高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 幾何證明選講 2 直線與圓的位置關(guān)系課件(理) 選修4-1.ppt

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第二節(jié)直線與圓的位置關(guān)系 知識(shí)梳理 1 圓周角 圓心角 弦切角定理 1 圓周角定理 內(nèi)容 圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的 一半 推論 推論1 同弧或等弧所對(duì)的圓周角 同圓或等圓中 相等的圓周角所對(duì)的弧也 推論2 半圓 或直徑 所對(duì)的圓周角是 90 的圓周角所對(duì)的弦是 相等 相等 直角 直徑 2 圓心角定理 圓心角的度數(shù)等于它 的度數(shù) 3 弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的 所對(duì)弧 圓周角 2 圓內(nèi)接四邊形及圓的切線的判定及性質(zhì)定理 互補(bǔ) 內(nèi) 角的對(duì)角 互補(bǔ) 內(nèi)角的對(duì)角 垂直 垂直 切點(diǎn) 圓心 3 與圓有關(guān)的比例線段 特別提醒 1 圓周角定理與弦切角定理多用于證明角的關(guān)系 從而證明三角形相似或全等 2 利用圓內(nèi)接四邊形的判定和性質(zhì)定理解決四點(diǎn)共圓問(wèn)題時(shí) 要弄清四邊形的外角和它的內(nèi)對(duì)角的位置 3 利用相交弦定理 切割線定理解決與圓有關(guān)的比例線段的計(jì)算與證明問(wèn)題時(shí) 要注意相似三角形的知識(shí)及相關(guān)圓的性質(zhì)的綜合應(yīng)用 考向一圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形 典例1 如圖 CD為 ABC外接圓的切線 AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)D 點(diǎn)E F分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn) 且BC AE DC AF B E F C四點(diǎn)共圓 1 證明 CA是 ABC外接圓的直徑 2 若DB BE EA 求過(guò)B E F C四點(diǎn)的圓的面積與 ABC外接圓面積的比值 解題導(dǎo)引 1 根據(jù)圓的性質(zhì)及相似知識(shí)證得 CBA 90 可得CA是 ABC外接圓的直徑 2 連接CE 利用圓的性質(zhì) 尋求過(guò)B E F C四點(diǎn)的圓的直徑長(zhǎng)的平方與 ABC外接圓的直徑長(zhǎng)的平方的比值 從而確立圓的面積之比 規(guī)范解答 1 因?yàn)镃D為 ABC外接圓的切線 所以 DCB A 由題設(shè)知故 CDB AEF 所以 DBC EFA 因?yàn)锽 E F C四點(diǎn)共圓 所以 CFE DBC 故 EFA CFE 90 所以 CBA 90 因此CA是 ABC外接圓的直徑 2 連接CE 因?yàn)?CBE 90 所以過(guò)B E F C四點(diǎn)的圓的直徑為CE 由DB BE 有CE DC 又BC2 DB BA 2DB2 所以CA2 4DB2 BC2 6DB2 而DC2 DB DA 3DB2 故過(guò)B E F C四點(diǎn)的圓的面積與 ABC外接圓面積的比值為 規(guī)律方法 1 圓周角定理常用的轉(zhuǎn)化 1 圓周角與圓周角之間的轉(zhuǎn)化 2 圓周角與圓心角之間的轉(zhuǎn)化 3 弧的度數(shù)與圓心角和圓周角之間的轉(zhuǎn)化 4 圓內(nèi)接四邊形的外角與其相對(duì)的內(nèi)角的轉(zhuǎn)化 2 證明四點(diǎn)共圓的常用方法 1 四點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等 2 四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ) 3 四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角 4 如果兩個(gè)三角形有公共邊 公共邊所對(duì)的角相等且在公共邊的同側(cè) 那么這兩個(gè)三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 變式訓(xùn)練 2016 梧州模擬 如圖 已知AB是 O的直徑 CD是 O的切線 點(diǎn)C為切點(diǎn) 連接AC 過(guò)點(diǎn)A作AD CD于點(diǎn)D 交 O于點(diǎn)E 1 證明 AOC 2 ACD 2 證明 AB CD AC CE 證明 1 連接BC 因?yàn)镃D是 O的切線 C為切點(diǎn) 所以 ACD ABC 因?yàn)镺B OC 所以 OCB ABC 又因?yàn)?AOC OCB OBC 所以 AOC 