2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 三角函數(shù)、平面向量 第二講 三角恒等變換與解三角形學(xué)案 理.doc
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第二講三角恒等變換與解三角形考點(diǎn)一三角恒等變換與求值1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sincoscossin.(2)cos()coscossinsin.(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin22sincos.(2)cos2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan2.3輔助角公式asinxbcosxsin(x).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2018山西長(zhǎng)治二模)已知sin,則cos的值為()A. B.C. D.解析sin,cos,sin22sincos2,cos212sin21221,cos.故選A.答案A2(2018河南濮陽(yáng)一模)設(shè)090,若sin(752),則sin(15)sin(75)()A. B. C D解析因?yàn)?90,所以75752255.又因?yàn)閟in(752)0,所以180752255,角752為第三象限角,所以cos(752).所以sin(15)sin(75)sin(15)cos(15)sin(302)sin(752)45sin(752)cos45cos(752)sin45,故選B.答案B3(2018豫北名校聯(lián)考)計(jì)算: _.(用數(shù)字作答)解析.答案4(2018河南六市聯(lián)考)已知cos,cos(),若0,則_.解析由cos,0,得sin,由0,得0.又cos(),sin() .由()得coscos()coscos()sinsin().,.答案快速審題(1)看到三角函數(shù)求值,想到已知角與未知角間的和、差、倍的關(guān)系,想到公式求解(2)看到三角函數(shù)的平方,想到用二倍角公式降冪(1)三角恒等變換的三原則一看“角”,這是最重要的一環(huán),通過(guò)看角之間的差別與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理拆分,從而正確使用公式,如2題二看“函數(shù)名稱”,看函數(shù)名稱之間的差異,從而確定使用的公式,常見(jiàn)的有“切化弦”三看“結(jié)構(gòu)特征”,分析結(jié)構(gòu)特征,可以幫助我們找到變形的方向,常見(jiàn)的有“遇到分式要通分”等(2)解決條件求值應(yīng)關(guān)注的三點(diǎn)分析已知角和未知角之間的關(guān)系,正確地用已知角來(lái)表示未知角正確地運(yùn)用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來(lái)表示求解三角函數(shù)中給值求角的問(wèn)題時(shí),要根據(jù)已知求這個(gè)角的某種三角函數(shù)值,然后結(jié)合角的取值范圍,求出角的大小,如4題考點(diǎn)二解三角形1正弦定理2R(2R為ABC外接圓的直徑)變形:a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC.sinA,sinB,sinC.abcsinAsinBsinC.2余弦定理a2b2c22bccosA,b2a2c22accosB,c2a2b22abcosC.推論:cosA,cosB,cosC.變形:b2c2a22bccosA,a2c2b22accosB,a2b2c22abcosC.3面積公式SABCbcsinAacsinBabsinC.角度1:利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀解析由cosB12sin2得sin2,即cosB.解法一:由余弦定理得,即a2c2b22a2,a2b2c2.ABC為直角三角形,又無(wú)法判斷兩直角邊是否相等,故選A.解法二:由正弦定理得cosB,又sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC,cosBsinCsinBcosCcosBsinC,即sinBcosC0,又sinB0,cosC0,又角C為三角形的內(nèi)角,C,ABC為直角三角形,又無(wú)法判斷兩直角邊是否相等,故選A.答案A角度2:利用正弦、余弦定理進(jìn)行邊角計(jì)算解(1)由2cosAcosC(tanAtanC1)1,得2(sinAsinCcosAcosC)1,即cos(AC),cosBcos(AC),又0B,B.(2)由余弦定理得cosB,又ac,b,2ac3ac,即ac,SABCacsinB.探究追問(wèn)1若本例第(2)問(wèn)條件變?yōu)椤叭鬮,SABC”,試求ac的值解由已知SABCacsinB,ac,則ac6.由余弦定理,得b2a2c22accosB(ac)23ac,所以(ac)2b23ac21,所以ac.探究追問(wèn)2在本例條件下,若b,求ABC面積的最大值解由余弦定理,得b2a2c22accosBa2c2ac,則3a2c2ac2acac,所以ac3(當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)取等號(hào))所以SABCacsinB3sin.故ABC面積的最大值為.