高考數(shù)學(xué) 2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性課件.ppt

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第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性 知識(shí)梳理 1 必會(huì)知識(shí)教材回扣填一填 1 函數(shù)的奇偶性 f x f x y軸 f x f x 原點(diǎn) 2 周期性 周期函數(shù) 對(duì)于函數(shù)y f x 如果存在一個(gè)非零常數(shù)T 使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí) 都有 那么就稱函數(shù)y f x 為周期函數(shù) 稱T為這個(gè)函數(shù)的周期 最小正周期 如果在周期函數(shù)f x 的所有周期中存在一個(gè) 的正數(shù) 那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f x 的最小正周期 f x T f x 最小 2 必備結(jié)論教材提煉記一記 1 函數(shù)奇偶性常用結(jié)論 如果函數(shù)f x 是偶函數(shù) 那么f x f x 奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性 偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性 在公共定義內(nèi)有 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 2 函數(shù)周期性常用結(jié)論 對(duì)f x 定義域內(nèi)任一自變量的值x 若f x a f x 則T 2a a 0 若f x a 則T 2a a 0 若f x a 則T 2a a 0 3 必用技法核心總結(jié)看一看 1 常用方法 判斷函數(shù)奇偶性的方法 應(yīng)用函數(shù)奇偶性 周期性的方法 2 數(shù)學(xué)思想 數(shù)形結(jié)合思想 分類討論思想 轉(zhuǎn)化與化歸思想 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 函數(shù)具備奇偶性的必要條件是函數(shù)的定義域在x軸上是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的 2 若函數(shù)f x 為奇函數(shù) 則一定有f 0 0 3 若函數(shù)y f x a 是偶函數(shù) 則函數(shù)y f x 關(guān)于直線x a對(duì)稱 4 若函數(shù)y f x b 是奇函數(shù) 則函數(shù)y f x 關(guān)于點(diǎn) b 0 中心對(duì)稱 解析 1 正確 根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義 f x f x 必須同時(shí)有意義 故具備奇偶性的函數(shù)首先其定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 但定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)未必具有奇偶性 2 錯(cuò)誤 若函數(shù)f x 在點(diǎn)x 0處沒有定義 如f x 則f 0 不存在 3 正確 函數(shù)y f x a 關(guān)于直線x 0對(duì)稱 則函數(shù)y f x 關(guān)于直線x a對(duì)稱 4 正確 函數(shù)y f x b 關(guān)于點(diǎn) 0 0 中心對(duì)稱 則函數(shù)y f x 關(guān)于點(diǎn) b 0 中心對(duì)稱 答案 1 2 3 4 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修1P39B組T3改編 若f x 是偶函數(shù)且在 0 上為增函數(shù) 則函數(shù)f x 在 0 上為 解析 因?yàn)閒 x 是偶函數(shù) 所以f x 關(guān)于y軸對(duì)稱 又因?yàn)閒 x 在 0 上為增函數(shù) 結(jié)合圖象可知 函數(shù)f x 在 0 上為減函數(shù) 答案 減函數(shù) 2 必修1P39A組T6改編 設(shè)函數(shù)f x 是定義在R上的奇函數(shù) 若當(dāng)x 0 時(shí) f x lgx 則滿足f x 0的x的取值范圍是 解析 如圖所示 由f x 為奇函數(shù)知 f x 0的x的取值范圍為 1 0 1 答案 1 0 1 3 