2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 專題突破練（7）概率與其他知識的交匯 文（含解析）.docx

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專題突破練(7)　概率與其他知識的交匯 一、選擇題 1．(2018太原五中測試)在區(qū)間[1，5]上隨機(jī)地取一個數(shù)m，則方程4x2＋m2y2＝1表示焦點在y軸上的橢圓的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由方程4x2＋m2y2＝1，即＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，得<，即m2<4，而1≤m≤5，則1≤m＜2，則所求概率為＝．故選B． 2．(2018湖南六校聯(lián)考)折紙已經(jīng)成為開發(fā)少年兒童智力的一種重要工具和手段，已知在折疊“愛心”活動中，會產(chǎn)生如圖所示的幾何圖形，其中四邊形ABCD為正方形，G為線段BC的中點，四邊形AEFG與四邊形DGHI也是正方形，連接EB，CI，則向多邊形AEFGHID中投擲一點，則該點落在陰影部分的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　設(shè)AB＝2，則BG＝1，AG＝，故多邊形AEFGHID的面積S＝()22＋22＝12，由sin∠EAB＝cos∠GAB＝＝，所以S陰影部分＝AEABsin∠EAB＝2，故所求概率P＝＝．故選C． 3．(2018石家莊一模)函數(shù)f(x)＝2x(x<0)，其值域為D，在區(qū)間(－1，2)上隨機(jī)取一個數(shù)x，則x∈D的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　因為函數(shù)f(x)＝2x(x<0)的值域為(0，1)，即D＝(0，1)，則在區(qū)間(－1，2)上隨機(jī)取一個數(shù)x，x∈D的概率P＝＝．故選B． 4．(2018廣東三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1，2，3三個數(shù)中任取一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　將a記為橫坐標(biāo)，b記為縱坐標(biāo)，可知有(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共9個基本事件，而函數(shù)有兩個極值點的條件為其導(dǎo)函數(shù)有兩個不相等的實根．因為f′(x)＝x2＋2ax＋b2，滿足題中條件為Δ＝4a2－4b2>0，即a>b，所以滿足條件的有(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共6個基本事件，所以所求的概率為P＝＝．故選D． 5．(2018湖北部分重點中學(xué)聯(lián)考二)已知實數(shù)a，b是利用計算機(jī)產(chǎn)生的0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)，設(shè)事件A為“(a－1)2＋b2>”，則事件A發(fā)生的概率為(　　) A． B．1－ C． D．1－ 答案　B 解析　分別以a，b為橫軸和縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，則符合題意的實數(shù)對(a，b)表示的平面區(qū)域為邊長為1的正方形及其內(nèi)部，其中使得事件A不發(fā)生的實數(shù)對(a，b)表示的平面區(qū)域為以(1，0)為圓心，半徑為的四分之一個圓及其內(nèi)部，則事件A發(fā)生的概率為＝1－．故選B． 6．(2018江西重點中學(xué)盟校聯(lián)考一)如圖，在圓心角為直角的扇形OAB區(qū)域中，M，N分別為OA，OB的中點，在M，N兩點處各有一個通信基站，其信號的覆蓋范圍分別為以O(shè)A，OB為直徑的圓，在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點，則能夠同時收到兩個基站信號的概率是(　　) A．1－ B．－ C．2－ D． 答案　B 解析　設(shè)以O(shè)A，OB為直徑的兩個圓相交于點C，由題意，OA的中點是M，則∠CMO＝90，設(shè)扇形OAB的半徑為OA＝r，則S扇形OAB＝πr2，S半圓OAC＝πr2，S△OMC＝＝，所以能夠同時收到兩個基站信號部分的面積為2S半圓OAC－S△OMC＝－，所以所求概率為＝－．故選B． 7．(2018山西考前適應(yīng)訓(xùn)練)甲、乙二人約定7：10在某處會面，甲在7：00～7：20內(nèi)某一時刻隨機(jī)到達(dá)，乙在7：05～7：20內(nèi)某一時刻隨機(jī)到達(dá)，則甲至少需等待乙5分鐘的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　設(shè)甲、乙到達(dá)約會地點的時刻分別是x，y，則取值范圍為對應(yīng)區(qū)域是以20和15為邊長的長方形，其中甲至少需等待乙5分鐘滿足y－x≥5，對應(yīng)區(qū)域是以15為直角邊的等腰直角三角形(如圖中陰影部分(含邊界)所示)，則所求概率為＝．故選C． 二、填空題 8．(2019成都模擬)甲、乙兩人在5次綜合測評中成績的莖葉圖如圖所示，其中一個數(shù)字被污損，記甲、乙的平均成績分別為甲，乙，則甲>乙的概率是________． 