高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 推理與證明、算法初步與復(fù)數(shù) 12.1 歸納與類比課件 文 北師大版.ppt

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第十二章推理與證明 算法初步與復(fù)數(shù) 12 1歸納與類比 考綱要求 1 了解合情推理的含義 能進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納推理和類比推理 體會(huì)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用 2 了解演繹推理的含義 了解合情推理和演繹推理的聯(lián)系和差異 3 掌握演繹推理的 三段論 能運(yùn)用 三段論 進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的演繹推理 1 合情推理 1 合情推理 1 歸納推理 根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性 推斷該類事物中每一個(gè)事物都有這種屬性 我們將這種推理方式稱為歸納推理 簡(jiǎn)言之 歸納推理是由部分到整體 由個(gè)別到一般的推理 歸納推理的基本模式 a b c M且a b c具有某屬性 結(jié)論 任意d M d也具有某屬性 2 類比推理 由于兩類不同對(duì)象具有某些類似的特征 在此基礎(chǔ)上 根據(jù)一類對(duì)象的其他特征 推斷另一類對(duì)象也具有類似的其他特征 我們把這種推理過(guò)程稱為類比推理 簡(jiǎn)言之 類比推理是由特殊到特殊的推理 類比推理的基本模式 A 具有屬性a b c d B 具有屬性 a b c 結(jié)論 B具有屬性d a b c d與a b c d 相似或相同 3 合情推理 根據(jù)實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果 個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué) 已有的事實(shí)和正確的結(jié)論 定義 公理 定理等 推測(cè)出某些結(jié)果的推理方式 歸納推理和類比推理是最常見(jiàn)的合情推理 2 演繹推理 1 定義 從一般性的原理出發(fā) 推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論 我們把這種推理稱為演繹推理 簡(jiǎn)言之 演繹推理是由一般到特殊的推理 2 三段論 是最常見(jiàn)的一種演繹推理形式 包括 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情況 結(jié)論 根據(jù)一般原理 對(duì)特殊情況作出的判斷 2 3 4 1 6 5 1 下列結(jié)論正確的打 錯(cuò)誤的打 1 歸納推理得到的結(jié)論不一定正確 類比推理得到的結(jié)論一定正確 2 歸納推理與類比推理都是由特殊到一般的推理 3 由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì) 這是一種合情推理 4 演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理 5 在演繹推理中 只要符合演繹推理的形式 結(jié)論就一定正確 2 3 4 1 6 5 2 下面幾種推理過(guò)程是演繹推理的是 A 兩條直線平行 同旁內(nèi)角互補(bǔ) 如果 A和 B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角 則 A B 180 B 某校高三 1 班有55人 2 班有54人 3 班有52人 由此得高三所有班人數(shù)超過(guò)50人C 由平面三角形的性質(zhì) 推測(cè)空間四邊形的性質(zhì)D 在數(shù)列 an 中 a1 1 an n 2 n N 由此歸納出 an 的通項(xiàng)公式 答案 2 3 4 1 6 5 3 給出下面類比推理命題 其中Q為有理數(shù)集 R為實(shí)數(shù)集 C為復(fù)數(shù)集 若a b R 則a b 0 a b 類比推出 若a b C 則a b 0 a b 若a b c d R 則復(fù)數(shù)a bi c di a c b d 類比推出 若a b c d Q 則a b c d a c b d 若 a b R 則a b 0 a b 類比推出 若a b C 則a b 0 a b 其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是 A 0B 1C 2D 3 答案 解析 2 3 4 1 6 5 答案 解析 4 數(shù)列2 5 11 20 x 47 中的x等于 A 28B 32C 33D 27 2 3 4 1 6 5 答案 解析 2 3 4 1 6 5 6 2015陜西 文16 觀察下列等式 據(jù)此規(guī)律 第n個(gè)等式可為 答案 解析 2 3 4 1 6 5 自測(cè)點(diǎn)評(píng)1 合情推理包括歸納推理和類比推理 其結(jié)論是猜想 不一定正確 若要確定其正確性 則需要證明 2 在進(jìn)行類比推理時(shí) 要從本質(zhì)上去類比 只從一點(diǎn)表面現(xiàn)象去類比 就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤 3 應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí) 要明確什么是大前提 小前提 如果前提與推理形式是正確的 結(jié)論必定是正確的 若大前提或小前提錯(cuò)誤 盡管推理形式是正確的 則所得結(jié)論也是錯(cuò)誤的 4 合情推理是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的推理 演繹推理是證明結(jié)論的推理 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 知識(shí)方法 易錯(cuò)易混 考點(diǎn)1歸納推理例1如圖是按一定規(guī)律排列的三角形等式表 現(xiàn)將等式從左至右 從上至下依次編上序號(hào) 即第一個(gè)等式為20 21 3 第二個(gè)等式為20 22 5 第三個(gè)等式為21 22 6 第四個(gè)等式為20 23 9 第五個(gè)等式為21 23 10 依此類推 則第99個(gè)等式為 20 21 320 22 521 22 620 23 921 23 1022 23 1220 24 1721 24 1822 24 2023 24 24 A 27 213 8320B 27 214 16512C 28 214 16640D 28 213 8448 答案 解析 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 知識(shí)方法 易錯(cuò)易混 思考 如何進(jìn)行歸納推理 解題心得 歸納推理是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象 因而在進(jìn)行歸納推理時(shí) 首先觀察題目給出的特殊數(shù)或式的變化規(guī)律 如本例中 要觀察各行出現(xiàn)的等式個(gè)數(shù)的變化規(guī)律 每個(gè)等式左邊第一個(gè)指數(shù)和第二個(gè)指數(shù)的變化規(guī)律 然后用這種規(guī)律試一試這些特殊的數(shù)或式是否符合觀察得到的規(guī)律 如果不符合 應(yīng)繼續(xù)尋找規(guī)律 如果符合 則可運(yùn)用此規(guī)律推出一般結(jié)論 