2019年高考數學 考點分析與突破性講練 專題18 等差數列 理.doc

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專題18 等差數列 一、 考綱要求： 1.理解等差數列的概念. 2.掌握等差數列的通項公式與前n項和公式. 3.能在具體的問題情境中識別數列的等差關系，并能用等差數列的有關知識解決相應的問題. 4.了解等差數列與一次函數的關系． 二、概念掌握及解題上的注意點： 1.(解決等差數列運算問題的思想方法 (1)方程思想：等差數列的基本量為首項a1和公差d，通常利用已知條件及通項公式或前n項和公式列方程(組)求解，等差數列中包含a1，d，n，an，Sn五個量，可“知三求二”. (2)整體思想：當所給條件只有一個時，可將已知和所求都用a1，d表示，尋求兩者間的聯系，整體代換即可求解. (3)利用性質：運用等差數列性質可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程. 2. 等差數列的四種判斷方法 (1)定義法：an＋1－an＝d(d是常數)?{an}是等差數列.可用來判定與證明. (2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數列.可用來判定與證明. (3)通項公式：an＝pn＋q(p，q為常數)?{an}是等差數列. (4)前n項和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數)?{an}是等差數列. 三、高考考題題例分析： 例1.（2018課標卷I） 記Sn為等差數列{an}的前n項和．若3S3=S2+S4，a1=2，則a5=（　?。? A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12 【答案】B 【解析】：∵Sn為等差數列{an}的前n項和，3S3=S2+S4，a1=2， ∴=a1+a1+d+4a1+d， 把a1=2，代入得d=﹣3 ∴a5=2+4（﹣3）=﹣10． 故選：B． 例2.（2018課標卷II）記Sn為等差數列{an}的前n項和，已知a1=﹣7，S3=﹣15． （1）求{an}的通項公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值． 【答案】（1）an=2n﹣9；（2）﹣16． 例3.（2018北京卷）設{an}是等差數列，且a1=3，a2+a5=36，則{an}的通項公式為　 【答案】an=6n﹣3． 【解析】：∵{an}是等差數列，且a1=3，a2+a5=36， ∴， 解得a1=3，d=6， ∴an=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）6=6n﹣3． ∴{an}的通項公式為an=6n﹣3． 故答案為：an=6n﹣3． 例4.（2018上海卷）記等差數列{an}的前n項和為Sn，若a3=0，a6+a7=14，則S7=　?。? 【答案】14 【解析】解：∵等差數列{an}的前n項和為Sn，a3=0，a6+a7=14， ∴， 解得a1=﹣4，d=2， ∴S7=7a1+=﹣28+42=14． 故答案為：14． 例5.(2017課標I)記為等差數列的前項和．若，，則的公差為 A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 例6.(2017浙江)已知等差數列{an}的公差為d，前n項和為Sn，則“d>0”是“S4 + S6>2S5”的 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】：由，可知當，則 ，即，反之，，所以為充要條件，選C． 例7.(2016高考新課標1)已知等差數列前9項的和為27,,則（） （A）100 （B）99 （C）98 （D）97 【答案】C 【解析】：由已知,所以故選C. 例8.(2017天津)已知為等差數列，前n項和為，是首項為2的等比數列，且公比大于0，,，. （Ⅰ）求和的通項公式； （Ⅱ）求數列的前n項和. 【答案】 （1）..（2）. 【解析】：根據等差數列和等比數列通項公式及前項和公式列方程求出等差數列首項和公差及等比數列的公比，寫出等差數列和等比孰劣的通項公式，利用錯位相減法求出數列的和，要求計算要準確. （II）解：設數列的前項和為， 由，，有， 故， ， 上述兩式相減，得 得. 所以，數列的前項和為. 例9.(2016高考新課標II)為等差數列的前項和，且記，其中表示不超過的最大整數，如． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求數列的前1 000項和． 【答案】（Ⅰ），， ；（Ⅱ）1893. 試題解析：（Ⅰ）設的公差為，據已知有，解得 所以的通項公式為 （Ⅱ）因為 所以數列的前項和為 等差數列練習 一、選擇題 1．等差數列{an}的前n項和為Sn，且S3＝6，a3＝0，則公差d等于 (　　) A．－1　　　　　　　 B．1 C．2 D．－2 【答案】D　 【解析】:依題意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2，故選D． 2．在等差數列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6等于 (　　) A．－1 B．0 C．1 D．6 【答案】B　 【解析】:由等差數列的性質，得a6＝2a4－a2＝22－4＝0，選B． 3．已知數列{an}是等差數列，a1＋a7＝－8，a2＝2，則數列{an}的公差d等于 (　　) A．－1　　　　　　　 B．－2 C．－3 D．－4 【答案】C　 4．已知等差數列{an}中，a1＝11，a5＝－1，則{an}的前n項和Sn的最大值是 (　　) A．15 B．20 C．26 D．30 【答案】C　 【解析】:設數列{an}的公差為d，則d＝(a5－a1)＝－3，所以an＝11－3(n－1)＝14－3n，令an＝14－3n≥0，解得n≤，所以Sn的最大值為S4＝411＋(－3)＝26，故選C． 5.設等差數列{an}的前n項和為Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，則m＝ (　　) A．9 B．10 C．11 D．15 【答案】B 【解析】:設等差數列{an}的公差為d，依題意解得 ∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10. 6.《張邱建算經》卷上第22題為：今有女善織，日益功疾(注：從第2天起每天比前一天多織相同量的布)，第1天織5尺布，現在一月(按30天計)，共織390尺布，則第2天織布的尺數為 (　　) A． B． C． D． 【答案】　A　 【解析】:由條件知該女子每天織布的尺數構成一個等差數列{an}，且a1＝5，S30＝390，設公差為d，則305＋d＝390，解得d＝，則a2＝a1＋d＝，故選A． 7.在數列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，則該數列的通項為 (　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ 【答案】A　 8.設Sn是等差數列{an}的前n項和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝ (　　) A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】A　 【解析】:a1＋a3＋a5＝3a3＝3?a3＝1，S5＝＝5a3＝5. 