必修1P39A組T6改編 設(shè)f x 是周期為2的奇函數(shù) 當(dāng)0 x 1時(shí) f x 2x 1 x 則 解析 依題意 得答案 3 真題小試感悟考題試一試 1 2014 湖南高考 下列函數(shù)中 既是偶函數(shù)又在區(qū)間 0 上單調(diào)遞增的是 A f x B f x x2 1C f x x3D f x 2 x 解析 選A 2 2015 石家莊模擬 已知f x 是定義在R上的偶函數(shù) 且對(duì)任意x R都有f x 4 f x f 2 則f 2014 等于 A 0B 3C 4D 6 解析 選A 因?yàn)閒 x 是定義在R上的偶函數(shù) 所以f 2 f 2 所以f 2 4 f 2 f 2 f 2 2f 2 所以f 2 0 f 2014 f 4 503 2 f 2 0 3 2014 新課標(biāo)全國卷 已知偶函數(shù)f x 在 0 上單調(diào)遞減 f 2 0 若f x 1 0 則x的取值范圍是 解析 由題可知 當(dāng) 20 f x 1 的圖象是由f x 的圖象向右平移一個(gè)單位得到的 若f x 1 0 則 1 x 3 答案 1 3 考點(diǎn)1函數(shù)奇偶性的判斷 典例1 1 2014 廣東高考 下列函數(shù)為奇函數(shù)的是 本題源于教材必修1P35例5 A 2x B x3sinxC 2cosx 1D x2 2x 2 判斷下列函數(shù)的奇偶性 f x x 1 x 1 f x f x f x x 1 x 1 1 解題提示 1 奇函數(shù)滿足函數(shù)關(guān)系式f x f x 當(dāng)在原點(diǎn)處有定義時(shí) f 0 0 2 先求出定義域 看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 在定義域內(nèi) 解析式帶絕對(duì)值號(hào)的先化簡 計(jì)算f x 再判斷f x 與f x 之間的關(guān)系 規(guī)范解答 1 選A 幾個(gè)函數(shù)的定義域都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 在原點(diǎn)處有定義 故應(yīng)滿足f 0 0 此時(shí)2cosx 1和x2 2x不符合題意 又2x 滿足f x f x 但x3sinx滿足f x f x 所以只有f x 2x 是奇函數(shù) 2 函數(shù)的定義域x 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 因?yàn)閒 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x 所以f x x 1 x 1 是奇函數(shù) 由得x 3 所以f x 的定義域?yàn)?3 3 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 又f 3 f 3 0 f 3 f 3 0 即f x f x 所以f x 既是奇函數(shù) 又是偶函數(shù) 去掉絕對(duì)值符號(hào) 根據(jù)定義判斷 由得故f x 的定義域?yàn)?1 0 0 1 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 且有x 2 0 從而有f x 這時(shí)有f x f x 故f x 是奇函數(shù) 已知f x 的定義域?yàn)?1 1 其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 因?yàn)閒 x 所以f x f x 即f x f x 所以f x 是偶函數(shù) 易錯(cuò)警示 解答本題 2 有三點(diǎn)容易出錯(cuò) 1 忽視函數(shù)的定義域 2 對(duì)函數(shù)奇偶性概念把握不準(zhǔn) 3 存在既是奇函數(shù) 又是偶函數(shù)的情形 對(duì) 不知如何判斷 互動(dòng)探究 本例 2 題中若將條件 x 1 1 去掉 函數(shù)的奇偶性如何 解析 要使f x 有意義 則 0 解得 1 x 1 顯然f x 的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 所以f x 既不是奇函數(shù) 也不是偶函數(shù) 規(guī)律方法 判斷函數(shù)的奇偶性的兩種重要方法 1 定義法 2 圖象法 函數(shù)是奇 偶 函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn) y軸 對(duì)稱 變式訓(xùn)練 下列函數(shù) f x x3 x f x ln x f x a 0且a 1 f x f x 其中有個(gè)奇函數(shù) 解析 f x x3 x的定義域?yàn)镽 又f x x 3 x x3 x f x 所以f