高考數(shù)學一輪復習 幾何證明選講 第2課時 圓課件 理（選修4-1）.ppt

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選考部分選修系列4 1 會證圓周角定理 圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理 2 會證相交弦定理 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理 切割線定理 3 了解平行投影的含義 通過圓柱與平面的位置關系 體會平行投影 證明平面與圓柱面的截面是橢圓 特殊情形是圓 請注意此部分為選考重點 廣東 全國卷 等省多年均有考查 1 圓周角定理圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的 2 圓心角定理圓心角的度數(shù)等于 的度數(shù) 推論1 同弧或等弧所對的 相等 同圓或等圓中相等的圓周角對的 也相等 推論2 半圓 或直徑 所對的圓周角是直角 90 的圓周角對的弦是直徑 一半 它所對的弧 圓周角 弧 3 圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理 互補 外角等于它的 判定定理 如果一個四邊形的 互補 那么這個四邊形四個頂點共圓 推論 如果四邊形的一個外角等于它的 那么這個四邊形四個頂點共圓 對角 內(nèi)對角 對角 內(nèi)對角 4 圓的切線 1 切線判定定理 經(jīng)過半徑外端點且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 2 切線性質(zhì)定理 圓的切線 于經(jīng)過切點的半徑 推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點 推論2 經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過 3 弦切角定理 弦切角等于它所夾弧對的圓周角 垂直 圓心 5 與圓有關的比例線段 1 相交弦定理 圓的兩條相交弦被交點分成的兩條線段長的 相等 2 割線定理 從圓外一點引圓的兩條割線 這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的 相等 3 切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線 切線長是這點到割線與圓的交點的兩條線段長的 4 切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線 它們的切線長相等 圓心和這一點連線平分 積 積 比例中項 兩切線夾角 答案A 3 2014 湖北理 如圖 P為 O外一點 過P點作 O的兩條切線 切點分別為A B 過PA的中點Q作割線交 O于C D兩點 若QC 1 CD 3 則PB 答案4解析由題意知PA PB PA切 O于點A 由切割線定理可得QA2 QC QD 1 1 3 4 QA 2 PA 2 2 4 PB 4 如右圖所示 圓O的直徑AB 6 C為圓周上一點 BC 3 過C作圓的切線l 過A作l的垂線AD 垂足為D 則 DAC 答案30 解析由弦切角定理 可知 DCA B 60 又AD l 故 DAC 30 5 2013 廣東理 如圖 AB是圓O的直徑 點C在圓O上 延長BC到D使BC CD 過C作圓O的切線交AD于E 若AB 6 ED 2 則BC 6 如圖 AE是圓的切線 A是切點 AD OE于點D 割線EC交圓于B C兩點 1 證明 O D B C四點共圓 2 設 DBC 50 ODC 30 求 OEC的大小 答案 1 略 2 20 2 連接OB 因為 OEC OCB COE 180 結合 1 得 OEC 180 OCB COE 180 OBC DBE 180 OBC 180 DBC DBC ODC 20 例1已知 O是 ABC的外接圓 I是 ABC的內(nèi)切圓 A 80 那么 BOC BIC 題型一圓周角與圓心角 答案 160 130 探究1 1 圓周角定理是一個十分重要的定理 涉及圓周角相等的結論很難用其他結論代替 由圓周角定理易知 同一條弧所對的圓心角是它所對的圓周角的2倍 2 三角形的內(nèi)心是內(nèi)切圓的圓心 是三角形三條內(nèi)角平分線的交點 1 如圖 點A B C是圓O上的點 且AB 4 ACB 30 則圓O的面積等于 解析 連接AO OB 因為 ACB 30 所以 AOB 60 AOB為等邊三角形 故圓O的半徑r OA AB 4 圓O的面積S r2 16 答案 16 思考題1 2 如圖 已知直線AB交 O于A B兩點 點M在圓上 點P在圓外 且點M P在AB的同側(cè) AMB 35 設 APB x 當點P移動時 x的變化范圍是 解析 因為P在 O外 設AP與 O交于點E 連接BE 如圖 則 AEB AMB 35 又 AEB APB 所以 APB0 所以0 x 35 答案 0 x 35 例2如圖 BD是 O的直徑 E是 O上的一點 直線CE交BD的延長線于A點 BC AE于C點 且 