2018年秋高中數(shù)學 第三章 空間向量與立體幾何 3.2 立體幾何中的向量方法 第1課時 空間向量與平行關(guān)系學案 新人教A版選修2-1.doc
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第1課時空間向量與平行關(guān)系學習目標:1.掌握直線的方向向量,平面的法向量的概念及求法(重點)2.熟練掌握用方向向量,法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系(重點、難點)自 主 預 習探 新 知1直線的方向向量與平面的法向量(1)直線的方向向量的定義直線的方向向量是指和這條直線_平行或共線的非零向量,一條直線的方向向量有無數(shù)個(2)平面的法向量的定義直線l,取直線l的方向向量a,則a叫做平面的法向量思考:直線的方向向量(平面的法向量)是否唯一?提示不唯一,直線的方向向量(平面的法向量) 有無數(shù)個,它們分別是共線向量2空間中平行關(guān)系的向量表示線線平行設兩條不重合的直線l,m的方向向量分別為a(a1,b1,c1),b(a2,b2,c2),則lmab(a1,b1,c1)k(a2,b2,c2)線面平行設l的方向向量為a(a1,b1,c1),的法向量為u(a2,b2,c2),則lau0a1a2b1b2c1c20面面平行設,的法向量分別為u(a1,b1,c1),v(a2,b2,c2),則uv(a1,b1,c1)k(a2,b2,c2)基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)一個平面的單位法向量是唯一的()(2)一條直線的方向向量和一個平面的法向量垂直,則這條直線和這個平面平行()(3)若兩個平面的法向量不平行,則這兩個平面相交()答案(1)(2)(3)2若A(1,0,1),B(1,4,7)在直線l上,則直線l的一個方向向量為()A(1,2,3)B(1,3,2)C(2,1,3)D(3,2,1)A(2,4,6)2(1,2,3)3若直線l的方向向量a(2,2,1),平面的法向量(6,8,4),則直線l與平面的位置關(guān)系是_. 【導學號:46342161】l或la121640,a,l或l.合 作 探 究攻 重 難求平面的法向量如圖321,已知ABCD是直角梯形,ABC90,SA平面ABCD,SAABBC1,AD,試建立適當?shù)淖鴺讼祱D321(1)求平面ABCD的一個法向量;(2)求平面SAB的一個法向量;(3)求平面SCD的一個法向量解以點A為原點,AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D,S(0,0,1)(1)SA平面ABCD,(0,0,1)是平面ABCD的一個法向量(2)ADAB,ADSA,AD平面SAB,是平面SAB的一個法向量(3)在平面SCD中,(1,1,1)設平面SCD的法向量是n(x,y,z),則n,n,所以得方程組令y1,得x2,z1,n(2,1,1)規(guī)律方法1.利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1)設向量:設平面的法向量為n(x,y,z)(2)選向量:在平面內(nèi)選取兩個不共線向量,.(3)列方程組:由列出方程組(4)解方程組:(5)賦非零值:取其中一個為非零值(常取1)(6)得結(jié)論:得到平面的一個法向量2求平面法向量的三個注意點(1)選向量:在選取平面內(nèi)的向量時,要選取不共線的兩個向量(2)取特值:在求n的坐標時,可令x,y,z中一個為一特殊值得另兩個值,就是平面的一個法向量(3)注意0:提前假定法向量n(x,y,z)的某個坐標為某特定值時一定要注意這個坐標不為0.跟蹤訓練1正方體ABCDA1B1C1D1中,E、F分別為棱A1D1、A1B1的中點,在如圖322所示的空間直角坐標系中,求:圖322(1)平面BDD1B1的一個法向量;(2)平面BDEF的一個法向量解設正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,則D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2)(1)連接AC(圖略),因為AC平面BDD1B1,所以(2,2,0)為平面BDD1B1的一個法向量(2)(2,2,0),(1,0,2)設平面BDEF的一個法向量為n(x,y,z)令x2,得y2,z1.n(2,2,1)即為平面BDEF的一個法向量.利用空間向量證明線線平行如圖323所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為DD1和BB1的中點求證:四邊形AEC1F是平行四邊形圖323解以點D為坐標原點,分別以,為正交基底建立空間直角坐標系,不妨設正方體的棱長為1,則A(1,0,0),E,C1(0,1,1),F(xiàn),又FAE,F(xiàn)EC1,AEFC1,EC1AF,四邊形AEC1F是平行四邊形規(guī)律方法1.兩直線的方向向量共線(垂直)時,兩直線平行(垂直);否則兩直線相交或異面2直線的方向向量與平面的法向量共線時,直線和平面垂直;直線的方向向量與平面的法向量垂直時,直線在平面內(nèi)或線面平行;否則直線與平面相交但不垂直3兩個平面的法向量共線(垂直)時,兩平面平行(垂直);否則兩平面相交但不垂直跟蹤訓練2長方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是面對角線B1D1,A1B上的點,且D1E2EB1,BF2FA1.