x x3 x是奇函數(shù) 由x x x 0知f x ln x 的定義域?yàn)镽 又f x ln x f x 所以f x 為奇函數(shù) f x 定義域?yàn)镽 且f x f x 所以f x 為奇函數(shù) 由 0得 1 x 1 f x lg的定義域?yàn)?1 1 又f x 所以f x 為奇函數(shù) 函數(shù)f x 的定義域?yàn)?0 0 其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 并且有當(dāng)x 0時(shí) x0 f x x 1 x x 1 x f x 所以函數(shù)f x 為偶函數(shù) 所以 中共有4個(gè)奇函數(shù) 答案 4 加固訓(xùn)練 1 設(shè)Q為有理數(shù)集 函數(shù)f x g x 則函數(shù)h x f x g x A 是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)B 是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)C 既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)D 既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù) 解析 選A 因?yàn)楫?dāng)x Q時(shí) x Q 所以f x f x 1 當(dāng)x RQ時(shí) x RQ 所以f x f x 1 綜上 對(duì)任意x R 都有f x f x 故函數(shù)f x 為偶函數(shù) 因?yàn)間 x 所以函數(shù)g x 為奇函數(shù) 所以h x f x g x f x g x f x g x h x 所以函數(shù)h x f x g x 是奇函數(shù) 所以h 1 f 1 g 1 h 1 f 1 g 1 1 h 1 h 1 所以函數(shù)h x 不是偶函數(shù) 2 函數(shù)f x 的定義域?yàn)镽 若f x 1 與f x 1 都是奇函數(shù) 則 A f x 是偶函數(shù)B f x 是奇函數(shù)C f x f x 2 D f x 3 是奇函數(shù) 解析 選D f x 1 是奇函數(shù) 則有f x 1 f x 1 f x 1 是奇函數(shù) 則有f x 1 f x 1 在 式中用x 1代替x 則有f x 1 1 f x 1 1 即f x f x 2 在 式中用x 1代替x 則有f x 1 1 f x 1 1 即f x f x 2 則f x 2 f x 2 可知周期為4 則f x 1 f x 3 f x 1 f x 3 由 式 f x 1 f x 1 可得f x 3 f x 3 所以f x 3 是奇函數(shù) 考點(diǎn)2函數(shù)周期性及其應(yīng)用 典例2 1 2015 南陽模擬 函數(shù)f x 是周期為4的偶函數(shù) 當(dāng)x 0 2 時(shí) f x x 1 則不等式xf x 0在 1 3 上的解集為 A 1 3 B 1 1 C 1 0 1 3 D 1 0 0 1 2 2014 四川高考 設(shè)f x 是定義在R上的周期為2的函數(shù) 當(dāng)x 1 1 時(shí) f x 則 解題提示 1 根據(jù)函數(shù)的周期性 奇偶性及在x 0 2 上的解析式畫出函數(shù)的圖象 結(jié)合函數(shù)圖象求解 2 利用周期得再求值即得 規(guī)范解答 1 選C f x 的圖象如圖 當(dāng)x 1 0 時(shí) 由xf x 0得x 1 0 當(dāng)x 0 1 時(shí) 由xf x 0得x 當(dāng)x 1 3 時(shí) 由xf x 0得x 1 3 故x 1 0 1 3 2 因?yàn)楹瘮?shù)f x 是定義在R上的周期為2的函數(shù) 所以答案 1 規(guī)律方法 函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用 1 判定 判斷函數(shù)的周期性只需證明f x T f x T 0 便可證明函數(shù)是周期函數(shù) 且周期為T 2 應(yīng)用 根據(jù)函數(shù)的周期性 可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì) 在解決具體問題時(shí) 要注意結(jié)論 若T是函數(shù)的周期 則kT k Z且k 0 也是函數(shù)的周期 變式訓(xùn)練 2015 南京模擬 已知f x 是定義在R上的偶函數(shù) 并且f x 2 當(dāng)2 x 3時(shí) f x x 則f 105 5 解析 由已知 可得f x 4 f x 2 2 故函數(shù)的周期為4 所以f 105 5 f 4 27 2 5 f 2 5 f 2 5 因?yàn)? 