2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第1章 常用邏輯用語(yǔ) 1.3 全稱(chēng)量詞與存在量詞 1.3.1 量詞講義（含解析）蘇教版選修2-1.doc

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1．3.1　量　詞 全稱(chēng)量詞與全稱(chēng)命題 觀(guān)察下列命題： (1)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x>5. (2)對(duì)任意一個(gè)x(x∈Z)，3x＋1是整數(shù)． 問(wèn)題：上述兩個(gè)命題各表示什么意思？ 提示：(1)表示對(duì)每一個(gè)實(shí)數(shù)x，必定有x>5； (2)對(duì)所有的整數(shù)x,3x＋1必定是整數(shù)． 全稱(chēng)量詞和全稱(chēng)命題 全稱(chēng)量詞 所有、任意、每一個(gè)、任給 符號(hào)表示 ?x表示“對(duì)任意x” 全稱(chēng)命題 含有全稱(chēng)量詞的命題 一般形式 ?x∈M，p(x) 存在量詞和存在性命題 觀(guān)察下列語(yǔ)句： (1)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使3x＋1＝7. (2)至少有一個(gè)x∈Z，使x能被3和4整除． 問(wèn)題：上述兩個(gè)命題各表述什么意思？ 提示：(1)表示有一個(gè)實(shí)數(shù)x，滿(mǎn)足3x＋1＝7； (2)存在一個(gè)整數(shù)Z，滿(mǎn)足能被3和4整除． 存在量詞和存在性命題 存在量詞 有一個(gè)、有些、存在一個(gè) 符號(hào)表示 “?x”表示“存在x” 存在性命題 含有存在量詞的命題 一般形式 ?x∈M，p(x) 1．判斷命題是全稱(chēng)命題還是存在性命題，主要是看命題中是否含有全稱(chēng)量詞和存在量詞，有些全稱(chēng)命題雖然不含全稱(chēng)量詞，但可以根據(jù)命題涉及的意義去判斷． 2．要確定一個(gè)全稱(chēng)命題是真命題，需保證該命題對(duì)所有的元素都成立；若能舉出一個(gè)反例說(shuō)明命題不成立，則該全稱(chēng)命題是假命題． 3．要確定一個(gè)存在性命題是真命題，舉出一個(gè)例子說(shuō)明該命題成立即可；若經(jīng)過(guò)邏輯推理得到命題對(duì)所有的元素都不成立，則該存在性命題是假命題． 全稱(chēng)命題、存在性命題的判斷 [例1]　判斷下列命題是全稱(chēng)命題還是存在性命題． (1)若a>0且a≠1，則對(duì)任意x，ax>0； (2)對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2，若x1sin x； ②?x∈R,3x>0； ③?x∈R，sin x＋cos x＝2； ④?x∈R，lg x＝0. 其中為真命題的是________．(填入所有真命題的序號(hào)) 解析：①中，由于x∈，所以sin x>0,00，所以①是真命題；②中，函數(shù)y＝3x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以②是真命題；③中，函數(shù)y＝sin x＋cos x＝ sin，x∈R的值域是[－，]，又2?[－， ]，所以③是假命題；④中，由于lg 1＝0，所以④是真命題． 答案：①②④ 5．判斷下列全稱(chēng)命題的真假． (1)所有的素?cái)?shù)是奇數(shù)； (2)?x∈R，x2＋1≥1； (3)對(duì)每一個(gè)無(wú)理數(shù)x，x2也是無(wú)理數(shù)． 解：(1)2是素?cái)?shù)，但不是奇數(shù)．所以，全稱(chēng)命題“所有的素?cái)?shù)是奇數(shù)”是假命題． (2)?x∈R?x2≥0?x2＋1≥1.所以，全稱(chēng)命題“?x∈R，x2＋1≥1”是真命題． (3)是無(wú)理數(shù)，但()2＝2是有理數(shù)．所以，“對(duì)每一個(gè)無(wú)理數(shù)x，x2也是無(wú)理數(shù)”是假命題． 6．分別判斷下列存在性命題的真假： (1)有些向量的坐標(biāo)等于其起點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)存在x∈R，使sin x－cos x＝2. 解：(1)真命題．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， ＝(x2－x1，y2－y1)，由得 如A(1,3)，B(2,6)，＝(x2－x1，y2－y1)＝(1,3)，滿(mǎn)足題意． (2)假命題．由于sin x－cos x＝＝sin的最大值為，所以不存在實(shí)數(shù)x，使sin x－cos x＝2. 1．判定命題是全稱(chēng)命題還是存在性命題，主要方法是看命題中是否含有全稱(chēng)量詞和存在量詞；另外，有些全稱(chēng)命題并不含有全稱(chēng)量詞，這時(shí)我們就要根據(jù)命題涉及的意義去判斷． 2．