答案　 解析　乙的綜合測評成績?yōu)?6，87，91，92，94，乙＝＝90，污損處可取數(shù)字0，1，2，…，9，共10種，而甲>乙發(fā)生對應(yīng)的數(shù)字有6，7，8，9，共4種，故甲>乙的概率為＝． 9．(2018安徽聯(lián)考)將一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為b，設(shè)任意投擲兩次使l1：x＋ay＝3，l2：bx＋6y＝3平行的概率為P1，不平行的概率為P2，若點(P1，P2)在圓(x－m)2＋y2＝的內(nèi)部，則實數(shù)m的取值范圍是________． 答案?。?m< 解析　由l1∥l2得ab＝6且a≠6，b≠1，滿足條件的(a，b)為(1，6)，(2，3)，(3，2)，而所有的(a，b)有66＝36種，∴P1＝，P2＝，∴2＋2<，解得－6．635， 故有99%的把握認(rèn)為物理成績的好與不好和數(shù)學(xué)成績有關(guān)． 12．(2018湖南雅禮中學(xué)月考八)隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車應(yīng)運(yùn)而生．某市場研究人員為了了解共享單車運(yùn)營公司M的經(jīng)營狀況，對該公司最近六個月內(nèi)的市場占有率進(jìn)行了統(tǒng)計，并繪制了相應(yīng)的折線圖． (1)由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月度市場占有率y與月份代碼x之間的關(guān)系．求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測M公司2018年4月份的市場占有率； (2)為進(jìn)一步擴(kuò)大市場，公司擬再采購一批單車．現(xiàn)有采購成本分別為1000元/輛和1200元/輛的A，B兩款車型可供選擇，按規(guī)定每輛單車最多使用4年，但由于多種原因(如騎行頻率等)會導(dǎo)致車輛報廢年限各不相同．考慮到公司運(yùn)營的經(jīng)濟(jì)效益，該公司決定先對兩款車型的單車各100輛進(jìn)行科學(xué)模擬測試，得到兩款單車使用壽命頻數(shù)表如下： 報廢年限車型 1年 2年 3年 4年 總計 A 20 35 35 10 100 B 10 30 40 20 100 經(jīng)測算，平均每輛單車每年可以帶來收入500元．不考慮除采購成本之外的其他成本，假設(shè)每輛單車的使用壽命都是整數(shù)年，且以頻率作為每輛單車使用壽命的概率．如果你是M公司的負(fù)責(zé)人，以每輛單車產(chǎn)生利潤的均值為決策依據(jù)，你會選擇采購哪款車型？ 參考數(shù)據(jù)： (xi－)(yi－)＝35， (xi－)2＝17．5． 參考公式：回歸直線方程為＝x＋， 其中＝，＝－． 解　(1)由題意，＝3．5，＝16，＝＝2， ＝－＝16－23．5＝9， ∴＝2x＋9， 當(dāng)x＝7時，＝27＋9＝23， 即預(yù)測M公司2018年4月份(即x＝7時)的市場占有率為23%． (2)由頻率估計概率，每輛A款車可使用1年、2年、3年、4年的概率分別為0．2，0．35，0．35，0．1． ∴每輛A款車的利潤均值為(500－1000)0．2＋(1000－1000)0．35＋(1500－1000)0．35＋(2000－1000)0．1＝175(元)； 每輛B款車可使用1年、2年、3年、4年的概率分別為0．1，0．3，0．4，0．2， ∴每輛B款車的利潤均值為(500－1200)0．1＋(1000－1200)0．3＋(1500－1200)0．4＋(2000－1200)0．2＝150(元)， ∵175>150，∴應(yīng)該采購A款車．  ?? 函數(shù)與方程思想專練 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題 1．橢圓＋y2＝1的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，其一交點為P，則|PF2|＝(　　) A． B． C． D．4 答案　C 解析　如圖，令|F1P|＝r1， |F2P|＝r2， 那么??r2＝．故選C． 2．(2018湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，則實數(shù)λ的值是(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　C 解析　依題意，方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有1個解，故f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)有1解，所以2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0有唯一解，故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－．故選C． 3．設(shè)a>1，若對于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]滿足方程logax＋logay＝3，這時a的取值的集合為(　　) A．{a|11，由此解得a≥2．故選B． 4．若2x＋5y≤2－y＋5－x，則有(　　) A．x＋y≥0 B．x＋y≤0 C．x－y≤0 D．x－y≥0 答案　B 解析　原不等式可變形為2x－5－x≤2－y－5y．即2x－x≤2－y－－y．故設(shè)函數(shù)f(x)＝2x－x，f(x)為增函數(shù)，所以x≤－y，即x＋y≤0．故選B． 5．