2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 巧求周長(zhǎng).doc

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2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 巧求周長(zhǎng) 　　我們知道： 　　這兩個(gè)計(jì)算公式看起來(lái)十分簡(jiǎn)單，但用途卻十分廣泛。用它們可以解決許多直角多邊形(所有的角都是直角的多邊形)的周長(zhǎng)問(wèn)題。這是因?yàn)橹苯嵌噙呅慰偪梢苑指畛扇舾蓚€(gè)正方形或長(zhǎng)方形。 　　例如，下面的圖形都可以分割成若干個(gè)正方形或長(zhǎng)方形，當(dāng)然分割的方法不是唯一的。 　　由此，可以演變出許多只涉及正方形、長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算公式的題目。 例1一個(gè)苗圃園(如左下圖)，周邊和中間有一些路供人行走(圖中線(xiàn)段表示“路”)，幾個(gè)小朋友在里面觀(guān)賞時(shí)發(fā)現(xiàn)：從A處出發(fā)，在速度一樣的情況下，只要是按“向右”、“向上”方向走，幾個(gè)人分頭走不同的路線(xiàn)，總會(huì)同時(shí)達(dá)到B處。你知道其中的道理嗎？ 分析與解：如右上圖所示，將各個(gè)交點(diǎn)標(biāo)上字母。由A處到B處，按“向右”、“向上”方向走，只有下面六條路線(xiàn)： (1)A→C→D→E→B； (2)A→C→O→E→B； (3)A→C→O→F→B； (4)A→H→G→F→B； (5)A→H→O→E→B； (6)A→H→O→F→B。 　　因?yàn)锳→C與H→O，G→F的路程一樣長(zhǎng)，所以可以把它們都換成A→C；同理，將O→E，F(xiàn)→B都換成C→D；將A→H，C→O都換成D→E；將H→G，O→F都換成E→B。這樣換過(guò)之后，就得到六條路線(xiàn)的長(zhǎng)度都與第(1)條路線(xiàn)相同，而第(1)條路線(xiàn)的長(zhǎng)“AD+DB”就是長(zhǎng)方形的“長(zhǎng)+寬”，也就是說(shuō)，每條路線(xiàn)的長(zhǎng)度都是“長(zhǎng)+寬”。路程、速度都相同，當(dāng)然到達(dá)B處的時(shí)間就相同了。 例2 計(jì)算下列圖形的周長(zhǎng)(單位：厘米)。 解：(1)將圖中右上缺角處的線(xiàn)段分別向上、向右平行移動(dòng)到虛線(xiàn)處(見(jiàn)左下圖)，這樣正好移補(bǔ)成一個(gè)正方形，所以它的周長(zhǎng)為254=100(厘米)。 (2)與(1)類(lèi)似，可以移補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方形，周長(zhǎng)為 　　(10＋15)2=50(厘米)。 例3 求下面兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)(單位：厘米)。 　 解：(1)與例2類(lèi)似，可以移補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)(15＋10＋15)厘米、寬(12＋20)厘米的長(zhǎng)方形，所以周長(zhǎng)為 　　(15＋10＋15)2＋(12＋20)2＝144(厘米)。 (2)設(shè)想先把長(zhǎng)20厘米的線(xiàn)段向上平移到兩條長(zhǎng)15厘米的線(xiàn)段中間，構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)60厘米，寬(15＋20＋15)厘米的長(zhǎng)方形，此時(shí)，還有兩條長(zhǎng)35厘米的豎線(xiàn)段。所以周長(zhǎng)為 　　602＋(15＋20＋15)2＋352＝290(厘米)。 例4在一張紙上畫(huà)出由四個(gè)邊長(zhǎng)為3厘米的正方形拼湊或組合成的圖形(重疊的線(xiàn)段只算畫(huà)一次)。顯然，這個(gè)圖形有多種多樣的畫(huà)法，下列各圖是其中的一部分畫(huà)法。在所有的這些畫(huà)法中， (1)哪種畫(huà)法畫(huà)出的線(xiàn)段總長(zhǎng)最長(zhǎng)？有多長(zhǎng)？ (2)哪種畫(huà)法畫(huà)出的線(xiàn)段總長(zhǎng)最短？有多長(zhǎng)？ 分析與解：畫(huà)的線(xiàn)段重疊部分越少，畫(huà)的線(xiàn)段就越長(zhǎng)。反之，重疊部分越多，畫(huà)的線(xiàn)段就越短。因此，類(lèi)似圖1那樣畫(huà)的線(xiàn)條最長(zhǎng)，共畫(huà)了 　　344=48(厘米)。 　　右圖畫(huà)的線(xiàn)條最短，共畫(huà)了 　　(3＋3)6=36(厘米)。 　 例5下圖是一個(gè)方形螺線(xiàn)。