湖南省邵陽市中考數(shù)學(xué)提分訓(xùn)練 一元二次方程（含解析）.doc

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xx年中考數(shù)學(xué)提分訓(xùn)練: 一元二次方程 一、選擇題 1.一元二次方程 x2 - x = 0 的解是（ ） A.x = 0B.x = 1C.x1= 1，x2 = 0D.x1= - 1，x2 = 0 2.下列方程中沒有實(shí)數(shù)根的是（ ） A.；B.；C.；D.． 3.已知x=2是一元二次方程x2﹣mx﹣10=0的一個(gè)根，則m等于（ ） A.﹣5B.5C.﹣3D.3 4.若關(guān)于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（ ） A.B.C.D. 5.某縣以“重點(diǎn)整治環(huán)境衛(wèi)生”為抓手，加強(qiáng)對各鄉(xiāng)鎮(zhèn)環(huán)保建設(shè)的投入，計(jì)劃從xx年起到2019年累計(jì)投入4250萬元，已知xx年投入1500萬元，設(shè)投入經(jīng)費(fèi)的年平均增長率為x，根據(jù)題意，下列所列方程正確的是( ) A.1500(1＋x)2＝4250B.1500(1＋2x)＝4250 C.1500＋1500x＋1500x2＝4250D.1500(1＋x)＋1500(1＋x)2＝4250－1500 6.若x1 ， x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的兩個(gè)根，則x12﹣x1+x2的值為（ ） A.﹣1B.0C.2D.3 7.若 是關(guān)于x的方程 的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是（ ） A.9B.4C.4 D.3 8.若一元二次方程式x2﹣8x﹣311=0的兩根為a、b，且a＞b，則a﹣2b之值為何？（ ） A.﹣25 B.﹣19 C.5 D.17 9.已知關(guān)于x的一元二次方程 有實(shí)數(shù)根，若k為非負(fù)整數(shù)，則k等于（ ） A.0B.1C.0，1D.2 10.我們知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，現(xiàn)給出另一個(gè)方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（ ） A.x1=1，x2=3B.x1=1，x2=﹣3C.x1=﹣1，x2=3D.x1=﹣1，x2=﹣3 11.已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（ ） A.m＞ B.m≥ C.m＞ 且m≠2D.m≥ 且m≠2 12.已知關(guān)于 的一元二次方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 ，若 ,則 的值是( ) A.2B.-1C.2或-1D.不存在 二、填空題 13.若 為方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 ________. 14.關(guān)于x的一元二次方程x2－ x＋sinα＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則銳角α＝________． 15.經(jīng)過兩次連續(xù)降價(jià)，某藥品銷售單價(jià)由原來的49元降到30元，設(shè)該藥品平均每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意可列方程是________． 16.已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的兩根x1、x2滿足x12+x22=14，則m=________ 17.方程x4﹣2x2﹣400x=9999的解是________ 18.已知關(guān)于 的一元二次方程 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則 ________． 19.已知關(guān)于 的方程 的兩根為 ， ，則方程 的兩根之和為________. 20.已知在等腰三角形ABC中，BC＝8，AB，AC的長為方程x2－10x＋m＝0的根，則m＝________． 三、解答題 21.已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的兩個(gè)根且a2﹣2a﹣1=0，求a2﹣a+b+3ab的值． 22. 解答題 （1）解方程（x﹣2）（x﹣3）=0； （2）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的值取值范圍． 23.已知三角形的兩邊長分別為3和7，第三邊長是方程x(x-7)-10(x-7)=0的一個(gè)根，求這個(gè)三角形的周長. 24.市政府為了解決市民看病貴的問題，決定下調(diào)藥品的價(jià)格，某種藥品經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后，由每盒200元下調(diào)至128元，求這種藥品平均每次降價(jià)的百分率是多少？ 25.