2019高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.2 反證法課件 新人教A版選修1 -2.ppt

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2 2 2反證法 1 反證法 1 反證法是間接證明的一種基本方法 2 一般地 假設(shè)原命題不成立 即在原命題的條件下 結(jié)論不成立 經(jīng)過正確的推理 最后得出矛盾 因此說明假設(shè)錯(cuò)誤 從而證明了原命題成立 這種證明方法叫做反證法 名師點(diǎn)撥反證法的實(shí)質(zhì)用反證法證明命題 若p 則q 的過程可以用以下框圖表示 肯定條件p 否定結(jié)論q 導(dǎo)致邏輯矛盾 p且q為假 若p則q 為真特別提醒反證法不是通過證明逆否命題來證明原命題 反證法是先否定命題 然后再證明命題的否定是錯(cuò)誤的 從而肯定原命題正確 做一做1 用反證法證明命題 已知實(shí)數(shù)x y滿足x3 y3 2 求證 x y 2 時(shí) 應(yīng)作的假設(shè)是 解析 命題的結(jié)論是x y 2 其否定是x y 2 故應(yīng)假設(shè) x y 2 答案 x y 2 2 反證法常見的矛盾類型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾 這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾 或與假設(shè)矛盾 或與定義 公理 定理 事實(shí)矛盾等 3 反證法的一般步驟用反證法證明命題時(shí) 要從否定結(jié)論開始 經(jīng)過正確的推理 導(dǎo)出邏輯矛盾 從而達(dá)到新的否定 即肯定原命題 的過程 這個(gè)過程包括下面三個(gè)步驟 1 反設(shè) 假設(shè)命題的結(jié)論不成立 即假設(shè)原結(jié)論的反面為真 2 歸謬 由 反設(shè) 作為條件 經(jīng)過一系列正確的推理 得出矛盾 3 存真 由矛盾結(jié)果斷定反設(shè)錯(cuò)誤 從而肯定原結(jié)論成立 做一做2 用反證法證明命題 若直線AB CD是異面直線 則直線AC BD也是異面直線 的過程歸納為以下三個(gè)步驟 則A B C D四點(diǎn)共面 所以AB CD共面 這與AB CD是異面直線矛盾 所以假設(shè)錯(cuò)誤 即直線AC BD也是異面直線 假設(shè)直線AC BD是共面直線 則正確的序號(hào)順序?yàn)?A B C D 解析 結(jié)合反證法的證明步驟可知 其正確步驟為 答案 B 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打 錯(cuò)誤的打 1 反證法是間接證明的一種基本方法 2 反證法與 證明逆否命題法 是同一種方法 3 否定性命題 唯一性命題等只能用反證法進(jìn)行證明 4 反證法證明的第一步是對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定 5 反證法的證明過程既可以是合情推理 也可以是一種演繹推理 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 思維辨析 用反證法證明否定性命題 思路分析 這是否定性命題 可用反證法證明 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟用反證法證明否定性命題的適用類型所謂否定性命題 就是指所證問題中 含有 不 不是 不相等 不存在 不可能 都不 沒有 等否定性詞語的命題 這類命題 其結(jié)論的反面比較具體 適合采用反證法證明 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 用反證法證明 至少 至多 命題 思路分析 本題為 至少 至多 型問題 反設(shè)其結(jié)論 容易導(dǎo)出矛盾 故用反證法證明 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟1 對(duì)于 至少 至多 型問題 直接證明時(shí)分類情況較多 證明過程繁瑣 而如果運(yùn)用反證法證明 則分類情況單一 證明過程簡(jiǎn)單 這體現(xiàn)了 正難則反 的思想方法 2 證明 至少 至多 型問題時(shí) 常見的 結(jié)論詞 與 反設(shè)詞 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 用反證法證明唯一性命題 例3 求證 經(jīng)過平面 外一點(diǎn)A只能有一條直線和平面 垂直 思路分析 本題為唯一性命題 可用反證法證明 即假設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A有兩條直線都與平面 垂直 然后根據(jù)空間以及平面中的有關(guān)定理推出矛盾 探究一 探究二 探究三 思維辨析 證明 如圖 點(diǎn)A在平面 外 假設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A至少有平面 的兩條垂線AB AC B C為垂足 那么AB AC是兩條相交直線 它們確定一個(gè)平面 平面 和平面 