利用正、余弦定理解三角形應(yīng)注意的3點(diǎn)(1)利用正、余弦定理解三角形時(shí),涉及邊與角的余弦的積時(shí),常用正弦定理將邊化為角,涉及邊的平方時(shí),一般用余弦定理(2)涉及邊a,b,c的齊次式時(shí),常用正弦定理轉(zhuǎn)化為角的正弦值,再利用三角公式進(jìn)行變形(3)涉及正、余弦定理與三角形面積綜合問(wèn)題,求三角形面積時(shí)用SabsinC形式的面積公式對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1角度1在ABC中,若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB),則ABC的形狀為()A直角三角形B等邊三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析因?yàn)?a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB),所以b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)所以a2cosAsinBb2sinAcosB.解法一:由正弦定理知a2RsinA,b2RsinB,所以sin2AcosAsinBsin2BsinAcosB.又sinAsinB0,所以sinAcosAsinBcosB,所以sin2Asin2B.在ABC中,02A2,02B2,所以2A2B或2A2B,所以AB或AB.所以ABC為等腰或直角三角形解法二:由正弦定理、余弦定理得:a2bb2a,所以a2(b2c2a2)b2(a2c2b2),所以(a2b2)(a2b2c2)0,所以a2b20或a2b2c20,即ab或a2b2c2.所以ABC為等腰或直角三角形答案C2角度2(2018河南、河北重點(diǎn)中學(xué)第三次聯(lián)考)如圖,在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知c4,b2,2ccosCb,D,E分別為線段BC上的點(diǎn),且BDCD,BAECAE.(1)求線段AD的長(zhǎng);(2)求ADE的面積解(1)因?yàn)閏4,b2,2ccosCb,所以cosC.由余弦定理得cosC,所以a4,即BC4.在ACD中,CD2,AC2,所以AD2AC2CD22ACCDcosACD6,所以AD.(2)因?yàn)锳E是BAC的平分線,所以2,又,所以2,所以CEBC,DE2.又因?yàn)閏osC,所以sinC.所以SADEDEACsinC.考點(diǎn)三正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用1實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解2實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形,這時(shí)需作出這些三角形,先解夠條件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有時(shí)需設(shè)出未知量,從幾個(gè)三角形中列出方程(組),解方程(組)得出所要求的解對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2018廣東省五校協(xié)作體高三一診)如圖所示,在一個(gè)坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD,為了測(cè)量該山坡相對(duì)于水平地面的坡角,在山坡的A處測(cè)得DAC15,沿山坡前進(jìn)50 m到達(dá)B處,又測(cè)得DBC45,根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cos_.解析由DAC15,DBC45可得BDA30,DBA135,BDC90(15)3045,由內(nèi)角和定理可得DCB180(45)4590,根據(jù)正弦定理可得,即DB100sin15100sin(4530)25(1),又,即,得到cos1.答案12(2018福州綜合質(zhì)量檢測(cè))如圖,小明同學(xué)在山頂A處觀測(cè)到一輛汽車(chē)在一條水平的公路上沿直線勻速行駛,小明在A處測(cè)得公路上B,C兩點(diǎn)的俯角分別為30,45,且BAC135.若山高AD100 m,汽車(chē)從B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時(shí)14 s,則這輛汽車(chē)的速度約為_(kāi)m/s.(精確到0.1)參考數(shù)據(jù):1.414,2.236.解析因?yàn)樾∶髟贏處測(cè)得公路上B,C兩點(diǎn)的俯角分別為30,45,所以BAD60,CAD45.設(shè)這輛汽車(chē)的速度為v m/s,則BC14v m,在RtADB中,AB200 m.在RtADC中,AC100 m.在ABC中,由余弦定理,得BC2AC2AB22ACABcosBAC,所以(14v)2(100)220022100200cos135,解得v22.6,所以這輛汽車(chē)的速度約為22.6 m/s.答案22.6快速審題看到三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,想到各類角的概念,想到確定一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型解三角形實(shí)際問(wèn)題的4步驟1(2018全國(guó)卷)若sin,則cos2()A. B. C D解析由sin,得cos212sin21221.故選B.答案B2(2018全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若ABC的面積為,則C()A. B. C. D.