高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九章 概率與統(tǒng)計(jì) 第4講 古典概型與幾何概型課件(理).ppt

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第4講 古典概型與幾何概型 1 基本事件的特點(diǎn) 1 任何兩個基本事件是互斥的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成基本事件的和 2 古典概型具有以下兩個特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型 簡稱古典概型 1 試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個 2 每個基本事件出現(xiàn)的可能性 相等 3 古典概型的概率公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個 而且所有結(jié)果出模型即為古典概型 如果某個事件A包括的結(jié)果有m個 那么事件A的概率 P A 4 幾何概型 長度 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的 面積或體積 成比例 則稱這樣的概率模型為幾何概率模型 簡稱為幾何概型 5 幾何概型中 事件A的概率計(jì)算公式 6 要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個基本特點(diǎn) 1 無限性 在一次試驗(yàn)中 可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個 2 等可能性 每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性 注意 幾何概型的試驗(yàn)中 事件A的概率P A 只與子區(qū)域A的幾何度量 長度 面積或體積 成正比 而與A的位置和形狀無關(guān) 求試驗(yàn)中幾何概型的概率 關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域和 整個區(qū)域 的幾何度量 然后代入公式即可求解 4 5 共10種 P 1 2013年新課標(biāo) 從1 2 3 4 5中任意取出兩個不同的數(shù) 其和為5的概率是 0 2 解析 兩數(shù)之和等于5有兩種情況 1 4 和 2 3 總的基本事件有 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 210 0 2 2 2013年新課標(biāo) 從1 2 3 4中任取2個不同的數(shù) 則取 出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是 B A 12 B 13 C 14 D 16 解析 從1 2 3 4中任取2個不同的數(shù) 有 1 2 1 3 1 4 2 1 2 3 2 4 3 1 3 2 3 4 4 1 4 2 4 3 共12種情形 而滿足條件 2個數(shù)之差的絕對值為2 的只有 1 3 2 4 3 1 4 2 共4種情形 所以取出的2個數(shù)之 差的絕對值為2的概率為 41123 3 2013年福建 利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0 1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a 則事件 3a 1 0 發(fā)生的概率為 4 如圖9 4 1的矩形 長為5 寬為2 在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆 數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆 則我們可以估計(jì) 出陰影部分的面積為 圖9 4 1 考點(diǎn)1古典概型例1 1 2015年新課標(biāo) 如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長 則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù) 從1 2 3 4 5中任取3個不同的數(shù) 則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的 概率為 A 310 B 15 C 110 D 120 解析 從1 2 3 4 5中任取3個不同的數(shù)共有10種不同的取法 其中的勾股數(shù)只有3 4 5 故3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的取法 只有1種 故所求概率為 110 故選C 答案 C 2 2014年新課標(biāo) 將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在 書架上隨機(jī)排成一行 則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為 解析 根據(jù)題意顯然這是一個古典概型 其基本事件有 數(shù)1 數(shù)2 語 數(shù)1 語 數(shù)2 數(shù)2 數(shù)1 語 數(shù)2 語 數(shù)1 語 數(shù)2 數(shù)1 語 數(shù)1 數(shù)2共有6種 其中2本數(shù) 答案 23 規(guī)律方法 本題是考查古典概型 利用公式P A 古 m n 典概型必須明確判斷兩點(diǎn) 對于每個隨機(jī)試驗(yàn)來說 所有可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)n必須是有限個 出現(xiàn)的所有不同的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)m其可能性大小必須是相同的 解決這類問題的關(guān)鍵是列舉做到不重不漏 互動探究 1 2014年江西 擲兩顆均勻的骰子 則點(diǎn)數(shù)之和為5的概 率等于 B A 118 B 19 C 16 D 112 解析 擲兩顆均勻的骰子 點(diǎn)數(shù)的可能情況有 