5 2 3 由題意 得f 2 5 2 5 所以f 105 5 2 5 答案 2 5 加固訓(xùn)練 1 若f x 是R上周期為5的奇函數(shù) 且滿足f 1 1 f 2 2 則f 3 f 4 等于 A 1B 1C 2D 2 解析 選A 由f x 是R上周期為5的奇函數(shù)知f 3 f 2 f 2 2 f 4 f 1 f 1 1 所以f 3 f 4 1 2 定義在R上的函數(shù)f x 滿足f x 6 f x 當(dāng) 3 x 1時(shí) f x x 2 2 當(dāng) 1 x 3時(shí) f x x 則f 1 f 2 f 3 f 2015 等于 A 335B 336C 1678D 2012 解析 選B 因?yàn)閒 x 6 f x 所以f x 是以6為周期的函數(shù) 因?yàn)楫?dāng) 3 x 1時(shí) f x x 2 2 當(dāng) 1 x 3時(shí) f x x 所以f 1 1 f 2 2 f 3 f 3 1 f 4 f 2 0 f 5 f 1 1 f 6 f 0 0 所以f 1 f 2 f 6 1 所以f 1 f 2 f 6 f 7 f 8 f 12 f 2005 f 2006 f 2010 1 所以f 1 f 2 f 2010 1 335 而f 2011 f 2012 f 2013 f 2014 f 2015 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 1 2 1 0 1 1 所以f 1 f 2 f 3 f 2015 335 1 336 3 定義在R上的偶函數(shù)f x 滿足f x 2 f x 1對(duì)于x R恒成立 且f x 0 則f 119 解析 因?yàn)閒 x 2 所以f x 4 f x 2 2 f x 所以f x 為周期函數(shù) 且周期為4 又因?yàn)閒 x 為偶函數(shù) 所以f x f x 所以f 119 f 29 4 3 f 3 f 3 4 f 1 f 1 又因?yàn)閒 1 2 所以f 1 f 1 1即f2 1 1 因?yàn)閒 x 0 所以f 1 1 所以f 119 1 答案 1 考點(diǎn)3函數(shù)奇偶性的應(yīng)用知 考情函數(shù)的奇偶性 周期性以及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì) 在高考中常常將它們綜合在一起命制試題 其中奇偶性多與單調(diào)性相結(jié)合 而周期性常與抽象函數(shù)相結(jié)合 并以結(jié)合奇偶性求函數(shù)值為主 多以選擇題 填空題形式出現(xiàn) 明 角度命題角度1 已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的值 典例3 2014 湖南高考 已知f x g x 分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù) 且f x g x x3 x2 1 則f 1 g 1 A 3B 1C 1D 3 解題提示 由奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義 把x 1代入即可 規(guī)范解答 選C 把x 1代入已知 得f 1 g 1 1 所以f 1 g 1 1 命題角度2 奇函數(shù) 偶函數(shù)圖象對(duì)稱性的應(yīng)用 典例4 2015 杭州模擬 已知定義在R上的奇函數(shù)f x 和偶函數(shù)g x 當(dāng)x 0時(shí) f x 當(dāng)x 0時(shí) g x 2x 則f x 和g x 圖象的公共點(diǎn)在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D(zhuǎn) 第四象限 解題提示 根據(jù)奇函數(shù) 偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性分別作出f x 與g x 的圖象 數(shù)形結(jié)合求解 規(guī)范解答 選B 根據(jù)奇函數(shù) 偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性分別作出f x 與g x 的圖象如圖所示 由圖象知公共點(diǎn)在第二象限 命題角度3 已知函數(shù)的奇偶性 求參數(shù) 典例5 2014 湖南高考 若f x ln e3x 1 ax是偶函數(shù) 則a 解題提示 利用偶函數(shù)的定義求解 規(guī)范解答 方法一 由偶函數(shù)的定義得f x f x 即ln e 3x 1 ax ln e3x 1 ax 3x 2ax a 方法二 因?yàn)楹瘮?shù)f x 為偶函數(shù) 所以f 1 f 1 即ln e3 1 a ln e 3 1 a 即2a lne 3 3 所以a 答案 悟 