高考數學一輪總復習 第二章 函數、導數及其應用 第11講 抽象函數課件 文.ppt

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第11講抽象函數 1 已知f x y f x y 2f x f y 且f x 0 則f x 是 B A 奇函數C 非奇非偶函數 B 偶函數D 不確定 解析 令x y 0 則2f 0 2 f 0 2 因為f x 0 所以f 0 1 令x 0 則f y f y 2f y f y f y f x 為偶函數 故選B 2 函數f x 滿足f x f x 2 13 若f 1 2 則f 99 A 13 B 2 C C D 3 若f x 是定義在R上的奇函數 它的最小正周期為T 則f 的值為 A 4 已知函數f x 的定義域為 0 并且對任意正數x y都有f xy f x f y 1 f 1 2 若f 8 3 則f 0 考點1 正比例函數型抽象函數 例1 設函數f x 對任意x y R 都有f x y f x f y 且當x 0時 f x 0 f 1 2 1 求證 f x 是奇函數 2 試問當 3 x 3時 f x 是否有最值 如果有 求出最值 如果沒有 說出理由 1 證明 令x y 0 則有f 0 2f 0 f 0 0 令y x 則有f 0 f x f x 即f x f x f x 是奇函數 2 解 當 3 x 3時 f x 有最值 理由如下 y f x 在R上為減函數 因此f 3 為函數的最小值 f 3 為函數的最大值 f 3 f 1 f 2 3f 1 6 f 3 f 3 6 函數的最大值為6 最小值為 6 任取x10 f x2 x1 0 f x1 f x2 規(guī)律方法 1 利用賦值法解決抽象函數問題時需把握如下三點 一是注意函數的定義域 二是利用函數的奇偶性去掉函數符號 f 前的 負號 三是利用函數單調性去掉函數符號 f 2 解決正比例函數型抽象函數的一般步驟為 f 0 0 f x 是奇函數 f x y f x f y 單調性 3 判斷單調性小技巧 設x10 f x2 x1 0 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 f x1 得到函數單調遞減 互動探究 1 已知定義在R上的函數f x 滿足f x y f x f y 則 下列判斷錯誤的是 D 解析 f 0 f 0 0 f 0 f 0 f 0 0 f x f x f x 2 0 故選D 考點2 對數函數型抽象函數 例2 已知函數f x 的定義域為 x x R 且x 0 對定義域內的任意x1 x2 都有f x1 x2 f x1 f x2 且當x 1時f x 0 f 2 1 1 求證 f x 是偶函數 2 求證 f x 在 0 上是增函數 3 解不等式f 2x2 1 2 1 證明 對定義域內的任意x1 x2都有f x1 x2 f x1 f x2 令x1 x x2 1 則有f x f x f 1 又令x1 x2 1 得2f 1 f 1 再令x1 x2 1 得f 1 0 從而f 1 0 于是有f x f x 所以f x 是偶函數 3 解 由于f 2 1 所以2 f 2 f 2 f 4 于是待解不等式可化為f 2x2 1 f 4 結合 1 2 已證結論 可得上式等價于 2x2 1 4 且2x2 1 0 互動探究 2 對于函數f x 定義域中任意x1 x2 x1 x2 有如下結論 f x1 x2 f x1 f x2 f x1 x2 f x1 f x2 當f x lgx時 上述結論中正確的序號是 答案 考點3 指數函數型抽象函數 例3 定義在R上的函數y f x f 0 0 當x 0時 f x 1 且對任意的a b R 有f a b f a f b 1 求證 f 0 1 2 求證 對任意的x R 恒有f x 0 3 求證 f x 是R上的增函數 4 若f x f 2x x2 1 求x的取值范圍 0 1 證明 令a b 0 則f 0 f 0 2 f 0 0 f 0 1 2 證明 當x 0時 x 0 f 0 f x f x 1 f x 1f x 又 當x 0時 f x 1 0 x R時 恒有f x 0 f x2 x1 1 3 證明 設x1 x2 則x2 x1 0 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 x2 x1 0 f x2 x1 1 又 f x1 0 f x2 f x1 f x2 f x1 f x 是R上的增函數 4 解 由f x f 2x x2 1 f 0 1得f 3x x2 f 0 f x 是R上的增函數 3x x2 0 0 x 3 x的取值范圍是 x 0 x 3 f 0 1 f x f x y 規(guī)律方法 1 解決指數函數型抽象函數的一般步驟為 1f x f x f y 單調性 2 判斷單調性小技巧 設x1 x2 x1 x2 0 則f x1 x2 1 f x1 f x2 x1 x2 f x2 f x1 x2 f x2 得到函數f x 是增函數 互動探究 3 對于函數f x 定義域中任意的x1 x2 x1 x2 有如下結論 f x1 x2 f x1 f x2 f x1 x2 f x1 f x2 f x1 f x2 x1 x2 0 f x1 1x1 0 x1 0 f x1 1 f x1 當f x 2x時 上述結論中正確的序號是 答案 思想與方法 利用轉化與化歸思想解答抽象函數例題 已知函數y f x 是定義在R上的奇函數 且y f 為偶函數 對于函數y f x 有下列幾種描述 y f x 是周期函數 x 是它的一條對稱軸 0 是其圖象的一個對稱中心 其中描述正確的是 只填序號 當x 時 它一定取最大值 解析 已知函數y f x 是定義在R上的奇函數 且y f 為偶函數 不妨設f x sinx 顯然錯誤 顯然正 確 而 有可能不正確 因為函數f x sinx也滿足條件 而 不成立 答案 f x1 x2 f x1 f x2 f x1 x2 f x1 f x2 f x1 x2 f x1 f x2 分別是正比例 對數 指數函數的抽象形式 解題時可以由具體函數的性質知道我們思考的方式及解題的步驟 但不能用具體函數來代替抽象的解析式