一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴(kuò)大銷售、增加盈利，該店采取了降價(jià)措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降價(jià)3元，則平均每天銷售數(shù)量為________件； （2）當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷售利潤為1200元？ 26.如圖，在△ABC中，∠ACB=90，以點(diǎn)B為圓心，BC的長為半徑畫弧，交線段AB于點(diǎn)D，以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑畫弧，交線段AC于點(diǎn)E，連結(jié)CD。 （1）若∠A=28，求∠ACD的度數(shù)； （2）設(shè)BC=a，AC=b；①線段AD的長度是方程 的一個(gè)根嗎？說明理由。 ②若線段AD=EC，求 的值．  答案解析 一、選擇題 1.【答案】C 【解析】 ：x（x-1）=0，解得：x1= 1，x2 = 0．故答案為：C． 【分析】根據(jù)提公因式法將方程的左邊變形為兩個(gè)因式的積，根據(jù)兩個(gè)因式的積為零，則這幾個(gè)數(shù)至少有一個(gè)為0，從而將方程降次，求解得出原方程的解。 2.【答案】B 【解析】 ：A、在x2+x﹣1=0中，△=12﹣4（﹣1）=5＞0，故該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故A不符合題意； B、在x2+x+1=0中，△=12﹣41=﹣3＜0，故該方程沒有實(shí)數(shù)根，故B符合題意； C、在x2﹣1=0中，△=0﹣4（﹣1）=4＞0，故該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故C不符合題意； D、在x2+x=0中，△=12﹣40=1＞0，故該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故D不符合題意． 故答案為：B． 【分析】分別算出各個(gè)方程中根的判別式的值，然后根據(jù)?＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；?＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；?＜0方程沒有實(shí)數(shù)根；即可一一判斷。 3.【答案】C 【解析】 將x=2代入x2﹣mx﹣10=0， ∴4﹣2m﹣10=0 ∴m=﹣3 故答案為：C． 【分析】根據(jù)方程根的定義，將x=2代入x2﹣mx﹣10=0，得出一個(gè)關(guān)于m的方程，求解即可得出m的值。 4.【答案】A 【解析】 ∵關(guān)于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有實(shí)數(shù)根， ∴ ，解得：k>-1. 故答案為：A. 【分析】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有實(shí)數(shù)根，即可得出二次項(xiàng)的系數(shù)不能為0，且根的判別式應(yīng)該為非負(fù)數(shù)，從而列出不等式組，求解即可得出k的取值范圍。 5.【答案】D 【解析】 ：設(shè)xx﹣2019年投入經(jīng)費(fèi)的年平均增長率為x，則xx年投入1500（1+x）萬元，2019年投入1500（1+x）2萬元， 根據(jù)題意得1500（1+x）+1500（1+x）2=4250﹣1500． 故答案為：D．【分析】此題的等量關(guān)系是三年一共投入4250萬元，列方程即可。 6.【答案】D 【解析】 已知x1 ， x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的兩個(gè)根，可得x12﹣2x1﹣1=0，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=2，x1?x2=﹣1，所以x12﹣x1+x2=x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2=1+x1+x2=1+2=3．故答案選D．【分析】根據(jù)一元二次方程的根的判別式可得x1+x2=2，x1?x2=﹣1，由一元二次方程解的意義可得x12﹣2x1﹣1=0，所以原式=x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2=1+x1+x2=1+2=3． 7.【答案】D 【解析】 設(shè)方程的另一個(gè)根為a，得 ，解得a= ，故答案為：D.【分析】設(shè)方程的另一個(gè)根為a，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，兩根之和等于-即可得出答案。 8.【答案】D 【解析】 ：（x﹣11）（x+3）=0， x﹣11=0或x﹣3=0， 所以x1=11，x2=﹣3， 即a=11，b=﹣3， 所以a﹣2b=11﹣2（﹣3）=11+6=17． 故答案為：D． 【分析】用因式分解法解這個(gè)一元二次方程，根據(jù)已知條件a＞b，可得a、b的值，再將a、b的值代入代數(shù)式a﹣2b即可求解。 9.【答案】B 【解析】 ：∵a=k，b=﹣2，c=1，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4k1=4﹣4k≥0，解得：k≤1．