要判定全稱(chēng)命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對(duì)集合M中每個(gè)元素x，證明p(x)成立；如果在集合M中找到一個(gè)元素x0，使得p(x0)不成立，那么這個(gè)全稱(chēng)命題就是假命題． 3．要判定存在性命題“?x∈M，p(x)”是真命題，只需在集合M中找到一個(gè)元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么這個(gè)存在性命題是假命題． [對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(五)]　 1．下列命題： ①有的質(zhì)數(shù)是偶數(shù)； ②與同一平面所成的角相等的兩條直線(xiàn)平行； ③有的三角形的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列； ④與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)， 其中是全稱(chēng)命題的是________，是存在性命題的是________．(只填序號(hào)) 解析：根據(jù)所含量詞可知②④是全稱(chēng)命題，①③是存在性命題． 答案：②④?、佗? 2．下列命題中的假命題是________． ①?x∈R,2x－1>0； ②?x∈N*，(x－1)2>0； ③?x∈R，lg x<1； ④?x∈R，tan x＝2. 解析：對(duì)②，x＝1時(shí)，(1－1)2＝0，∴②假． 答案：② 3．用符號(hào)“?”或“?”表示下面含有量詞的命題： (1)實(shí)數(shù)的平方大于或等于0： ____________________________________________； (2)存在一對(duì)實(shí)數(shù)，使3x－2y＋1≥0成立： _________________________________. 答案：(1)?x∈R，x2≥0 (2)?x∈R，y∈R,3x－2y＋1≥0 4．命題“?x∈R＋，2x＋＞a成立”是真命題，則a的取值范圍是________． 解析：∵x∈R＋，∴2x＋≥2， ∵命題為真，∴a＜2. 答案：(－∞，2) 5．已知“?x∈R，ax2＋2ax＋1>0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：當(dāng)a＝0時(shí)，不等式為1>0， 對(duì)?x∈R,1>0成立． 當(dāng)a≠0時(shí)，若?x∈R，ax2＋2ax＋1>0， 則解得00)； (2)對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x1，x2，若x1＜x2，則>； (3)?α∈R，使得sin(α＋)＝sin α； (4)?x∈R，使得x2＋1＝0. 解：(1)(2)是全稱(chēng)命題，(3)(4)是存在性命題． (1)∵zx＞0(z>0)恒成立， ∴命題(1)是真命題． (2)存在x1＝－1，x2＝1，x1＜x2，但<， ∴命題(2)是假命題． (3)當(dāng)α＝時(shí)，sin(α＋)＝sin α成立， ∴命題(3)為真命題． (4)對(duì)任意x∈R，x2＋1＞0，∴命題(4)是假命題． 7．判斷下列命題的真假，并說(shuō)明理由． (1)?x∈R，都有x2－x＋1>； (2)?α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β； (3)?x，y∈N，都有(x－y)∈N； (4)?x，y∈Z，使x＋y＝3. 解：(1)法一：當(dāng)x∈R時(shí)，x2－x＋1＝2＋≥>，所以該命題是真命題． 法二：x2－x＋1>?x2－x＋>0，由于Δ＝1－4＝－1<0，所以不等式x2－x＋1>的解集是R，所以該命題是真命題． (2)當(dāng)α＝，β＝時(shí)，cos(α－β)＝cos＝cos＝cos ＝，cos α－cos β＝cos －cos ＝－0＝，此時(shí)cos (α－β)＝cos α－cos β，所以該命題是真命題． (3)當(dāng)x＝2，y＝4時(shí)，x－y＝－2?N，所以該命題是假命題． (4)當(dāng)x＝0，y＝3時(shí)，x＋y＝3，即?x，y∈Z，使x＋y＝3，所以該命題是真命題． 8．(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式sin x＋cos x>m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)存在實(shí)數(shù)x，不等式sin x＋cos x>m有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解：(1)令y＝sin x＋cos x，x∈R. ∵y＝sin x＋cos x＝sin(x＋)≥－. 又∵?x∈R，sin x＋cos x>m恒成立． ∴只要m<－即可． ∴所求m的取值范圍是(－∞，－)． (1)令y＝sin x＋cos x，x∈R. ∵y＝sin x＋cos x＝sin(x＋)∈[－， ]， 又∵?x∈R，sin x＋cos x>m有解． ∴只要m<即可． ∴所求m的取值范圍是(－∞，)．