2 ACD 2 因?yàn)锳B是 O的直徑 所以 ACB 90 又因?yàn)锳D CD于點(diǎn)D 所以 ADC 90 因?yàn)镃D是 O的切線 C為切點(diǎn) OC為半徑 所以O(shè)C CD 所以O(shè)C AD 又因?yàn)镺C OA 所以 OAC OCA CAE ECD 所以Rt ABC Rt CED 所以所以AB CD AC CE 加固訓(xùn)練 1 2016 河南八校模擬 已知AB為半圓O的直徑 AB 4 C為半圓上一點(diǎn) 過(guò)點(diǎn)C作半圓的切線CD 過(guò)點(diǎn)A作AD CD于點(diǎn)D 交半圓于點(diǎn)E DE 1 1 求證 AC平分 BAD 2 求BC的長(zhǎng) 解析 1 連接OC 因?yàn)镺A OC 所以 OAC OCA 因?yàn)镃D為半圓的切線 所以O(shè)C CD 因?yàn)锳D CD OC AD 所以 OCA CAD 所以 OAC CAD 所以AC平分 BAD 2 連接CE 由 1 得 OAC CAD 所以BC CE 因?yàn)锳 B C E四點(diǎn)共圓 所以 CED ABC 因?yàn)锳B是圓O的直徑 所以 ACB是直角 所以Rt CDE Rt ACB 所以 所以 所以BC 2 2 2014 全國(guó)卷 如圖 四邊形ABCD是 O的內(nèi)接四邊形 AB的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E 且CB CE 1 證明 D E 2 設(shè)AD不是 O的直徑 AD的中點(diǎn)為M 且MB MC 證明 ADE為等邊三角形 證明 1 由題設(shè)知 A B C D四點(diǎn)共圓 所以 D CBE 由已知得 CBE E 故 D E 2 設(shè)BC的中點(diǎn)為N 連接MN 由MB MC知MN BC 故O在直線MN上 又AD不是 O的直徑 AD的中點(diǎn)為M 故OM AD 所以AD BC 故 A CBE 又 CBE E 故 A E 由 1 知 D E 所以 ADE為等邊三角形 考向二圓的切線性質(zhì)與判定定理 弦切角定理 典例2 2015 全國(guó)卷 如圖 AB是 O的直徑 AC是 O的切線 BC交 O于點(diǎn)E 1 若D為AC的中點(diǎn) 證明 DE是 O的切線 2 若OA CE 求 ACB的大小 解題導(dǎo)引 1 連接OE后證明 OED是直角 2 設(shè)出CE AE的長(zhǎng)度 在Rt CAB中應(yīng)用射影定理求出AE的長(zhǎng)度 可得 ACB的大小 規(guī)范解答 1 連接AE 由已知得 AE BC AC AB 在Rt ABC中 由已知得 DE DC 故 DEC DCE 連接OE 則 OBE OEB 又 ACE ABC 90 所以 DEC OEB 90 所以 OED 90 所以DE是 O的切線 2 設(shè)CE 1 AE x 由已知得AB 2 BE 由射影定理可得 AE2 CE BE 所以x2 即x4 x2 12 0 可得x 所以 ACB 60 母題變式 1 在例題 1 的條件下 證明 CDE AOE 證明 由 1 知 DAO DEO 180 所以D A O E四點(diǎn)共圓 所以 CDE AOE 又DC DE OA OE 所以 CDE AOE 2 在 2 的條件下 求的值 解析 由 2 知 ACB 60 所以 CAE ABC 30 所以CB 2CA 4CE 即又O為AB的中點(diǎn) 所以 規(guī)律方法 1 判定切線的三種常用方法 1 和圓有唯一公共點(diǎn)的直線是圓的切線 2 到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線 3 過(guò)半徑外端點(diǎn)且和半徑垂直的直線是圓的切線 2 弦切角問(wèn)題的求解思路轉(zhuǎn)化為求同弧上的圓周角 3 切線長(zhǎng)問(wèn)題的求解思路一般利用切線長(zhǎng)定理和切割線定理 易錯(cuò)提醒 利用弦切角定理時(shí) 一定要注意弦切角與同弧上的圓周角相等 變式訓(xùn)練 2015 全國(guó)卷 如圖 O是等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn) 圓O與 ABC的底邊BC交于M N兩點(diǎn) 與底邊上的高交于點(diǎn)G 且與AB AC分別相切于E F兩點(diǎn) 1 證明 EF BC 2 若AG等于圓O的半徑 且AE MN 2 求四邊形EBCF的面積 解析 1 由于 ABC是等腰三角形 AD BC 所以AD是 CAB的平分線 又因?yàn)?O分別與AB AC相切于點(diǎn)E F 所以AE AF 故AD EF 從而EF BC 2 由 1 知 AE AF AD EF 故AD是EF的垂直平分線 又EF為 O的弦 所以圓心O在AD上 連接OE OM 則OE AE 由AG等于 O的半徑得AO 2OE 所以 OAE 30 因此 ABC和 AEF都是等邊三角形 因?yàn)锳E 2 所以AO 4 OE 2 因?yàn)镺M OE 2 DM MN 所以O(shè)D 1 于是AD 5 AB 所以四邊形EBCF的面積為 