9.等差數列{an}中，a1＋a3＋a5＝39，a5＋a7＋a9＝27，則數列{an}的前9項的和S9等于(　　) A．66 B．99 C．144 D．297 【答案】B 【解析】:根據等差數列的性質知a1＋a3＋a5＝3a3＝39，可得a3＝13.由a5＋a7＋a9＝3a7＝27，可得a7＝9，故S9＝＝＝99，故選B． 10.設Sn是等差數列{an}的前n項和，若＝，則＝ (　　) A．1 B．－1 C．2 D． 【答案】A　 【解析】:＝＝＝＝1. 11．等差數列{an}中，a2＝8，前6項的和S6＝66，設bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，則Tn＝ (　　) A．1－ B．1－ C．－ D．－ 【答案】D　 12．設數列{an}的前n項和為Sn，若為常數，則稱數列{an}為“吉祥數列”．已知等差數列{bn}的首項為1，公差不為0，若數列{bn}為“吉祥數列”，則數列{bn}的通項公式為(　　) A．bn＝n－1 B．bn＝2n－1 C．bn＝n＋1 D．bn＝2n＋1 【答案】B　 【解析】:設等差數列{bn}的公差為d(d≠0)，＝k，因為b1＝1，則n＋n(n－1)d＝k， 即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d， 整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0. 因為對任意的正整數n上式均成立， 所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0， 解得d＝2，k＝， 所以數列{bn}的通項公式為bn＝2n－1. 二、填空題 13．在等差數列{an}中，公差d＝，前100項的和S100＝45，則a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________. 【答案】10　 14．《九章算術》是我國第一部數學專著，下面有源自其中的一個問題：“今有金箠(chu)，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問金箠重幾何？”意思是：“現有一根金箠，長5尺，一頭粗，一頭細，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細的一端截下1尺，重2斤；問金箠重多少斤？”根據上面的已知條件，若金箠由粗到細的重量是均勻變化的，則答案是________． 【答案】15斤　 【解析】:由題意可知金箠由粗到細各尺的重量成等差數列，且a1＝4，a5＝2，則S5＝＝15，故金箠重15斤． 15．在等差數列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項和為Sn，當且僅當n＝8時Sn取得最大值，則d的取值范圍為________. 【答案】　 【解析】:由題意，當且僅當n＝8時Sn有最大值，可得即解得－1＜d＜－. 16．設等差數列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則正整數m的值為________． 【答案】5　 【解析】:因為等差數列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3， 所以am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，數列的公差d＝1，am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5，即2a1＋2m－1＝5， 所以a1＝3－m. 由Sm＝(3－m)m＋1＝0， 解得正整數m的值為5. 三、解答題 17．在等差數列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求數列{an}的通項公式； (2)若數列{an}的前k項和Sk＝－35，求k的值． 【答案】(1)an＝1＋(n－1)(－2)＝3－2n；(2) k＝7. 18.已知數列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，數列{bn}滿足bn＝(n∈N*)． ①求證：數列{bn}是等差數列． ②求數列{an}中的通項公式an. 【解析】①證明：因為an＝2－(n≥2，n∈N*)， bn＝. 所以n≥2時，bn－bn－1＝－ ＝－＝－＝1. 又b1＝＝－， 所以數列{bn}是以－為首項，1為公差的等差數列． ②由(1)知，bn＝n－， 則an＝1＋＝1＋. 19．已知等差數列的前三項依次為a,4,3a，前n項和為Sn，且Sk＝110. (1)求a及k的值； (2)設數列{bn}的通項公式bn＝，證明：數列{bn}是等差數列，并求其前n項和Tn. 【答案】(1) a＝2，k＝10. (2) Tn＝ (2)證明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)， 則bn＝＝n＋1， 故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1， 即數列{bn}是首項為2，公差為1的等差數列， 所以Tn＝＝. 20．已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數. (1)證明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}為等差數列？并說明理由． 【解析】　(1)證明：由題設知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1， 兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1， 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ. (2)由題設知a1＝1，a1a2＝λS1－1， 可得a2＝λ－1. 由(1)知，a3＝λ＋1. 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4. 故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首項為1，公差為4的等差數列，a2n－1＝4n－3； {a2n}是首項為3，公差為4的等差數列，a2n＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2， 因此存在λ＝4，使得數列{an}為等差數列． 21．已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝(an＋1)2，且an>0. (1)求a1，a2； (2)求{an}的通項公式； (3)令bn＝20－an，求數列{bn}的前n項和Tn的最大值． 【答案】1); 2); 3)n=10,為最大 【解析】:1)由a1=S1?a1=1,a2=S2-S1?a2=3; 2)bn=21-2n,Tn最大?bn≥0,bn+1<0 ?n=10,∴Tn=T10=100為最大。 22.已知數列的前項和為，且，，成等差數列． （1）求數列的通項公式； （2）若數列滿足，求數列的前項和． 【答案】（1）；（2）． （2）由得， ∴ ．