已知兩相鄰平行線(xiàn)之間的距離均為1厘米，求螺線(xiàn)的總長(zhǎng)度。 分析與解：如左下圖所示，按箭頭方向轉(zhuǎn)動(dòng)虛線(xiàn)部分，于是得到了三個(gè)邊長(zhǎng)分別為3，5，7厘米的正方形和中間一個(gè)三邊圖形(見(jiàn)右下圖)。所以螺線(xiàn)總長(zhǎng)度為 　　(3＋5＋7)4＋13=63(厘米)。 練習(xí) 　　1.試求左下圖的周長(zhǎng)(單位：厘米)。 　 　　2.上頁(yè)右下圖是由邊長(zhǎng)為1厘米的11個(gè)正方形堆成的“土”字圖形。試求出其周長(zhǎng)。 　　3.右圖是某小學(xué)教學(xué)樓的平面示意圖，設(shè)計(jì)者在圖上只標(biāo)明了三條線(xiàn)段的長(zhǎng)度(單位：米)。請(qǐng)你算出它的周長(zhǎng)。 　　4.下圖是由七個(gè)長(zhǎng)5厘米、寬3厘米的相同長(zhǎng)方形經(jīng)過(guò)豎放、橫放而成的圖形。求這個(gè)圖形的周長(zhǎng)。 　　5.下面兩圖中的小方格的大小相同。圖(1)的周長(zhǎng)為48厘米，圖(2)的周長(zhǎng)等于多少？ 　　6.如右圖所示，一個(gè)正方形被分成了三個(gè)相同的長(zhǎng)方形。如果其中一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是16米，那么這個(gè)正方形的周長(zhǎng)是多少米？ 附送： 2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 巧求周長(zhǎng)（一） 專(zhuān)題簡(jiǎn)析： 一個(gè)圖形的周長(zhǎng)是指圍成它的所有線(xiàn)段的長(zhǎng)度和。我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了求長(zhǎng)方形、正方形這些標(biāo)準(zhǔn)圖形的周長(zhǎng)，那么怎樣運(yùn)用長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)計(jì)算公式，巧妙地求一些復(fù)雜圖形的周長(zhǎng)呢？ 對(duì)于一些不規(guī)則的比較復(fù)雜的幾何圖形，要求它們的周長(zhǎng)，我們可以運(yùn)用平移的方法，把它轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的長(zhǎng)方形或正方形，然后再利用周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算。 將一個(gè)大長(zhǎng)方形或正方形分割成若干個(gè)長(zhǎng)方形和正方形，那么圖形周長(zhǎng)就會(huì)增加幾個(gè)長(zhǎng)或?qū)?；反之，將若干個(gè)小長(zhǎng)方形或正方形合成一個(gè)大長(zhǎng)方形或正方形，圖形周長(zhǎng)就會(huì)減少幾個(gè)長(zhǎng)或?qū)挕? 例題1 下圖是一個(gè)樓梯的側(cè)面圖，求此圖形的周長(zhǎng)。 思路導(dǎo)航：如果把每層臺(tái)階的寬度向上移到和最上層臺(tái)階同樣高的地方，把每層臺(tái)階的高度向右移到和最下層的臺(tái)階長(zhǎng)度一致的地方（如下圖），這樣樓梯側(cè)面圖就轉(zhuǎn)化為一個(gè)長(zhǎng)方形，然后我們利用長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算公式求出此圖形的周長(zhǎng)。 （2＋3）2=10米。 練 習(xí) 一 1．下圖是一個(gè)樓梯的側(cè)面，如果在階梯上鋪地毯，要計(jì)算地毯的長(zhǎng)度，可以怎樣測(cè)量？ 2．如下圖所示，小明和小玲同時(shí)從學(xué)校到少兒書(shū)店，小明沿A路線(xiàn)行走，小玲沿B路線(xiàn)行走。如果兩人速度一樣，誰(shuí)先到少兒書(shū)店？為什么？ 3．下圖是一個(gè)“凹”字形的花園，求花園的周長(zhǎng)。（單位：米） 例題2 下圖是由6個(gè)邊長(zhǎng)2厘米的正方形拼成的，這個(gè)圖形的周長(zhǎng)是多少厘米？ 思路導(dǎo)航：這題我們可以用平移的方法將它轉(zhuǎn)化為一個(gè)長(zhǎng)方形，如下圖： 這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)含有4個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)，長(zhǎng)為24=8厘米；寬含有2個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)，寬為22=4厘米。這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為：（24＋22）2=24厘米。 