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 知識(shí)方法 易錯(cuò)易混 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1 1 古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù) 如三角形數(shù)1 3 6 10 第n個(gè)三角形數(shù)為記第n個(gè)k邊形數(shù)為N n k k 3 以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式 可以推測(cè)N n k 的表達(dá)式 由此計(jì)算N 10 24 答案 解析 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 知識(shí)方法 易錯(cuò)易混 2 觀察下列等式 12 1 12 22 3 12 22 32 6 12 22 32 42 10 照此規(guī)律 第n個(gè)等式為 答案 解析 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 知識(shí)方法 易錯(cuò)易混 考點(diǎn)2類比推理例2 1 已知在正 ABC中 若點(diǎn)P是正 ABC的邊BC上一點(diǎn) 且點(diǎn)P到另兩邊的距離分別為h1 h2 正 ABC的高為h 由面積相等可以得到h h1 h2 則在正四面體A BCD中 若點(diǎn)P是正四面體A BCD的平面BCD上一點(diǎn) 且P到另三個(gè)面的距離分別為h1 h2 h3 正四面體A BCD的高為h 則 A h h1 h2 h3B h h1 h2 h3C h h1 h2 h3D h1 h2 h3與h的關(guān)系不定 答案 解析 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 知識(shí)方法 易錯(cuò)易混 2 2015貴州六校聯(lián)考 在平面幾何中 ABC的內(nèi)角C的平分線CE分AB所成線段的比為 把這個(gè)結(jié)論類比到空間 在三棱錐A BCD中 如圖 平面DEC平分二面角A CD B且與AB相交于E 則得到類比的結(jié)論是 答案 解析 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 知識(shí)方法 易錯(cuò)易混 思考 如何進(jìn)行類比推理 解題心得 在進(jìn)行類比推理時(shí) 不僅要注意形式的類比 還要注意方法的類比 且要注意以下兩點(diǎn) 1 找兩類對(duì)象的對(duì)應(yīng)元素 如 三角形對(duì)應(yīng)三棱錐 圓對(duì)應(yīng)球 面積對(duì)應(yīng)體積 平面對(duì)應(yīng)空間 低維對(duì)應(yīng)高維 等差數(shù)列對(duì)應(yīng)等比數(shù)列等等 2 找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系 如 兩條邊 直線 垂直對(duì)應(yīng)線面垂直或面面垂直 邊相等對(duì)應(yīng)面積相等 加對(duì)應(yīng)乘 乘對(duì)應(yīng)乘方 減對(duì)應(yīng)除 除對(duì)應(yīng)開(kāi)方等等 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 知識(shí)方法 易錯(cuò)易混 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2 1 2015西安模擬 若數(shù)列 an 是等差數(shù)列 則數(shù)列 bn 也為等差數(shù)列 類比這一性質(zhì)可知 若正項(xiàng)數(shù)列 cn 是等比數(shù)列 且 dn 也是等比數(shù)列 則dn的表達(dá)式應(yīng)為 答案 解析 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 知識(shí)方法 易錯(cuò)易混 2 在平面幾何里 若 ABC的三邊長(zhǎng)分別為a b c 內(nèi)切圓半徑為r 則三角形面積為S ABC a b c r 拓展到空間 類比上述結(jié)論 若四面體A BCD的四個(gè)面的面積分別為S1 S2 S3 S4 內(nèi)切球的半徑為r 則四面體的體積為 答案 解析 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 知識(shí)方法 易錯(cuò)易混 考點(diǎn)3演繹推理 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 知識(shí)方法 易錯(cuò)易混 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 知識(shí)方法 易錯(cuò)易混 思考 三段論推理的依據(jù)是什么 解題心得 三段論的依據(jù)及應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn) 1 演繹推理的一般模式為三段論 三段論推理的依據(jù)是 如果集合M的所有元素都具有性質(zhì)P S是M的子集 那么S中所有元素都具有性質(zhì)P 2 應(yīng)用三段論的注意點(diǎn) 解決問(wèn)題時(shí) 首先應(yīng)該明確什么是大前提 小前提 然后再找結(jié)論 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 知識(shí)方法 易錯(cuò)易混 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3如圖所示 D E F分別是BC CA AB上的點(diǎn) BFD A 且DE BA 求證 ED AF 要求注明每一步推理的大前提 小前提和結(jié)論 并最終把推理過(guò)程用簡(jiǎn)略的形式表示出來(lái) 答案 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 知識(shí)方法 易錯(cuò)易混 1 合情推理與演繹推理的區(qū)別 1 歸納是由特殊到一般的推理 2 類比是由特殊到特殊的推理 3 演繹推理是由一般到特殊的推理 4 從推理的結(jié)論來(lái)看 合情推理的結(jié)論不一定正確 有待證明 而演繹推理若前提和推理形式正確 得到的結(jié)論一定正確 2 數(shù)學(xué)研究中 在得到一個(gè)新結(jié)論前 合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論 在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前 合情推理常常能為證明提供思路與方向 數(shù)學(xué)結(jié)論的證明主要通過(guò)演繹推理來(lái)進(jìn)行 3 三段論 式的演繹推理一定要保證大前提正確 且小前提是大前提的子集關(guān)系 這樣經(jīng)過(guò)正確推理 才能得出正確結(jié)論 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 知識(shí)方法 易錯(cuò)易混 1 演繹推理常用來(lái)證明和推理數(shù)學(xué)問(wèn)題 注意推理過(guò)程的嚴(yán)密性 書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性 2 合情推理中運(yùn)用猜想時(shí)不能憑空想象 要有猜想或拓展依據(jù)