為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架，如圖，要求∠ACB＝60，BC的長度大于1米，且AC比AB長0．5米，為了穩(wěn)固廣告牌，要求AC越短越好，則AC最短為(　　) A．1＋米 B．2米 C．(1＋) 米 D．(2＋) 米 答案　D 解析　由題意，設(shè)BC＝x(x>1)米，AC＝t(t>0)米，則AB＝AC－0．5＝(t－0．5)米，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos60，即(t－0．5)2＝t2＋x2－tx，化簡并整理得t＝(x>1)，即t＝x－1＋＋2，因x>1，故t＝x－1＋＋2≥2＋當(dāng)且僅當(dāng)x＝1＋時取等號，此時t取最小值2＋．故選D． 二、填空題 6．設(shè)a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足S5S6＋15＝0，則d的取值范圍是________． 答案　(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析　由S5S6＋15＝0得(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9a1d＋10d2＋1＝0，∴Δ＝81d2－8(10d2＋1)≥0，解得d≤－2或d≥2． 7．若存在兩個正實數(shù)x，y，使得等式x3e－ay3＝0成立，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)a的最小值為________． 答案　 解析　由題意知a＝，設(shè)＝t(t>0)，則令f(t)＝，則f′(t)＝，當(dāng)t>3時，f′(t)>0，當(dāng)00)， 則BC＝5x，由cos∠BDA＋cos∠ADC＝0知 ＋＝0， 解得x＝1，所以BC＝5． 10．已知各項均不相等的等差數(shù)列{an}的前5項和S5＝20，且a1，a3，a7成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若Tn為數(shù)列的前n項和，且存在n∈N*，使得Tn－λan＋1≥0成立，求實數(shù)λ的取值范圍． 解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則 即 又因為d≠0，所以所以an＝n＋1． (2)因為＝＝－， 所以Tn＝－＋－＋…＋－ ＝－＝． 因為存在n∈N*，使得Tn－λan＋1≥0成立， 所以存在n∈N*，使得－λ(n＋2)≥0成立， 即存在n∈N*，使λ≤成立． 又＝， 且≤(當(dāng)且僅當(dāng)n＝2時取等號)， 所以λ≤．即實數(shù)λ的取值范圍是－∞，． 11．設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x＋(a為常數(shù))． (1)若曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線與x軸平行，求實數(shù)a的值； (2)若函數(shù)f(x)在(e，＋∞)內(nèi)有極值，求實數(shù)a的取值范圍． 解　(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，1)∪(1，＋∞)， 由f(x)＝ln x＋得f′(x)＝－，由于曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線與x軸平行，所以f′(2)＝0，即－＝0，所以a＝． (2)因為f′(x)＝－＝， 若函數(shù)f(x)在(e，＋∞)內(nèi)有極值，則函數(shù)y＝f′(x)在(e，＋∞)內(nèi)有異號零點， 令φ(x)＝x2－(2＋a)x＋1． 設(shè)x2－(2＋a)x＋1＝(x－α)(x－β)，可知αβ＝1， 不妨設(shè)β>α，則α∈(0，1)，β∈(1，＋∞)， 若函數(shù)y＝f′(x)在(e，＋∞)內(nèi)有異號零點， 即y＝φ(x)在(e，＋∞)內(nèi)有異號零點，所以β>e， 又φ(0)＝1>0，所以φ(e)＝e2－(2＋a)e＋1<0， 解得a>e＋－2，所以實數(shù)a的取值范圍是e＋－2，＋∞． 12．(2018河南聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系中，動點M到定點F(－1，0)的距離與它到直線x＝－2的距離之比是常數(shù)，記M的軌跡為T． (1)求軌跡T的方程； (2)過點F且不與x軸重合的直線m與軌跡T交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點P，在軌跡T上是否存在點Q，使得四邊形APBQ為菱形？若存在，請求出直線m的方程；若不存在，請說明理由． 解　(1)設(shè)M(x，y)，根據(jù)動點M到定點F(－1，0)的距離與它到直線x＝－2的距離之比是常數(shù)， 得＝，整理得＋y2＝1， ∴軌跡T的方程為＋y2＝1． (2)假設(shè)存在直線m，設(shè)直線m的方程為x＝ky－1， 由消去x，得(k2＋2)y2－2ky－1＝0． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝， ∴線段AB的中點H的坐標(biāo)為． ∵PQ⊥AB， ∴直線PQ的方程為y－＝－k， 令y＝0，解得x＝－，即P． 設(shè)Q(x0，y0)，∵P，Q關(guān)于點H對稱， ∴＝，＝(y0＋0)， 解得x0＝，y0＝，即Q． ∵點Q在橢圓上，∴2＋22＝2， 解得k2＝ 于是＝，即＝， ∴直線m的方程為y＝x＋或y＝－x－．