練 習(xí) 二 1．下圖是由5個(gè)邊長(zhǎng)為3厘為的正方形組成的圖形，求此圖形的周長(zhǎng)。 2．下圖是由6個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方形組成的，求此圖形的周長(zhǎng)。 3．用24個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少厘米？ 例題3 兩個(gè)大小相同的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形后，周長(zhǎng)比原來(lái)兩個(gè)正方形周長(zhǎng)的和減少了6厘米。原來(lái)一個(gè)正方形的周長(zhǎng)是多少厘米？ 思路導(dǎo)航：根據(jù)題意，畫(huà)出下圖。 當(dāng)兩個(gè)正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形時(shí)，組成兩個(gè)正方形的8條邊就減少了2條，而已知兩條邊的和是6厘米，那么一條邊長(zhǎng)就是62=3厘米。所以，原來(lái)正方形的周長(zhǎng)是：34=12厘米。 練 習(xí) 三 1．把兩個(gè)大小相同的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形后，周長(zhǎng)比原來(lái)兩個(gè)正方形的周長(zhǎng)和減少10厘米。原來(lái)一個(gè)正方形的周長(zhǎng)是多少？ 2．把一個(gè)正方形剪成兩個(gè)大小相同的長(zhǎng)方形后，兩個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和比原來(lái)正方形的周長(zhǎng)增加28分米。原來(lái)正方形的周長(zhǎng)是多少？ 3．把邊長(zhǎng)是48厘米的正方形剪成三個(gè)同樣大小的長(zhǎng)方形，算一算，每個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少厘米？ 例題4 一個(gè)正方形，邊長(zhǎng)是5厘為，將9個(gè)這樣的正方形如下圖一樣拼成一個(gè)大正方形，問(wèn)：拼成的大正方形的周長(zhǎng)是多少？ 思路導(dǎo)航：從圖上可以看出，9個(gè)小正方形拼成的大正方形共有3排，每排由3個(gè)小正方形組成。已知小正方形的邊長(zhǎng)是5厘米，所以大正方形的邊長(zhǎng)就是53=15厘米，大正方形的周長(zhǎng)就是154=60厘米。 練 習(xí) 四 1．把16個(gè)邊長(zhǎng)為3厘米的小正方形拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)大正方形的周長(zhǎng)是多少厘米？ 2．把6個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的小正方形如下圖拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為多少厘米？ 3．把6個(gè)長(zhǎng)為3厘米、寬為2厘米的小長(zhǎng)方形如下圖拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，這個(gè)大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少？ 例題5 將一張邊長(zhǎng)為36厘米的正方形紙，剪成4個(gè)完全一樣的小正方形紙片，這4個(gè)小正方形周長(zhǎng)的和比原來(lái)的正方形周長(zhǎng)增加了多少厘米？ 思路導(dǎo)航：將邊長(zhǎng)36厘米的正方形，沿豎直方向剪一刀，周長(zhǎng)的和就比原來(lái)大正方形周長(zhǎng)增加2個(gè)邊長(zhǎng)；再沿水平方向剪一刀，又增加2個(gè)邊長(zhǎng)，一共增加22個(gè)邊長(zhǎng)。所以這4個(gè)小正方形周長(zhǎng)的和比原來(lái)的正方形周長(zhǎng)增加了364=144厘米。 練 習(xí) 五 1．將一張邊長(zhǎng)為12厘米的正方形紙，剪成4個(gè)完全一樣的小正方形，那么這4個(gè)小正方形周長(zhǎng)之和比原來(lái)的大正方形的周長(zhǎng)增加了多少厘米？ 2．把一個(gè)邊長(zhǎng)為20厘米的正方形，如下圖剪成6個(gè)完全一樣的小長(zhǎng)方形，這6個(gè)小長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的和與原來(lái)的正方形相比，增加了多少厘米？ 3．將一個(gè)長(zhǎng)為8分米，寬為6分米的長(zhǎng)方形如下圖剪成6個(gè)完全一樣的小長(zhǎng)方形，這6個(gè)小長(zhǎng)方形周長(zhǎng)之和比原來(lái)的正方形周長(zhǎng)增加了多少分米？