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 此問題中含有36個等可能基本事件 點(diǎn)數(shù)之和為5的概率有 1 4 4 1 2 3 3 2 4種 因此所求 2 2014年湖北 隨機(jī)投擲兩枚均勻的骰子 它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的概率為P1 點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率為P2 點(diǎn) 數(shù)之和為偶數(shù)的概率為P3 則 C A P1 P2 P3B P2 P1 P3C P1 P3 P2D P3 P1 P2 PBC的面積不小于的概率是 考點(diǎn)2幾何概型例2 1 在面積為S的 ABC的邊AB上任取一點(diǎn) 則 A 23 B 13 C 34 D 14 圖D62答案 A 于的概率為 2 向面積為S的 ABC內(nèi)任投一點(diǎn) 則PPBC的面積小 解析 取AB AC的中點(diǎn)E F 如圖D63 如果點(diǎn)P在線段EF上 PBC的面積EF下方 即四邊形EFCB內(nèi) PBC的面積 答案 34 圖D63 3 如圖9 4 2 在長方體ABCD A1B1C1D1中 有一動點(diǎn)在此長方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動 則此動點(diǎn)在三棱椎A(chǔ) A1BD內(nèi)的概率 為 圖9 4 2 答案 16 A p1 p2 p3B p2 p3 p1C p3 p1 p2D p3 p2 p1 1 2 3 圖D64 答案 B 規(guī)律方法 應(yīng)用幾何概型求概率的步驟 把每一次試驗(yàn)當(dāng)作一個事件 看事件是否是等可能的且事件的個數(shù)是否是無限個 若是則考慮用幾何概型 將試驗(yàn)構(gòu)成的區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖 形 并加以度量 將幾何概型轉(zhuǎn)化為長度 面積 體積之比 應(yīng)用幾何概 型的概率公式求概率 互動探究 3 2014年遼寧 若將一個質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖9 4 3所示的長方形ABCD中 其中AB 2 BC 1 則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑 的半圓內(nèi)的概率是 圖9 4 3 B 考點(diǎn)3 與線性規(guī)劃有關(guān)的幾何概型 例3 甲 乙兩人約定上午9時至12時在某地點(diǎn)見面 并約定任何一個人先到之后等另一個人不超過一個小時 一小時之內(nèi)若對方不來 則離去 如果他們兩人在9時到12時之間的任何時刻到達(dá)約定地點(diǎn)的概率都是相等的 求他們見到面的概率 思維點(diǎn)撥 1 考慮甲 乙兩人分別到達(dá)某處的時間 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別用x軸 y軸表示甲 乙到達(dá)約定地點(diǎn)的時間 用0時到3時表示9時至12時的時間段 則試驗(yàn)發(fā)生包含的條件是 x y 0 x 3 0 y 3 2 兩人能會面的時間必須滿足 x y 1 這就將問題化歸為幾何概型問題 解 設(shè)9時后過了x小時甲到達(dá) 9時后過了y小時乙到達(dá) 取點(diǎn)Q x y 則0 x 3 0 y 3 兩人見到面的充要條件是 x y 1 如圖9 4 4 作出兩部分對應(yīng)圖形的區(qū)域 得所求概率是 圖9 4 4 規(guī)律方法 將隨機(jī)事件轉(zhuǎn)化為面積之比時 要注意總的基本事件和所求事件分別表示的區(qū)域 互動探究 4 2014年重慶 由人教版必修3P137 例2改編 某校早上8 00開始上課 假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7 30 7 50之間到校 且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的 則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為 用數(shù)字作答 解析 用x表示小王到校的時間 30 x 50 用y表示小張到校的時間 30 y 50 則所有可能的結(jié)果對應(yīng)如圖D65所示的直角坐標(biāo)系中的正方形ABCD區(qū)域 小張比小王至少早5分鐘到校 即x y 5 所對應(yīng)的區(qū)域?yàn)?答案 932 圖D65 易錯 易混 易漏 幾何概型中容易混淆幾何量的比例題 1 在直角三角形ABC中 A 30 過直角頂 點(diǎn)C作射線CM交線段AB于M 則使 AM AC 的概率為 正解 如圖9 4 5 取AD AC A 30 此時 ACD 75 則 BCD 15 欲使 AM AC CM必須在 BCD內(nèi) 其 圖9 4 5 答案 B 2 在直角三角形ABC中 A 30 在斜邊AB上任取一 點(diǎn)M 則使 AM AC 的概率為 答案 C 失誤與防范 請注意兩題的區(qū)別 過直角頂點(diǎn)C作射線CM交線段AB于M 與 在斜邊AB上任取一點(diǎn)M 前者CM在直角內(nèi)等可能 結(jié)果應(yīng)該為角度的比 后者M(jìn)為斜邊AB上任一點(diǎn) 結(jié)果應(yīng)該為斜邊AB上的長度比 1 幾何概型是與古典概型最為接近的一種概率模型 二者的共同點(diǎn)是基本事件都是等可能的 不同點(diǎn)是基本事件的個數(shù)一個是無限的 一個是有限的 對于古典概型問題 處理基本事件的數(shù)量是關(guān)鍵 而對于幾何概型中的概率問題轉(zhuǎn)化為長度 面積或體積之比是關(guān)鍵 2 古典概型中的基本事件的數(shù)量容易計(jì)算出 如果能直接列出時 要注意書寫時避免重復(fù)和遺漏 有時候也利用排列組合的相關(guān)知識來解決基本事件的數(shù)量 3 處理幾何概型的難點(diǎn)一方面在于從題目中提取幾何概型的模型 另一方面在于計(jì)算 這點(diǎn)有時候會與定積分結(jié)合起來考查