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課堂達標(二十六) 數(shù)列的概念與簡單表示法
[A基礎鞏固練]
1．數(shù)列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一個通項公式是an等于( )
A. B．cos
C．cosπ D．cosπ
[解析] 令n＝1,2,3，…，逐一驗證四個選項，易得D正確．
[答案] D
2．數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S21為( )
A．5 B.
C. D.
[解析] ∵an＋an＋1＝，a2＝2，
∴an＝
∴S21＝11＋102＝.
[答案] B
3．(2018福建福州八中質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，則a2 017等于( )
A．1 B．0
C．2 017 D．－2 017
[解析] ∵a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知數(shù)列{an}是以2為周期的數(shù)列，∴a2 017＝a1＝1.
[答案] A
4．對于數(shù)列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}為遞增數(shù)列”的( )
A．必要不充分條件
B．充分不必要條件
C．必要條件
D．既不充分也不必要條件
[解析] 當an＋1>|an|(n＝1,2，…)時，∵|an|≥an，∴an＋1>an，∴{an}為遞增數(shù)列．當{an}為遞增數(shù)列時，若該數(shù)列為－2,0,1，則a2>|a1|不成立，即知：an＋1>|an|(n＝1,2，…)不一定成立．故綜上知，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件．
[答案] B
5．設曲線f(x)＝xn＋1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，則x1x2x3x4…x2 017等于( )
A. B.
C. D.
[解析] 由f(x)＝xn＋1得f′(x)＝(n＋1)xn，切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得xn＝，故x1x2x3x4…x2 017＝…＝.
[答案] D
6．(2018衡水中學檢測)若數(shù)列{an}滿足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項和數(shù)值最大時，n的值為( )
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析] ∵a1＝19，an＋1－an＝－3，
∴數(shù)列{an}是以19為首項，－3為公差的等差數(shù)列，
∴an＝19＋(n－1)(－3)＝22－3n.
設{an}的前k項和數(shù)值最大，
則有k∈N*，∴
∴≤k≤，∵k∈N*，∴k＝7.
∴滿足條件的n的值為7.
[答案] B
7．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－9n，第k項滿足5
0，即an＋1>an；
當n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
當n>9時，an＋1－an<0，即an＋10)，則f′(x)＝1－，
令f′(x)＝0得x＝.
∴當0時，f′(x)>0，
即f(x)在區(qū)間(0，)上遞減；在區(qū)間(，＋∞)上遞增．又5<<6，
且f(5)＝5＋－1＝，f(6)＝6＋－1＝，
∴f(5)>f(6)，∴當n＝6時，有最小值.
[答案]
10．(2018西安質(zhì)檢)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列．
(1)求a1的值；
(2)求數(shù)列an的通項公式．
[解] (1)在2Sn＝an＋1－2n＋1＋1中，
令n＝1得2S1＝a2－22＋1，
令n＝2得2S2＝a3－23＋1，
解得a2＝2a1＋3，a3＝6a1＋13.
又2(a2＋5)＝a1＋a3，解得a1＝1.
(2)由2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，
2Sn＋1＝an＋2－2n＋2＋1得an＋2＝3an＋1＋2n＋1.
又a1＝1，a2＝5也滿足a2＝3a1＋21，
所以an＋1＝3an＋2n對n∈N*成立．
∴an＋1＋2n＋1＝3(an＋2n)，
∴an＋2n＝3n，∴an＝3n－2n.
[B能力提升練]
1．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N*)，則S6＝( )
A．44 B．45
C.(46－1) D.(45－1)
[解析] 由an＋1＝3Sn得a2＝3S1＝3.當n≥2時，an＝3Sn－1，則an＋1－an＝3an，n≥2，即an＋1＝4an，n≥2，則數(shù)列{an}從第二項起構(gòu)成等比數(shù)列，所以S6＝＝＝45，故選B.
[答案] B
2．(2018開封一模)已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為R.當x<0時，f(x)>1，且對任意的實數(shù)x，y∈R，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若數(shù)列{an}滿足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝(n∈N*)，則a2 015的值為( )
A．4 029 B．3 029
C．2 249 D．2 209
[解析] 根據(jù)題意，不妨設f(x)＝x，
則a1＝f(0)＝1，∵f(an＋1)＝，
∴an＋1＝an＋2，∴數(shù)列{an}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴an＝2n－1，
∴a2 015＝4 029.
[答案] A
3．在一個數(shù)列中，如果?n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數(shù))，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝______.
[解析] 依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4(1＋2＋4)＝28.
[答案] 28
4．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝(－1)n2n＋1，該數(shù)列的項排成一個數(shù)陣(如圖)，則該數(shù)陣中的第10行第3個數(shù)為______．
a1
a2 a3
a4 a5 a6
……
[解析] 由題意可得該數(shù)陣中的第10行、第3個數(shù)為數(shù)列{an}的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝＋3＝48項，而a48＝(－1)4896＋1＝97，故該數(shù)陣第10行、第3個數(shù)為97.
[答案] 97
5．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)設bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．
[解] (1)依題意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，
由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，
又S1－31＝a－3(a≠3)，故數(shù)列{Sn－3n}是首項為a－3，公比為2的等比數(shù)列，因此，所求通項公式為bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.
(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
于是，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2
＝23n－1＋(a－3)2n－2，
當n＝1時，a1＝a不適合上式，
故an＝
an＋1－an＝43n－1＋(a－3)2n－2
＝2n－2，
當n≥2時，an＋1≥an?12n－2＋a－3≥0?a≥－9.
又a2＝a1＋3>a1.
綜上，所求的a的取值范圍是[－9，＋∞)．
[C尖子生專練]
已知數(shù)列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)．
(1)若a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項和最小項的值；
(2)若對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍．
[解] (1)∵an＝1＋(n∈N*，
a∈R且a≠0)，又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N*)．
結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋的單調(diào)性，
可知1>a1>a2>a3>a4，
a5>a6>a7…>an>1(n∈N*)．
∴數(shù)列{an}中的最大項為a5＝2，最小項為a4＝0.
(2)an＝1＋＝1＋，
已知對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋的單調(diào)性，
可知5<<6，即－10
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第五章
數(shù)列
課堂達標26
數(shù)列的概念與簡單表示法
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