相交于直線BC 因?yàn)锳B 平面 AC 平面 且BC 所以AB BC AC BC 在平面 內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)A有兩條直線都和BC垂直 這與平面幾何中經(jīng)過直線外一點(diǎn)只能有已知直線的一條垂線相矛盾 因此假設(shè)錯(cuò)誤 即經(jīng)過平面外一點(diǎn)A只能有一條直線和平面 垂直 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟用反證法證明唯一性命題的注意點(diǎn) 1 當(dāng)所證命題的結(jié)論是以 有且只有 只有一個(gè) 唯一一個(gè) 存在唯一 等形式出現(xiàn)時(shí) 反設(shè)其結(jié)論易于導(dǎo)出矛盾 因此可用反證法證明該類命題 2 用反證法證明唯一性命題時(shí) 如果其結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性 必須羅列出所有可能的各種情況 缺少任何一種情況時(shí) 反證都是不完全的 3 證明 有且只有 等形式的問題時(shí) 需要證明兩個(gè)方面 即證明存在性和唯一性 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練3已知函數(shù)f x 在區(qū)間 m n 上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線 且f x 在 m n 上單調(diào)遞減 若f m f n x1 則有f x0 f x1 即0 0 矛盾 故假設(shè)錯(cuò)誤 即方程f x 0在 m n 上的根是唯一的 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反證法證明過程中未用反設(shè)致誤 典例 已知實(shí)數(shù)k滿足2k2 3k 1 0 運(yùn)用反證法證明 關(guān)于x的方程x2 2x 5 k2 0沒有實(shí)數(shù)根 錯(cuò)解分析 本題常見錯(cuò)解是雖然對(duì)命題的結(jié)論進(jìn)行了反設(shè) 但后面的證明過程中 沒有將這一 反設(shè) 作為條件進(jìn)行推理 因此沒有推出矛盾 故這種證明過程不是利用反證法進(jìn)行的 是錯(cuò)誤的 證明 假設(shè)方程x2 2x 5 k2 0有實(shí)數(shù)根 則其判別式 4 4 5 k2 4k2 16 0 解得k 2或k 2 又因?yàn)閷?shí)數(shù)k滿足2k2 3k 1 0 所以 1 k k 2或k 2 與 1 k 矛盾 故假設(shè)錯(cuò)誤 即關(guān)于x的方程x2 2x 5 k2 0沒有實(shí)數(shù)根 探究一 探究二 探究三 思維辨析 糾錯(cuò)心得在反證法的證明過程中 必須首先對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定 然后在后面的推理過程中真正用上這一 反設(shè) 才是真正利用反證法證明問題 探究一 探究二 探究三 思維辨析 跟蹤訓(xùn)練已知直線a b相交 求證 直線a與b有且只有一個(gè)交點(diǎn) 證明 假設(shè)結(jié)論不成立 則有兩種情況 直線a與b沒有交點(diǎn) 直線a與b有不止一個(gè)交點(diǎn) 1 假設(shè)直線a與b沒有交點(diǎn) 則a b或a b是異面直線 這與已知矛盾 2 假設(shè)直線a與b有不止一個(gè)交點(diǎn) 則至少有兩個(gè)交點(diǎn) 設(shè)為P P 這樣經(jīng)過點(diǎn)P P 就有兩條直線a b 這與兩點(diǎn)確定一條直線矛盾 由 1 和 2 可知假設(shè)不成立 所以直線a與b有且只有一個(gè)交點(diǎn) 1 用反證法證明一個(gè)命題時(shí) 下列說法正確的是 A 將結(jié)論與條件同時(shí)否定 推出矛盾B 肯定條件 否定結(jié)論 推出矛盾C 將否定的結(jié)論作為條件 原題中的條件不能用D 肯定結(jié)論 否定條件 推出矛盾解析 反證法中只能將結(jié)論否定 條件不能否定 答案 B2 用反證法證明命題 已知m n N 若mn能被3整除 則m n中至少有一個(gè)能被3整除 時(shí) 假設(shè)的內(nèi)容是 A m n都能被3整除B m n都不能被3整除C m n不都能被3整除D m n中有一個(gè)能被3整除解析 結(jié)論 m n中至少有一個(gè)能被3整除 的否定是 m n都不能被3整除 故應(yīng)假設(shè)m n都不能被3整除 答案 B 3 若實(shí)數(shù)x y z滿足x y z 9 則x y z中至少有一個(gè)大于 解析 假設(shè)x y z都不大于3 即x 3 y 3 z 3 則x y z 9 這與x y z 9相矛盾 故x y z中至少有一個(gè)大于3 答案 34 命題 關(guān)于x的方程ax b 0 a 0 的解是唯一的 的結(jié)論的否定是 答案 無解或至少有兩個(gè)解 證明 假設(shè)a b c都小于1 即a 1 b 1 c 1 則a b c 3 這與a b c 3矛盾 因此假設(shè)錯(cuò)誤 即a b c中至少有一個(gè)不小于1