高考數(shù)學一輪復習 第三章 導數(shù)及其應(yīng)用 3.3 導數(shù)的綜合應(yīng)用課件 文 北師大版.ppt

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3 3導數(shù)的綜合應(yīng)用 考綱要求 1 會用導數(shù)解決實際問題 2 會利用導數(shù)研究函數(shù)的零點 方程的根及不等式證明類問題 考點1 考點2 考點3 知識方法 考點1利用導數(shù)證明不等式例1已知函數(shù)f x ax ex a 0 1 若a 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 2 當1 a 1 e時 求證 f x x 1 解 當 令f x 0 得x ln2 當x0 當x ln2時 f x 0 函數(shù)f x 的遞增區(qū)間為 ln2 遞減區(qū)間為 ln2 考點1 考點2 考點3 知識方法 2 證明 方法一 令F x x f x ex a 1 x 當a 1時 F x ex 0 f x x成立 當1ln a 1 時 F x 0 F x 在 ln a 1 上遞減 在 ln a 1 上遞增 F x F ln a 1 eln a 1 a 1 ln a 1 a 1 1 ln a 1 10 1 ln a 1 1 ln 1 e 1 0 F x 0 即f x x成立 綜上 當1 a 1 e時 有f x x 考點1 考點2 考點3 知識方法 方法二 令g a x f x xa x ex 只要證明g a 0在1 a 1 e時恒成立即可 g 1 x x ex ex 0 g 1 e x 1 e x ex ex ex 設(shè)h x ex ex 則h x ex e 當x1時 h x 0 h x 在 1 上遞減 在 1 上遞增 h x h 1 e1 e 1 0 即g 1 e 0 由 知 g a 0在1 a 1 e時恒成立 當1 a 1 e時 有f x x 考點1 考點2 考點3 知識方法 思考 利用導數(shù)證明不等式的常用方法有哪些 解題心得 證明不等式的常用方法 1 若證明f x g x x a b 可以構(gòu)造函數(shù)F x f x g x 如果F x 0 則F x 在 a b 上是減函數(shù) 同時若F a 0 則有F x 0 即證明了f x g x 2 若證明F x 0 可變形為F x f x g x 0 即f x g x 只需證f x max g x min 3 若證明F x 0 可以利用導數(shù)判斷出F x 的單調(diào)性 再利用零點存在性定理找到函數(shù)F x 在什么地方可以等于零 從而證明F x 0 考點1 考點2 考點3 知識方法 對點訓練1設(shè)a為實數(shù) 函數(shù)f x ex 2x 2a x R 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間與極值 2 求證 當a ln2 1 且x 0時 ex x2 2ax 1 1 解 由f x ex 2x 2a x R知f x ex 2 x R 令f x 0 得x ln2 于是當x變化時 f x f x 的變化情況如下表 故f x 的遞減區(qū)間是 ln2 遞增區(qū)間是 ln2 f x 在x ln2處取得極小值 極小值為f ln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 考點1 考點2 考點3 知識方法 2 證明 設(shè)g x ex x2 2ax 1 x R 于是g x ex 2x 2a x R 由 1 知當a ln2 1時 g x 的最小值為g ln2 2 1 ln2 a 0 于是對任意x R 都有g(shù) x 0 所以g x 在R內(nèi)遞增 于是當a ln2 1時 對任意x 0 都有g(shù) x g 0 而g 0 0 從而對任意x 0 g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 考點1 考點2 考點3 知識方法 考點2利用導數(shù)解決不等式恒成立問題例2已知函數(shù)f x x3 3x2 bx c在x 1處的切線是y 3a 3 x 3a 4 1 試用a表示b和c 2 若函數(shù)在 1 3 上恒成立 求實數(shù)a的取值范圍 解 1 因為f x 3x2 6x b 所以f 1 3 b 3a 3 f 1 b c 2 1 即有b 3a c 3a 3 考點1 考點2 考點3 知識方法 考點1 考點2 考點3 知識方法 考點1 考點2 考點3 知識方法 解題心得 利用導數(shù)研究不等式恒成立問題 首先要構(gòu)造函數(shù) 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 求出最值 進而得出相應(yīng)的含參不等式 從而求出參數(shù)的取值范圍 也可分離變量 構(gòu)造函數(shù) 直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題 思考 利用導數(shù)解決不等式恒成立問題的基本思路是什么 考點1 考點2 考點3 知識方法 考點1 考點2 考點3 知識方法 考點1 考點2 考點3 知識方法 考點1 考點2 考點3 知識方法 考點1 考點2 考點3 知識方法 考點3利用導數(shù)求與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍例3已知函數(shù)f x x2 xsinx cosx 1 若曲線y f x 在點 a f a 處與直線y b相切 求a與b的值 2 若曲線y f x 與直線y b有兩個不同交點 求b的取值范圍 解 由f x x2 xsinx cosx 得f x x 2 cosx 1 因為曲線y f x 在點 a f a 處與直線y b相切 所以f a a 2 cosa 0 b f a 解得a 0 b f 0 1 考點1 考點2 考點3 知識方法 2 令f x 0 得x 0 f x 與f x 的情況如下 所以函數(shù)f x 在區(qū)間 0 上遞減 在區(qū)間 0 上遞增 f 0 1是f x 的最小值 當b 1時 曲線y f x 與直線y b最多只有一個交點 當b 1時 f 2b f 2b 4b2 2b 1 4b 2b 1 b f 0 11時 曲線y f x 與直線y b有且僅有兩個不同交點 綜上可知 如果曲線y f x 與直線y b有兩個不同交點 那么b的取值范圍是 1 考點1 考點2 考點3 知識方法 思考 如何利用導數(shù)求與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍 解題心得 與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題 往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點 并結(jié)合特殊點 從而判斷函數(shù)的大致圖像 討論其圖像與x軸的位置關(guān)系 或者轉(zhuǎn)化為兩個熟悉函數(shù)交點問題 進而確定參數(shù)的取值范圍 考點1 考點2 考點3 知識方法 對點訓練3已知函數(shù)f x ax3 3x2 1 若f x 存在唯一的零點x0 且x0 0 求a的取值范圍 考點1 考點2 考點3 知識方法 對點訓練3設(shè)函數(shù)f x 1 x 2 2ln 1 x 1 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 2 若關(guān)于x的方程f x x2 x a在 0 2 上恰有兩個相異實根 求實數(shù)a的取值范圍 考點1 考點2 考點3 知識方法 考點1 考點2 考點3 知識方法 考點1 考點2 考點3 知識方法 考點1 考點2 考點3 知識方法 1 利用導數(shù)證明不等式 就是利用不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系 結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)特征 直接或等價變形后構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù) 將不等式的部分或者全部投射到函數(shù)上 通過導數(shù)運算判斷出函數(shù)的單調(diào)性 利用單調(diào)性證明 或利用導數(shù)運算來求出函數(shù)的最值 利用最值證明 2 求解不等式恒成立問題時 可以考慮將參數(shù)分離出來 將參數(shù)范圍問題轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)的值域問題 3 研究函數(shù)圖像的交點 方程的根 函數(shù)的零點 歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì) 如單調(diào)性 極值 然后通過數(shù)形結(jié)合的思想找到解題思路 因此使用的知識還是函數(shù)的單調(diào)性和極值的知識