共6小題,共70分)17.設命題p:方程x2a+6+y2a7=1表示中心在原點,焦點在坐標軸上的雙曲線;命題q:存在xR,使得x24x+a0(1)寫出命題q的否定q;(2)若“p且q”為真,求實數(shù)的取值范圍?!敬鸢浮浚?)q:對任意的xR,x24x+a0;(2)4,7【解析】【分析】(1)根據(jù)命題否定特征即可寫出(2)由題意知p真q假,分別得出相應條件求交集即可.【詳解】(1)q:對任意的xR,x2-4x+a0(2)因為“p且q”為真所以p真,q真又p真時,a+6a-70 得-6a0,用綜合法證明:a3+b3a2b+ab2;(2)用分析法證明:6+722+5.【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)題目可采用作差法求證(2)用分析法,采用平方的方法可證明【詳解】(1)a3+b3(a2b+ab2)=a2(ab)+b2(ba)=(ab)(a2b2)=(ab)2(a+b) 而(ab)20,a+b0 a3+b3(a2b+ab2)0a3+b3a2b+ab2 (2)要證6+722+5,只需證(6+7)2(22+5)2,即證42210,只需證(42)2(210)2,即4240,而4240顯然成立,故原不等式得證.【點睛】本題主要考查了證明方法中的綜合法及分析法,屬于中檔題.用分析法證明問題時,注意證明的格式,是從結論出發(fā)尋求結論成立的條件.19.如圖,EA面ABC,BD面ABC,ACBC,AC=BC=BD=2AE=2,M是AB的中點,(1)求直線EM與CD所成角的大?。唬?)求直線EM與平面BCD所成角的余弦值?!敬鸢浮浚?)90(2)63【解析】【分析】(1)建立空間直角坐標系,利用向量的夾角計算即可(2)利用直線上的向量與平面的法向量的夾角即可得出.【詳解】如圖,以點C為坐標原點,以CA、CB所在的直線分別為x軸、y軸,過點C與平面ABC垂直的直線為軸,建立空間直角坐標系,則C0,0,0, A2,0,0, B0,2,0, E2,0,1,D0,2,2,M1,1,0(1)EM=-1,1,-1, CD=0,2,2所以cos=cos=0所以直線EM與CD所成角的大小為90;(2)EM=-1,1,-1,平面BCD的法向量可取n=1,0,0所以sin=cos=13=33,cos=1sin2=63【點睛】本題主要考查了空間直角坐標系,向量的坐標運算,向量的夾角公式,屬于中檔題題.求線面角時,取斜線上任意一向量,求其與平面的法向量的夾角的余弦的絕對值,即為線面角的正弦值.20.(1)已知曲線y=x3,求曲線在x=1處的切線方程;(2)已知直線y=kx1與曲線y=lnx相切,求k的值?!敬鸢浮浚?)3xy2=0 (2)1【解析】【分析】(1)利用導數(shù)幾何意義求斜率即可(2)設切點為x0,y0,根據(jù)兩函數(shù)在該點導數(shù)相等及該點為公共點列方程組即可求解.【詳解】(1)切點為1,1 又y=3x2 所以k切=3所以切線方程為:3x-y-2=0(2)設切點為x0,y0,又y=1x所以y0=kx0+1k=1x0y0=lnx0x0=1y0=0k=1【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義及切線方程的求法,屬于中檔題.21.如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是邊長為4的菱形,ABC=60,PA面ABCD,PA=4,F(xiàn)是棱PA上一點,且AF=1,E為PD的一個靠近D點的三等分點。(1)求證:CE面BDF(2)求平面BDF與平面PAD所成的銳二面角的余弦值?!敬鸢浮浚?)見解析;(2)1510【解析】【分析】(1)以AD,AP所在的直線分別為y軸、軸,建立空間直角坐標系建立空間直角坐標系,求平面BDF的法向量,可證明與CE垂直,從而得證(2)求出兩個平面的法向量,求其夾角余弦值即可得出二面角的余弦值.【詳解】以點A為坐標原點,以AD,AP所在的直線分別為y軸、軸,建立空間直角坐標系如圖。則A0,0,0,D0,4,0,P0,0,4,F(xiàn)0,0,1,B23,-2,0,C23,2,0(1)CE=CD+13DP=-23,23,43設面BFD的法向量為n=x,y,z,又BD=-23,6,0,DF=0,-4,1所以-23x+6y=0-4y+z=0 取y=1 得n=3,1,4所以CEn=-6+23+163=0 即CEn又CE面BDF 所以CE面BDF(2)由(1)面BFD的法向量為n=3,1,4又面PAD的法向量可取n1=1,0,0所以cos=cos=33+1+161=1510【點睛】本題主要考查了利用空間向量證明直線與平面平行,利用空間向量求兩個平面的二面角,屬于中檔題.利用向量法求二面角時,注意法向量的夾角余弦與二面角余弦的關系,可能相等,也可能互為相反數(shù).22.已知橢圓C以F11,0,F(xiàn)21,0為焦點,且離心率e=22(1)求橢圓C的方程;(2)過M0,2點斜率為k的直線l1與橢圓C有兩個不同交點P、Q,求k的范圍;(3)設橢圓C與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B,是否存在直線l1,滿足(2)中的條件且使得向量OP+OQ與AB垂直?如果存在,寫出l1的方程;如果不存在,請說明理由?!敬鸢浮?1)x22+y2=1;(2)-,-2222,+;(3)答案見解析.【解析】【分析】(1)由題意可得c,根據(jù)離心率可求出,即可寫出方程(2)寫出直線方程,聯(lián)立方程組消元,通過判別式大于0求得k的取值范圍(3)利用向量的坐標,可計算OP+OQ與AB的數(shù)量積為0時,k不滿足0,故不存在.【詳解】(1)設橢圓C的長半軸長、短半軸長、半焦距長分別為、b、由題設知:c=1由e=ca=1a=12,得a=2,則b=1橢圓C的方程為x22+y2=1(2)過M0,2點斜率為k的直線l1:y-2=kx即l1:y=kx+2與橢圓C方程聯(lián)立消y得2k2+1x2+42x+2=0“*”由l1與橢圓C有兩個不同交點知其=32k2-82k2+10得k22k的范圍是-,-2222,+(3)設Px1,y1、Qx2,y2,則x1、x2是“*”的二根則,則則由題設知、,若,須得不存在滿足題設條件的.【點睛】本題主要考查了橢圓的方程、離心率,直線與橢圓的位置關系,屬于難題.設直線方程時,要考慮斜率存不存在兩種情況,最后還要考慮計算出的k是否符合條件.- 配套講稿:
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