∵k是二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，k≠0，即k≤1且k≠0．∵k為非負(fù)整數(shù)，∴k=1．故答案為：B．【分析】因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，所以由一元二次方程的根的判別式可得△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4k1=4﹣4k≥0，解得k≤1，根據(jù)一元二次方程的定義可得k≠0，且k為非負(fù)整數(shù)，所以k=1。 10.【答案】D 【解析】 ：（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0， （2x+3+3）（2x+3-1）=0 ∴2x+6=0或2x+2=0 解之：x1=﹣1，x2=﹣3 故答案為：D 【分析】將2x+3看著整體，利用因式分解法求解即可。 11.【答案】C 【解析】 ：∵原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 ∴b2-4ac=（2m+1）2-4（m-2）2＞0 20m-15＞0 解之：m＞ ∵m-2≠0 ∴m≠2 ∴m＞且m≠2 故答案為：C 【分析】利用一元二次方程根的判別式及一元二次方程的定義，列不等式組求解即可。 12.【答案】A 【解析】 ∵關(guān)于x的一元二次方程mx2-（m+2）x+ =0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2 ， ∴ ， 解得：m＞-1且m≠0． ∵x1、x2是方程mx2-（m+2）x+ =0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， ∴x1+x2= ，x1x2= ， ∵ ， ∴ =4m， ∴m=2或-1， ∵m＞-1， ∴m=2． 故答案為：A． 【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式，求出m的取值范圍，再利用根與系數(shù)的關(guān)系及，建立關(guān)于m的方程，求出m的值，再根據(jù)m的取值范圍確定出m的值即可。 二、填空題 13.【答案】－1 【解析】 ：∵x1、x2為方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2=- =-1. 故答案為：-1. 【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可得出答案. 14.【答案】30 【解析】 由題意得b2-4ac=0，即 ， ∴ ，∴α=30， 故答案為：30. 【分析】根據(jù)題意可知b2-4ac=0，建立方程求解即可。 15.【答案】49（1﹣x）2=30 【解析】 ：設(shè)該藥品平均每次降價(jià)的百分率為x， 根據(jù)題意可得：49（1﹣x）2=30. 故答案為：49（1﹣x）2=30. 【分析】此題是一道平均降低率的問題，設(shè)該藥品平均每次降價(jià)的百分率為x，，根公式a(1-x)n=p,（a,代表降低開始的量，x是降低率，n是增長次數(shù)，p是降低結(jié)束達(dá)到的量）列出算式即可。 16.【答案】-2 【解析】 ∵關(guān)于x的一元二次方程 的兩根是 ∴ ∴ ∵ ∴ 解得: 或 當(dāng) 時(shí)，方程為 ，此時(shí) 不合題意，舍去， ∴ 故答案為： 【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2=m ， x1x2=2m?1 ，根據(jù)完全平方公式的恒等變形及整體代入得出x12+x22=(x1+x2)2?2x1x2= m2?2(2m?1) ，又x12+x22=14 ， 從而得出關(guān)于m的方程，求解得出m的值，再將m的值代入根的判別式?進(jìn)行檢驗(yàn)是否滿足?＞0即可得出答案。 17.【答案】﹣9或11 【解析】 ：由題意可得： x4﹣2x2﹣400x=9999 （x2+1）2=（2x+100）2 ①當(dāng)x2+1=2x+100時(shí)，經(jīng)化簡可得（x﹣1）2=100 解得x=﹣9或x=11． ②當(dāng)x2+1=﹣2x﹣100時(shí)，經(jīng)化簡可得（x+1）2=﹣100，此方程無解， 因此x的值應(yīng)該是﹣9或11． 故答案是：﹣9或11. 【分析】求方程的解關(guān)鍵是適當(dāng)?shù)姆纸M，將方程兩邊配成完全平方式，再用直接開平方法求解即可。即：由題意可得：（x2+1）2=（2x+100）2 ， 將方程兩邊直接開平方得，x2+1=（2x+100），①當(dāng)x2+1=2x+100時(shí)，解得x=﹣9或x=11．②當(dāng)x2+1=﹣2x﹣100時(shí)，經(jīng)化簡可得（x+1）2=﹣100，此方程無解。 18.【答案】 【解析】 ：∵關(guān)于 的一元二次方程 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴ ， 解得 故答案為： . 【分析】由一元二次方程根的判別式，當(dāng)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，判別式 ，將對應(yīng)的a,b,c的值代入計(jì)算即可． 19.