2019高考數學一輪復習 第三章 導數及其應用 3.2 導數的應用課件 文.ppt

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第三章導數及其應用 高考文數 考點導數的應用1 函數的單調性對于在 a b 內的可導函數f x 若f x 在 a b 的任意子區(qū)間內都不恒等于0 則f x 0 f x 為增函數 區(qū)間 a b 為函數f x 的增區(qū)間 f x 0 f x 為減函數 區(qū)間 a b 為函數f x 的減區(qū)間 2 函數的極值 1 判斷f x0 是極值的方法一般地 當函數f x 在點x0處連續(xù)時 i 如果在x0的左側附近f x 0 右側附近f x 0 那么f x0 是極小值 3 2導數的應用 知識清單 2 求可導函數極值的步驟 i 求f x ii 求方程f x 0的根 iii 檢查f x 在方程f x 0的根的左 右值的符號 如果左正右負 那么f x 在這個根處取得極大值 如果左負右正 那么f x 在這個根處取得極小值 3 函數的最值 1 若函數f x 在 a b 上單調遞增 則f a 為函數的最小值 f b 為函數的最大值 若函數f x 在 a b 上單調遞減 則f a 為函數的最大值 f b 為函數的最小值 2 設函數f x 在 a b 上連續(xù) 在 a b 內可導 求f x 在 a b 上的最大值和最 小值的步驟如下 i 求f x 在 a b 內的極值 ii 將f x 的各極值與f a f b 比較 其中最大的一個是最大值 最小的一個是最小值 3 如果函數y f x 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 那么函數y f x 在 a b 上必有最大值和最小值 函數的最大值和最小值一定產生在極值點或閉區(qū)間的端點處 知識拓展1 f x 0是f x 在 a b 上為增函數的充分不必要條件 同理 f x 0是f x 在 a b 上為減函數的充分不必要條件 例如 f x x3在R上單調遞增 但f 0 0 2 對可導函數而言 極值點處的導數值一定為0 但導數為0的點不一定是極值點 例如 f x x3 當x 0時 f 0 0 但x 0不是極值點 因此判斷極值一般用定義法 3 極值與最值的區(qū)別極值是局部概念 是針對x x0附近的值而言的 最值是整體概念 是針對整個定義域而言的 利用導數研究函數的單調性確定函數單調性的基本步驟 確定函數f x 的定義域 求導數f x 由f x 0 或f x 0時 f x 在相應區(qū)間上是單調遞增函數 當f x 0時 f x 在相應區(qū)間上是單調遞減函數 還可以通過列表寫出函數的單調區(qū)間 方法技巧 例1 2016課標全國 21 12分 已知函數f x x 2 ex a x 1 2 1 討論f x 的單調性 2 若f x 有兩個零點 求a的取值范圍 解析 1 f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a i 設a 0 則當x 1 時 f x 0 所以f x 在 1 上單調遞減 在 1 上單調遞增 2分 ii 設a 則ln 2a 0 當x ln 2a 1 時 f x 1 故當x 1 ln 2a 時 f x 0 當x 1 ln 2a 時 f x 0 所以f x 在 1 ln 2a 上單調遞增 在 1 ln 2a 上單調遞減 6分 2 i 設a 0 則由 1 知 f x 在 1 上單調遞減 在 1 上單調遞增 又f 1 e f 2 a 取b滿足b b 2 a b 1 2 a 0 所以f x 有兩個零點 8分 ii 設a 0 則f x x 2 ex 所以f x 只有一個零點 9分 iii 設a 0 若a 則由 1 知 f x 在 1 上單調遞增 又當x 1時 f x 0 故f x 不存在兩個零點 10分 若a 則由 1 知 f x 在 1 ln 2a 上單調遞減 在 ln 2a 上單調遞增 又當x 1時 f x 0 故f x 不存在兩個零點 11分 綜上 a的取值范圍為 0 12分 利用導數研究函數的極值與最值1 解決函數極值問題的一般思路 例2 2015課標 21 12分 已知函數f x lnx a 1 x 1 討論f x 的單調性 2 當f x 有最大值 且最大值大于2a 2時 求a的取值范圍 解題導引 1 求定義域及f x 對a分類討論 判斷f x 的符號結論 2 用第 1 問的結論 對a分類討論a 0時 求出f x 的最大值為ff 2a 2等價于lna a 1 0構造函數g a lna a 1利用g a 的單調性求出a的取值范圍 解析 1 f x 的定義域為 0 f x a 若a 0 則f x 0 所以f x 在 0 上單調遞增 若a 0 則當x 時 f x 0 當x 時 f x 0時 f x 在x 處取得最大值 最大值為f ln a lna a 1 因此f 2a 2等價于lna a 1 0 令g a lna a 1 則g a 在 0 上單調遞增 g 1 0 于是 當01時 g a 0 因此 a的取值范圍是 0 1 例3 2016山東 20 13分 設f x xlnx ax2 2a 1 x a R 1 令g x f x 求g x 的單調區(qū)間 2 已知f x 在x 1處取得極大值 求實數a的取值范圍 解題導引 1 求f x 從而求出g x 求出g x 對a分類討論 確定g x 的符號結論 2 利用 1 的結論知f x 的單調性對a分類討論 確定f x 在各個區(qū)間的符號利用f x 在x 1處取得極大值求a的取值范圍 解析 1 由f x lnx 2ax 2a 可得g x lnx 2ax 2a x 0 則g x 2a 當a 0時 x 0 時 g x 0 函數g x 單調遞增 當a 0時 x 時 g x 0 函數g x 單調遞增 x 時 函數g x 單調遞減 所以當a 0時 g x 的單調增區(qū)間為 0 當a 0時 g x 的單調增區(qū)間為 單調減區(qū)間為 2 由 1 知 f 1 0 當a 0時 f x 單調遞增 所以當x 0 1 時 f x 0 f x 單調遞增 所以f x 在x 1處取得極小值 不合題意 當01 由 1 知f x 在內單調遞增 可得當x 0 1 時 f x 0 所以f x 在 0 1 內單調遞減 在內單調遞增 所以f x 在x 1處取得極小值 不合題意 當a 時 1 f x 在 0 1 內單調遞增 在 1 內單調遞減 所以當x 0 時 f x 0 f x 單調遞減 不合題意 當a 時 00 f x 單調遞增 當x 1 時 f x