2019-2020年蘇教版高中數(shù)學（選修2-2）2.2《直接證明與間接證明》（反證法）word教案.doc

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2019-2020年蘇教版高中數(shù)學（選修2-2）2.2《直接證明與間接證明》（反證法）word教案 1．教學目標： 知識與技能：結合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程、特點。 過程與方法: 多讓學生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力； 情感、態(tài)度與價值觀：通過學生的參與，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣 2.教學重點：了解反證法的思考過程、特點 3. 教學難點：反證法的思考過程、特點 4．教具準備：與教材內(nèi)容相關的資料。 5．教學設想：利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結果，通常是指所推出的結果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各種情況。 6．教學過程: 學生探究過程：綜合法與分析法 (1)、反證法 反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然后，從這個假設出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設；(2)歸謬；(3)結論。 反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。 歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發(fā)，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。 (2)、例子 例1、求證：不是有理數(shù) 例2、已知，求證：（且） 例3、設，求證 證明：假設，則有，從而 因為，所以，這與題設條件矛盾，所以，原不 等式成立。 例4、設二次函數(shù)，求證：中至少有一個不小于. 證明：假設都小于，則 （1） 另一方面，由絕對值不等式的性質(zhì)，有 （2） （1）、（2）兩式的結果矛盾，所以假設不成立，原來的結論正確 注意：諸如本例中的問題，當要證明幾個代數(shù)式中，至少有一個滿足某個不等式時，通常采用反證法進行。 議一議：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結果，通常是指所推出的結果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各種情況。試根據(jù)上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點？ 例5、設0 < a, b, c < 1，求證：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同時大于 證：設(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 - c)a >, 則三式相乘：ab < (1 - a)b?(1 - b)c?(1 - c)a < ① 又∵0 < a, b, c < 1 ∴ 同理：, 以上三式相乘： (1 - a)a?(1 - b)b?(1 - c)c≤ 與①矛盾 ∴原式成立 例6、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求證：a, b, c > 0 證：設a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 則b + c = -a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 與題設矛盾 又：若a = 0，則與abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可證：b > 0, c > 0 教學反思： 反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然后，從這個假設出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設；(2)歸謬；(3)結論。 反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。 歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發(fā)，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。