解析根據(jù)余弦定理得a2b2c22abcosC,因?yàn)镾ABC,所以SABC,又SABCabsinC,所以tanC1,因?yàn)镃(0,),所以C.故選C.答案C3(2018全國(guó)卷)已知sincos1,cossin0,則sin()_.解析由sincos1,cossin0,兩式平方相加,得22sincos2cossin1,整理得sin().答案4(2018天津卷)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知bsinAacos.(1)求角B的大小;(2)設(shè)a2,c3,求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中,由正弦定理,可得bsinAasinB,又由bsinAacos,得asinBacos,即sinBcos,可得tanB.又因?yàn)锽(0,),可得B.(2)在ABC中,由余弦定理及a2,c3,B,有b2a2c22accosB7,故b.由bsinAacos,可得sinA.因?yàn)閍c,故cosA.因此sin2A2sinAcosA,cos2A2cos2A1.所以,sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB.1.高考對(duì)此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命題形式出現(xiàn)2若無(wú)解答題,一般在選擇題或填空題各有一題,主要考查三角恒等變換、解三角形,難度一般,一般出現(xiàn)在第49或第1315題位置上3若以解答題命題形式出現(xiàn),主要考查三角函數(shù)與解三角形的綜合問(wèn)題,一般出現(xiàn)在解答題第17題位置上,難度中等熱點(diǎn)課題8解三角形中的范圍問(wèn)題感悟體驗(yàn)(2018河南豫北聯(lián)考)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且acosC(2bc)cosA.(1)求角A的大小;(2)求cos2sin2的取值范圍解(1)由正弦定理將原等式化為sinAcosC2sinBcosAsinCcosA,從而可得,sin(AC)2sinBcosA,即sinB2sinBcosA.又B為三角形的內(nèi)角,所以sinB0,于是cosA.又A為三角形的內(nèi)角,因此A.(2)cos2sin2sinBcosC1sinBcos1sinBcoscosBsinsinB1sinBcosB1sin1,由A可知,B,所以B,從而sin,因此,sin1,故cos2sin2的取值范圍為.專題跟蹤訓(xùn)練(十五)一、選擇題1(2018廣東七校聯(lián)考)已知sincos,則cos()A B. C D.解析由sincos,得sincoscos,即sincos,亦即sin,sin,cossinsin,故選C.答案C2(2018貴陽(yáng)監(jiān)測(cè))已知sin,則cos的值是()A. B. C D解析sin,coscos12sin2,coscoscoscos.答案D3(2018湖北武漢模擬)在ABC中,a,b,B,則A等于()A. B. C. D.或解析由正弦定理得,所以sinA,所以A或.又ab,所以AB,所以A.答案B4在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且B2C,2bcosC2ccosBa,則角A的大小為()A. B. C. D.解析由正弦定理得2sinBcosC2sinCcosBsinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC,sinBcosC3sinCcosB,sin2CcosC3sinCcos2C,2cos2C3(cos2Csin2C),tan2C,B2C,C為銳角,tanC,C,B,A,故選A.答案A5在ABC中,a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊若bsinA3csinB,a3,cosB,則b()A14 B6 C. D.解析bsinA3csinBab3bca3cc1,b2a2c22accosB912316,b,故選D.答案D6(2018山東日照二模)如圖所示,在平面四邊形ABCD中,AB1,BC2,ACD為正三角形,則BCD面積的最大值為()A22 B.C.2 D.1解析在ABC中,設(shè)ABC,ACB,由余弦定理得:AC21222212cos,ACD為正三角形,CD2AC254cos,SBCD2CDsinCDsinCDcosCDsin,在ABC中,由正弦定理得:,ACsinsin,CDsinsin,(CDcos)2CD2(1sin2)CD2sin254cossin2(2cos)2,0,cosB.(1)由cosB,得sinB,sinA,.又ab10,a4.(2)b2a2c22accosB,b3,a5,4525c28c,即c28c200,解得c10或c2(舍去),SacsinB15.12在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知2(tanAtanB).(1)證明:ab2c;(2)求cosC的最小值解(1)證明:由題意知2,化簡(jiǎn)得2(sinAcosBsinBcosA)sinAsinB,即2sin(AB)sinAsinB.因?yàn)锳BC,所以sin(AB)sin(C)sinC.從而sinAsinB2sinC.由正弦定理得ab2c.(2)由(1)知c,所以cosC,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí),等號(hào)成立故cosC的最小值為.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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