【答案】1 【解析】 ：∵已知關(guān)于 的方程 的兩根為 ， ，∴ ∵ ∴x2-x=0 ∴此方程的兩根之和為1 故答案為：1 【分析】根據(jù)已知條件求出a、b的值，再將a、b的值代入方程 ，得出x2-x=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解。 20.【答案】25或16 【解析】 ：當(dāng)AB=BC=8， 把x=8代入方程得64﹣80+m=0， 解得m=16，此時(shí)方程為x2﹣10x+16=0， 解得x1=8，x2=2； 當(dāng)AB=AC，則AB+AC=10， 所以AB=AC=5， 則m=55=25． 故答案為：25或16．【分析】分情況討論：根據(jù)等腰三角形性質(zhì)當(dāng)AB=BC=8將x=8代入方程可得到m=16，再求出方程的根，，滿足三角形三邊關(guān)系；當(dāng)AB=AC，根據(jù)根與系數(shù)得關(guān)系得AB+AC=10，所以AB=AC=5，求出m的值即可。 三、解答題 21.【答案】解： ∵a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的兩個(gè)根 ∴a+b=2，ab=-1； 且a2﹣2a﹣1=0 即a2=2a+1 ； 所以a2-a+b+3ab =2a+1-a+b+3ab =a+b+1+3ab =2+1-3 =0 【解析】【分析】對于一元二次方程，x1 ， x2是方程的兩根，那么x1+x2=，x1x2=，先利用根與系數(shù)的關(guān)系及所給等式求得a，b之間的關(guān)系，再對所給代數(shù)式變形后求解即可. 22.【答案】（1）解：∵（x﹣2）（x﹣3）=0 ∴x﹣2=0或x﹣3=0， 解得：x1=2，x2=3． （2）解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ∴△=（﹣2）2﹣4m=4﹣4m＞0， 解得：m＜1． ∴m的值取值范圍為m＜1 【解析】【分析】因式分解法得到方程的解；根據(jù)△=b2-4ac＞0方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根；根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到△=b2-4ac＞0，求出m的值取值范圍． 23.【答案】解：∵方程x(x-7)-10(x-7)=0， ∴x1=7，x2=10. 當(dāng)x=10時(shí)，3+7=10，所以x2=10不合題意，舍去. ∴這個(gè)三角形的周長為3+7+7=17. 【解析】【分析】先利用提公因式法對方程進(jìn)行因式分解后求得方程的解，再結(jié)合三角形兩邊和大于第三邊求判斷是否可以組成三角形，對可以組成的三角形進(jìn)行求周長即可. 24.【答案】解：設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x， 根據(jù)題意，得 ， 解得 （舍去）， 因此，平均每次降價(jià)的百分率為20％. 【解析】【分析】此題是一道平均降低率的問題，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，，根公式a(1-x)n=p,（a,代表降低開始的量，x是降低率，n是降低次數(shù)，p是降低結(jié)束達(dá)到的量）列出方程求解并檢驗(yàn)即可。 25.【答案】（1）26 （2）解： 設(shè)每件商品降價(jià)x元時(shí)，該商店每天銷售利潤為1200元，則平均每天銷售數(shù)量為（20+2x）件，每件盈利為（40-x）元，且40-x≥25,即x≤15.根據(jù)題意可得（40-x）（20+2x）=1200， 整理得x2-30x+200=0, 解得x1=10,x2=20（舍去）， 答：每件商品降價(jià)10元時(shí)，該商店每天銷售利潤為1200元。 【解析】【分析】（1）根據(jù)等量關(guān)系“原銷售件數(shù)+2降價(jià)數(shù)=降價(jià)后的銷售件數(shù)”計(jì)算；（2）根據(jù)等量關(guān)系“每件盈利銷量=利潤”，可設(shè)降價(jià)x元，則銷量根據(jù)（1）的等量關(guān)系可得為（20+2x）件，而每件盈利為（40-x）元，利潤為1200元，代入等量關(guān)系解答即可。 26.【答案】（1）因?yàn)椤螦=28，所以∠B=62又因?yàn)锽C=BD，所以∠BCD= （180-62）=59 ∴∠ACD=90-59=31 （2）因?yàn)锽C=a，AC=b，所以AB= 所以AD=AB-BD= ①因?yàn)?= =0 所以線段AD的長是方程x2+2ax-b2=0的一個(gè)根。 ②因?yàn)锳D=EC=AE= 所以 是方程x2+2ax-b2=0的根， 所以 ，即4ab=3b 因?yàn)閎≠0，所以 = 【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出∠B的度數(shù)，再根據(jù)已知可得出△BCD是等腰三角形，可求出∠BCD的度數(shù)，從而可求得∠ACD的度數(shù)。 （2）根據(jù)已知①BC=a，AC=b，利用勾股定理可求出AB的值，①再求出AD的長，再根據(jù)AD是原方程的一個(gè)根，將AD的長代入方程，可得出方程左右兩邊相等，即可得出結(jié)論；②根據(jù)已知條件可得出AD=EC=AE= ，將 代入方程化簡可得出4ab=3b，就可求出a與b之比。