技法函數(shù)奇偶性的問題類型及解題思路 1 已知函數(shù)的奇偶性 求函數(shù)值 將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解 2 已知函數(shù)的奇偶性 求函數(shù)解析式中參數(shù)的值 常常利用待定系數(shù)法 利用f x f x 0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式 由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值或方程求解 3 應(yīng)用奇偶性畫圖象和判斷單調(diào)性 利用奇偶性可畫出另一對(duì)稱區(qū)間上的圖象及判斷另一對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性 通 一類1 2015 福州模擬 已知f x 是奇函數(shù) g x 是偶函數(shù) 且f 1 g 1 2 f 1 g 1 4 則g 1 等于 A 4B 3C 2D 1 解析 選B 由已知條件變形得解得g 1 3 2 2015 西安模擬 設(shè)f x 是奇函數(shù)且在原點(diǎn)處有定義 則使f x 0的x的取值范圍是 A 1 0 B 0 1 C 0 D 0 1 解析 選A 因?yàn)楹瘮?shù)f x 為奇函數(shù) 且在x 0處有定義 故f 0 0 即lg 2 a 0 所以a 1 故函數(shù)f x 令f x 0 得0 1 解得 1 x 0 即x 1 0 3 2015 煙臺(tái)模擬 已知函數(shù)f x 是定義在R上的偶函數(shù) 且對(duì)任意的x R 都有f x 2 f x 當(dāng)0 x 1時(shí) f x x2 若直線y x a與函數(shù)y f x 的圖象在 0 2 內(nèi)恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn) 則實(shí)數(shù)a的值是 A 0B 0或 C 或 D 0或 解析 選D 因?yàn)閒 x 2 f x 所以f x 的周期為2 又0 x 1時(shí) f x x2 可畫出函數(shù)y f x 在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖 顯然a 0時(shí) y x與y f x 在 0 2 內(nèi)恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn) 另當(dāng)直線y x a與y x2 0 x 1 相切時(shí)也恰有兩個(gè)不同公共點(diǎn) 由題意知y x2 2x 1 所以x 所以A又A點(diǎn)在y x a上 所以a 綜上可知a 0或 4 2015 邯鄲模擬 若f x 是奇函數(shù) 且在 0 內(nèi)是增函數(shù) 又有f 3 0 則xf x 0的解集是 解析 由題意可得 函數(shù)f x 在 0 上是增函數(shù) 且f 3 f 3 0 函數(shù)的單調(diào)性示意圖如圖所示 由不等式xf x 0可得 x與f x 的符號(hào)相反 結(jié)合函數(shù)f x 的圖象可得 不等式的解集為 3 0 0 3 答案 3 0 0 3 巧思妙解1妙用奇偶性求函數(shù)解析式中的參數(shù)值 典例 2015 金華模擬 若函數(shù)f x 為奇函數(shù) 則a 常規(guī)解法 選A 因?yàn)閒 x 是奇函數(shù) 所以f x f x 因?yàn)閒 x 所以所以 1 2a 1 2a 所以1 2a 0 所以a 巧妙解法 選A 方法一 由已知f x 為奇函數(shù) 得f 1 f 1 即所以a 1 3 1 a 解得a 方法二 因?yàn)閒 x 的分子是奇函數(shù) 所以要使f x 為奇函數(shù) 則它的分母必為偶函數(shù) 所以1 2a 0 所以a 方法三 因?yàn)閒 x 為奇函數(shù) 且不在f x 的定義域內(nèi) 故也不在f x 的定義域內(nèi) 所以 a 0 所以a 方法指導(dǎo) 利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的思路 利用函數(shù)的奇偶性的定義轉(zhuǎn)化為f x f x 建立方程 使問題得到解決 但是在解決選擇題 填空題時(shí)還顯得比較麻煩 為了使解題更快 可采用特殊值法求解 類題試解 2015 煙臺(tái)模擬 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f x 是奇函數(shù) 則a b 常規(guī)解法 因?yàn)閒 x 為奇函數(shù) 所以f x f x 又f x 所以即左 右對(duì)照得a 2 b 1 答案 21 巧妙解法 由f 0 0 得b 1 再由f 1 f 1 得解得a 2 答案 21