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專題強化訓練(二) 函數及其基本性質
(建議用時：45分鐘)
[學業(yè)達標練]
一、選擇題
1．函數f(x)＝＋的定義域為( )
【導學號：37102183】
A．[－1,2] B．(－1,2] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
B [由得－1
f(x2)的是( )
【導學號：37102184】
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝2x＋1
B [由題意可知f(x)是(0，＋∞)上的單調遞減函數，故選B.]
4．函數f(x)＝x5＋x3＋x的圖象( )
A．關于y軸對稱 B．關于直線y＝x對稱
C．關于坐標原點對稱 D．關于直線y＝－x對稱
C [易知f(x)是R上的奇函數，故選C.]
5．已知函數y＝x2－2x＋3在區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是( )
【導學號：37102185】
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，2] D．[1,2]
D [由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，當x＝1時，y的最小值為2，當y＝3時，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.由y＝x2－2x＋3的圖象知，當m∈[1,2]時，能保證y的最大值為3，最小值為2.]
二、填空題
6．函數y＝的單調區(qū)間是________．
(－∞，－1)和(－1，＋∞) [因為y＝可由y＝向左平移1個單位得到，
畫出函數的圖象，如圖，
結合圖象可知該函數的遞減區(qū)間為(－∞，－1)和(－1，＋∞)．]
7．函數f(x)＝x2－2ax＋1在區(qū)間[－1,2]上的最小值是f(2)，則a的取值范圍是________.
【導學號：37102186】
[2，＋∞) [由題意可知f(x)在[－1,2]上單調遞減，故a≥2.]
8．已知函數y＝f(x)是奇函數，若g(x)＝f(x)＋2，且g(1)＝1，則g(－1)＝________.
3 [由g(1)＝1，且g(x)＝f(x)＋2，
∴f(1)＝g(1)－2＝－1，
又y＝f(x)是奇函數，∴f(－1)＝－f(1)＝1，
從而g(－1)＝f(－1)＋2＝3.]
三、解答題
9．(1)求函數f(x)＝＋(x－1)0＋的定義域．(要求用區(qū)間表示)
(2)若函數f(x＋1)＝x2－2x，求f(3)的值和f(x)的解析式.
【導學號：37102187】
[解] (1)由得x≤2且x≠1，所以函數的定義域為(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,2]．
(2)因為f(x＋1)＝x2－2x，
所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，故f(x)＝x2－4x＋3(x∈R)，
所以f(3)＝0.
10．已知函數f(x)＝x2－4|x|＋3.
(1)試證明函數f(x)是偶函數．
(2)畫出f(x)的圖象．(要求先用鉛筆畫出草圖，再用黑色簽字筆描摹)
(3)請根據圖象指出函數f(x)的單調遞增區(qū)間與單調遞減區(qū)間. (不必證明)
(4)當實數k取不同的值時，討論關于x的方程x2－4|x|＋3＝k的實根的個數．(不必求出方程的解)
[解] (1)f(x)的定義域為R，且f(－x)＝(－x)2－4|－x|＋3＝x2－4|x|＋3＝f(x)，故f(x)為偶函數．
(2)如圖
(3)遞增區(qū)間有：(－2,0)，(2，＋∞)
遞減區(qū)間有：(－∞，－2)，(0,2)．
(4)根據圖象可知，
①當k<－1時，方程無實數根；
②當k＝－1或k>3時，方程有兩個實數根；
③當k＝3時，方程有三個實數根；
④當－10時，圖象開口向上，在[－2,3]上的最大值為
f(3)＝9a＋6a＋1＝6，所以a＝；
當a<0時，圖象開口向下，在[－2,3]上的最大值為
f(－1)＝a－2a＋1＝6，所以a＝－5.
綜上，a的值為或－5.]
5．已知奇函數f(x)＝px＋＋r(p，q，r為常數)，且滿足f(1)＝，f(2)＝.
(1)求函數f(x)的解析式；
(2)試判斷函數f(x)在區(qū)間上的單調性，并用函數單調性的定義進行證明；
(3)當x∈時，f(x)≥2－m恒成立，求實數m的取值范圍.
【導學號：37102190】
[解] (1)∵f(x)為奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，
∴r＝0.又即解得
∴f(x)＝2x＋.
(2)f(x)＝2x＋在區(qū)間上單調遞減．
證明如下：
設任意的兩個實數x1，x2，且滿足00,00，
∴f(x1)－f(x2)>0，
∴f(x)＝2x＋在區(qū)間上單調遞減．
(3)由(2)知f(x)＝2x＋在區(qū)間上的最小值是f＝2.
要使當x∈時，f(x)≥2－m恒成立，
只需當x∈時，f(x)min≥2－m，
即2≥2－m，解得m≥0，
即實數m的取值范圍為[0，＋∞)．
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