CBE DBE 求證 AC是 O的切線 題型二圓的切線 證明 連接OE 由OE OB 得 OEB OBE CBE DBE CBE OEB OE BC 又BC AE OE AC AC是 O的切線 答案 略 探究2 1 過切點的半徑是一條重要的輔助線 凡涉及切線的問題都要注意應用 簡稱 見切點 連半徑 2 當兩圓相切時 過切點的公切線是重要輔助線 注意應用 如圖 已知圓上的弧A B 過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點 證明 1 ACE BCD 2 BC2 BE CD 思考題2 答案 略 例3 1 如圖 ABC是直角三角形 ABC 90 以AB為直徑的圓O交AC于點E 點D是BC邊的中點 連接OD交圓O于點M 求證 O B D E四點共圓 求證 2DE2 DM AC DM AB 題型三圓內(nèi)接四邊形與四點共圓 證明 連接BE 則BE EC 又D是BC的中點 DE BD 又 OE OB OD OD ODE ODB OBD OED 90 O B D E四點共圓 答案 略 2 梯形ABCD內(nèi)接于 O AD BC 過B引 O的切線分別交DA CA的延長線于E F 求證 AB2 AE BC 已知BC 8 CD 5 AF 6 求EF的長 探究3 1 證明四點共圓是高考?？碱}型 常見的證明方法有 定義法 到定點距離相等 如果某兩點在一條線段的同側(cè)時 可證明兩點對該線段的張角相等 證明凸四邊形的內(nèi)對角互補 或外角等于它的內(nèi)對角 等 2 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理是探求圓中角相等或互補關系的常用定理 使用時要注意觀察圖形 要弄清四邊形的外角和它的內(nèi)對角的位置 其性質(zhì)定理是溝通角的相等關系的重要依據(jù) 解題時要注意與圓周角定理 圓心角 弧 弦 弦心距之間的關系以及垂徑定理的聯(lián)系與綜合 1 如圖 在梯形ABCD中 AB DC K M分別在AD BC上 DAM CBK 求證 DMA CKB 思考題3 答案 略 2 如右圖 已知AP是 O的切線 P為切點 AC是 O的割線 與 O交于B C兩點 圓心O在 PAC的內(nèi)部 點M是BC的中點 證明 A P O M四點共圓 求 OAM APM的大小 解析 連接OP OM 因為AP與 O相切于點P 所以OP AP 因為M是 O中弦BC的中點 所以OM BC 于是 OPA OMA 180 由圓心O在 PAC的內(nèi)部 可知四邊形APOM的對角互補 所以A P O M四點共圓 由 得A P O M四點共圓 所以 OAM OPM 由 得OP AP 由圓心O在 PAC的內(nèi)部 可知 OPM APM 90 所以 OAM APM 90 答案 略 90 例4如圖 P是 O外一點 PA是切線 A為切點 割線PBC與 O相交于點B C PC 2PA D為PC的中點 AD的延長線交 O于點E 證明 1 BE EC 2 AD DE 2PB2 題型四與圓有關的比例線段 2 由切割線定理 得PA2 PB PC 因為PA PD DC 所以DC 2PB BD PB 由相交弦定理 得AD DE BD DC 所以AD DE 2PB2 答案 略 探究4相交弦定理 割線定理 切割線定理 切線長定理的聯(lián)系 從相交弦定理開始 相交弦定理可以利用相似三角形對應邊成比例證明 然后使兩弦的交點P從圓內(nèi)移動到圓外得出割線定理 再將一條割線變?yōu)閳A的切線得出切割線定理 最后兩條割線都變?yōu)榍芯€得出切線長定理 充分體現(xiàn)了運動變化的思想 如圖所示 O1與 O2相交于A B兩點 AB是 O2的直徑 過A點作 O1的切線交 O2于點E 并與BO1的延長線交于點P PB分別與 O1 O2交于C D兩點 求證 1 PA PD PE PC 2 AD AE 思考題4 思路 應用切割線定理 弦切角定理等知識求解 證明 1 PAE PDB分別是 O2的割線 PA PE PD PB 又 PA PCB分別是 O1的切線和割線 PA2 PC PB 由 得PA PD PE PC 答案 1 略 2 略 1 圓內(nèi)接四邊形的重要結論 內(nèi)接于圓的平行四邊形是矩形 內(nèi)接于圓的菱形是正方形 內(nèi)接于圓的梯形是等腰梯形 應用這些性質(zhì)可以大大簡化證明有關幾何題的推理過程 2 圓的切線的性質(zhì)定理及推論有如下結論 如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個 就可推出第三個 垂直于切線 過切點 過圓心 于是在利用切線性質(zhì)時 過切點的半徑是常作的輔助線 3 判定切線通常有三種方法 和圓有唯一一個公共點的直線是圓的切線 到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線 過半徑外端且和半徑垂直的直線是圓的切線 4 與圓有關的比例線段證明要訣 圓冪定理是法寶 相似三角形中找訣竅 聯(lián)想射影定理分角線 輔助線來搭橋 第三比值作介紹 代數(shù)方法不可少 分析綜合要記牢 十有八九能見效