求證:EFAC1. 【導學號:46342162】證明如圖所示,分別以DA,DC,DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,設DAa,DCb,DD1c,則得下列各點的坐標:A(a,0,0),C1(0,b,c),E,F(xiàn).,(a,b,c),.又FE與AC1不共線,直線EFAC1.利用空間向量證明線面、面面平行探究問題在用向量法處理問題時,若幾何體的棱長未確定,應如何處理?提示:可設幾何體的棱長為1或a,再求點的坐標在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是CC1,B1C1的中點求證:MN平面A1BD思路探究 證明法一如圖,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,設正方體的棱長為1,則D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),M,N,于是(1,0,1),(1,1,0),.設平面A1BD的法向量為n(x,y,z),則即取x1,則y1,z1,平面A1BD的一個法向量為n(1,1,1)又n(1,1,1)0,n.MN平面A1BD法二(),MN平面A1BD法三.即可用與線性表示,故與,是共面向量,故MN平面A1BD母題探究:1.(變條件)本例中條件不變,試證明平面A1BD平面CB1D1.證明由例題解析知,C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),則(0,1,1),(1,1,0),設平面CB1D1的法向量為m(x1,1,z1),則,即令y11,可得平面CB1D1的一個法向量為m(1,1,1),又平面A1BD的一個法向量為n(1,1,1)所以mn,所以mn,故平面A1BD平面CB1D1.2(變條件)若本例換為:在如圖324所示的多面體中,EF平面AEB,AEEB,ADEF,EFBC,BC2AD4,EF3,AEBE2,G是BC的中點,求證:AB平面DEG.圖324證明EF平面AEB,AE平面AEB,BE平面AEB,EFAE,EFBE.又AEEB,EB,EF,EA兩兩垂直以點E為坐標原點,EB,EF,EA分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系由已知得,A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),F(xiàn)(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,0),(0,2,2),(2,2,0),(2,0,2)設平面DEG的法向量為n(x,y,z),則即令y1,得z1,x1,則n(1,1,1),n2020,即n.AB平面DEG,AB平面DEG.規(guī)律方法1.向量法證明線面平行的三個思路(1)設直線l的方向向量是a,平面的法向量是u,則要證明l,只需證明au,即au0.(2)根據(jù)線面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行,要證明一條直線和一個平面平行,在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可(3)根據(jù)共面向量定理可知,如果一個向量和兩個不共線的向量是共面向量,那么這個向量與這兩個不共線的向量確定的平面必定平行,因此要證明一條直線和一個平面平行,只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可2證明面面平行的方法設平面的法向量為,平面的法向量為v,則v.當 堂 達 標固 雙 基1已知向量a(2,4,5),b(3,x,y),a與b分別是直線l1,l2的方向向量,若l1l2,則()Ax6,y15Bx3,yCx3,y15Dx6,yDl1l2,ab,存在R,使ab,則有23,4x,5y,x6,y.2已知線段AB的兩端點坐標為A(9,3,4),B(9,2,1),則線段AB與坐標平面()AxOy平行BxOz平行CyOz平行DyOz相交C(0,5,3),坐標平面yOz的一個法向量為n(1,0,0),因為n0,所以n.故線段AB與坐標平面yOz平行3已知直線l的方向向量為(2,m,1),平面的法向量為,且l,則m_.8l,l的方向向量與的法向量垂直(2,m,1)2m20.解得m8.4在長方體OAEBO1A1E1B1中,OA3,OB4,OO12,點P在棱AA1上,且AP2PA1,點S在棱BB1上,且SB12BS,點Q,R分別是棱O1B1,AE的中點求證:PQRS. 【導學號:46342163】解如圖,建立空間直角坐標系,則A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2),A1(3,0,2),B1(0,4,2),E(3,4,0)易求得P,Q(0,2,2),R(3,2,0),S,于是,.,.RPQ,PQRS.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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