加固訓(xùn)練 1 如圖 直線PB與圓O相切于點(diǎn)B 點(diǎn)D是弦AC上的點(diǎn) PBA DBA 若AD m AC n 求AB的長(zhǎng)度 解析 因?yàn)镻B切 O于點(diǎn)B 所以 PBA ACB 又 PBA DBA 所以 DBA ACB 又 A是公共角 所以 ABD ACB 所以所以AB2 AD AC mn 所以AB 2 如圖 AB AC是 O的切線 ADE是 O的割線 求證 BE CD BD CE 證明 因?yàn)锳B是 O的切線 所以 ABD AEB 又因?yàn)?BAD EAB 所以 BAD EAB 所以 同理因?yàn)锳B AC是 O的切線 所以AB AC 因此即BE CD BD CE 考向三與圓有關(guān)的比例線段 典例3 2016 南陽(yáng)模擬 如圖所示 已知PA與 O相切 A為切點(diǎn) 過(guò)點(diǎn)P的割線交圓于B C兩點(diǎn) 弦CD AP AD BC相交于點(diǎn)E 點(diǎn)F為CE上一點(diǎn) 且DE2 EF EC 1 求證 CE EB EF EP 2 若CE BE 3 2 DE 3 EF 2 求PA的長(zhǎng) 解題導(dǎo)引 1 由已知可得 DEF CED 得到 EDF C 由平行線的性質(zhì)可得 P C 于是得到 EDF P 再利用對(duì)頂角的性質(zhì)即可證明 EDF EPA 于是得到EA ED EF EP 利用相交弦定理可得EA ED CE EB 進(jìn)而證明結(jié)論 2 利用 1 的結(jié)論可得BP 再利用切割線定理可得PA2 PB PC 即可得出PA 規(guī)范解答 1 因?yàn)镈E2 EF EC DEF CED 所以 DEF CED 所以 EDF C 又因?yàn)镃D AP 所以 P C 所以 EDF P 又因?yàn)?DEF PEA 所以 EDF EPA 所以 所以EA ED EF EP 又因?yàn)镋A ED CE EB 所以CE EB EF EP 2 因?yàn)镈E2 EF EC DE 3 EF 2 所以32 2EC 所以CE 因?yàn)镃E BE 3 2 所以BE 3 由 1 可知 CE EB EF EP 所以 3 2EP 解得EP 所以BP EP EB 因?yàn)镻A是 O的切線 所以PA2 PB PC 所以PA2 解得PA 規(guī)律方法 1 與圓有關(guān)的比例線段解題思路 1 見(jiàn)到圓的兩條相交弦就要想到相交弦定理 2 見(jiàn)到圓的兩條割線就要想到割線定理 3 見(jiàn)到圓的切線和割線就要想到切割線定理 2 應(yīng)用相交弦定理時(shí)的注意點(diǎn)相交弦定理為圓中證明等積式和有關(guān)計(jì)算提供了有力的方法和工具 應(yīng)用時(shí)要注意 1 要熟記定理的等積式的結(jié)構(gòu)特征 2 當(dāng)與定理相關(guān)的圖形不完整時(shí) 要用輔助線補(bǔ)齊相應(yīng)部分 變式訓(xùn)練 2014 全國(guó)卷 如圖 點(diǎn)P是 O外一點(diǎn) PA是切線 點(diǎn)A為切點(diǎn) 割線PBC與 O相交于點(diǎn)B C PC 2PA 點(diǎn)D為PC的中點(diǎn) AD的延長(zhǎng)線交 O于點(diǎn)E 證明 1 BE EC 2 AD DE 2PB2 證明 1 因?yàn)镻C 2PA PD DC 所以PA PD PAD為等腰三角形 連接AB 則 PAB DEB BCE BAE 因?yàn)?PAB BCE PAB BAD PAD PDA DEB DBE 所以 DBE 所以 DBE 即 BCE DBE 所以BE EC 2 因?yàn)锳D DE BD DC PA2 PB PC PD DC PA 所以PA2 PB PC PB 2PA 即PA 2PB 所以AD DE BD DC PA PB PA PA2 PB PA PB PC PB PA PB PC PA PB PA PB 2PB 2PB2 加固訓(xùn)練 1 2015 湖北高考改編 如圖 PA是圓的切線 點(diǎn)A為切點(diǎn) PBC是圓的割線 且BC 3PB 求的值 解析 設(shè)PB 1 因?yàn)锽C 3PB 所以PC 4 又因?yàn)镻A是圓的切線 所以 PAB BCA P P PA2 PB PC 4 PA 2 所以 PBA PAC 所以 2 2016 山西四校聯(lián)考 如圖所示 PA為圓O的切線 點(diǎn)A為切點(diǎn) PO交圓O于B C兩點(diǎn) PA 10 PB 5 BAC的平分線與BC和圓O分別交于點(diǎn)D和E 1 求證 2 求AD AE的值 解析 1 因?yàn)镻A為圓O的切線 所以 PAB ACP 又 P為公共角 所以 PAB PCA 所以 2 因?yàn)镻A為圓O的切線 PC是過(guò)點(diǎn)O的割線 所以PA2 PB PC 所以PC 20 BC 15 又因?yàn)?CAB 90 所以AC2 AB2 BC2 225 又由 1 知所以AC 6 AB 3 連接EC 則 CAE EAB AEC ABD 所以 ACE ADB 所以AD AE AB AC 3 6 90